Страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.161. Дан треугольник. Постройте окружность:
а) вписанную в него;
б) описанную около него;
в) вневписанную.

а) вписанную в него

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Её центр, называемый инцентром, является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Построение выполняется в следующем порядке:

1. Пусть дан треугольник $ABC$.
2. С помощью циркуля и линейки строим биссектрису любого угла треугольника, например, угла $A$.
3. Строим биссектрису другого угла, например, угла $B$.
4. Находим точку пересечения построенных биссектрис. Обозначим эту точку $I$. Эта точка и будет центром вписанной окружности. (Третья биссектриса также пройдёт через эту точку).
5. Из точки $I$ опускаем перпендикуляр на любую из сторон треугольника, например, на сторону $AC$. Для этого проводим окружность с центром в точке $I$, пересекающую сторону $AC$ в двух точках. Затем из этих двух точек проводим две дуги одинакового радиуса до их пересечения. Соединив точку $I$ с точкой пересечения дуг, получим перпендикуляр. Обозначим основание перпендикуляра точкой $D$.
6. Отрезок $ID$ является радиусом $r$ вписанной окружности.
7. Строим окружность с центром в точке $I$ и радиусом $r = ID$. Эта окружность будет касаться всех трёх сторон треугольника.

Ответ: Центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис углов треугольника, а её радиус равен расстоянию от этого центра до любой из сторон треугольника.

б) описанную около него

Описанная окружность — это окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Её центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Построение выполняется в следующем порядке:

1. Пусть дан треугольник $ABC$.
2. С помощью циркуля и линейки строим серединный перпендикуляр к одной из сторон треугольника, например, к стороне $AB$. Для этого из точек $A$ и $B$ проводим дуги окружностей с одинаковым радиусом (большим половины длины отрезка $AB$) по обе стороны от отрезка. Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, является серединным перпендикуляром.
3. Строим серединный перпендикуляр к другой стороне, например, к стороне $BC$.
4. Находим точку пересечения построенных серединных перпендикуляров. Обозначим эту точку $O$. Эта точка и будет центром описанной окружности. (Серединный перпендикуляр к третьей стороне $AC$ также пройдёт через эту точку).
5. Отрезок, соединяющий точку $O$ с любой из вершин треугольника (например, $OA$), является радиусом $R$ описанной окружности.
6. Строим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$. Эта окружность пройдёт через все три вершины треугольника ($A$, $B$ и $C$).

Ответ: Центр описанной окружности находится на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а её радиус равен расстоянию от этого центра до любой из вершин треугольника.

в) вневписанную

Вневписанная окружность — это окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. У каждого треугольника есть три вневписанные окружности. Рассмотрим построение одной из них — той, что касается стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Её центр, называемый эксцентром, является точкой пересечения биссектрисы внутреннего угла $A$ и биссектрис двух внешних углов при вершинах $B$ и $C$.

1. Пусть дан треугольник $ABC$.
2. Продлим стороны $AB$ за точку $B$ и $AC$ за точку $C$.
3. Строим биссектрису внешнего угла при вершине $B$. Внешний угол образован стороной $BC$ и продолжением стороны $AB$.
4. Строим биссектрису внешнего угла при вершине $C$. Внешний угол образован стороной $BC$ и продолжением стороны $AC$.
5. Находим точку пересечения построенных биссектрис внешних углов. Обозначим эту точку $I_a$. Эта точка и будет центром вневписанной окружности, противолежащей вершине $A$. (Биссектриса внутреннего угла $A$ также пройдёт через эту точку).
6. Из точки $I_a$ опускаем перпендикуляр на любую из трёх прямых, которых касается окружность, например, на прямую $BC$. Обозначим основание перпендикуляра точкой $E$.
7. Отрезок $I_aE$ является радиусом $r_a$ данной вневписанной окружности.
8. Строим окружность с центром в точке $I_a$ и радиусом $r_a = I_aE$. Эта окружность будет касаться стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$.

Аналогично строятся две другие вневписанные окружности (касающаяся стороны $AC$ и продолжений $BA$ и $BC$; и касающаяся стороны $AB$ и продолжений $CA$ и $CB$).

Ответ: Центр вневписанной окружности находится на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и двух биссектрис внешних углов треугольника. Радиус равен расстоянию от этого центра до стороны (или продолжения стороны), которой касается окружность.

1.162. Какой вид имеет треугольник, если:

1) центры вписанной и описанной окружностей совпадают;

2) центр описанной окружности лежит на его стороне;

3) центр вписанной окружности лежит на его высоте;

4) центр описанной окружности лежит на прямой, проходящей через его высоту?

1) центры вписанной и описанной окружностей совпадают;

Центр вписанной окружности, или инцентр, является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Центр описанной окружности, или циркумцентр, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Если эти два центра совпадают, то биссектрисы углов треугольника также являются и серединными перпендикулярами к противолежащим сторонам.

Рассмотрим биссектрису, проведенную из вершины $A$. Если она является серединным перпендикуляром к стороне $BC$, то треугольник является равнобедренным, и стороны, прилежащие к вершине $A$, равны ($AB = AC$). Аналогично, если биссектриса из вершины $B$ совпадает с серединным перпендикуляром к стороне $AC$, то $AB = BC$.

Таким образом, если инцентр и циркумцентр совпадают, все три биссектрисы совпадают с соответствующими серединными перпендикулярами, что означает равенство всех трех сторон треугольника: $AB = BC = AC$. Следовательно, такой треугольник является равносторонним.

Ответ: треугольник равносторонний.

2) центр описанной окружности лежит на его стороне;

Описанная окружность проходит через все три вершины треугольника. Если ее центр лежит на одной из сторон треугольника, то эта сторона является диаметром описанной окружности.

Согласно свойству вписанных углов, угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым (равен $90^\circ$). В данном случае, вершина треугольника, противолежащая стороне, на которой лежит центр описанной окружности, будет вершиной прямого угла.

Например, если центр лежит на стороне $AB$, то угол $C$ будет равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник является прямоугольным.

Ответ: треугольник прямоугольный.

3) центр вписанной окружности лежит на его высоте;

Центр вписанной окружности (инцентр) по определению является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Таким образом, он всегда лежит на каждой из трех биссектрис.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Если центр вписанной окружности лежит на этой высоте, это означает, что высота $BH$ совпадает с биссектрисой, проведенной из вершины $B$.

В треугольнике есть свойство: если высота, проведенная из некоторой вершины, совпадает с биссектрисой, проведенной из той же вершины, то этот треугольник является равнобедренным. Две стороны, образующие эту вершину, будут равны.

Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным со сторонами $AB = BC$.

Ответ: треугольник равнобедренный.

4) центр описанной окружности лежит на прямой, проходящей через его высоту?

Центр описанной окружности (циркумцентр) является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Это значит, что он обязательно лежит на каждом из серединных перпендикуляров.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Прямая, содержащая высоту $BH$, по определению перпендикулярна стороне $AC$. Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ также перпендикулярен стороне $AC$.

По условию, центр описанной окружности лежит на прямой, содержащей высоту $BH$. В то же время, он должен лежать и на серединном перпендикуляре к стороне $AC$. Так как обе эти прямые (прямая высоты и серединный перпендикуляр) перпендикулярны одной и той же прямой $AC$, они могут быть либо параллельны, либо совпадать. Поскольку у них есть общая точка — центр описанной окружности — они должны совпадать.

Это означает, что высота $BH$ является одновременно и серединным перпендикуляром к стороне $AC$. В треугольнике, где высота к стороне является и ее серединным перпендикуляром, этот треугольник является равнобедренным. Стороны, прилегающие к вершине, из которой проведена высота, равны.

Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным со сторонами $AB = BC$.

Ответ: треугольник равнобедренный.

1.163. Высота равностороннего треугольника равна 3 см. Найдите радиус описанной около него окружности и радиус вписанной в него окружности.

В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта общая точка является точкой пересечения высот, медиан и биссектрис треугольника. В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, является также и медианой.

Согласно свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Поскольку высота в данном случае совпадает с медианой, она также делится этой точкой в том же отношении.

Высота $h$, равная по условию 3 см, состоит из двух отрезков: радиуса описанной окружности $R$ (расстояние от центра до вершины) и радиуса вписанной окружности $r$ (расстояние от центра до стороны). Таким образом, $h = R + r$.

Из соотношения $2:1$ следует, что $R$ составляет $\frac{2}{3}$ от всей высоты, а $r$ составляет $\frac{1}{3}$ от высоты.

Радиус описанной около него окружности

Радиус описанной окружности $R$ — это больший из отрезков, на которые делится высота. Его длина вычисляется по формуле:

$R = \frac{2}{3}h$

Подставим заданное значение высоты $h = 3$ см:

$R = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$ см.

Ответ: 2 см.

Радиус вписанной в него окружности

Радиус вписанной окружности $r$ — это меньший из отрезков, на которые делится высота. Его длина вычисляется по формуле:

$r = \frac{1}{3}h$

Подставим заданное значение высоты $h = 3$ см:

$r = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$ см.

Ответ: 1 см.

1.164. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $ABD$ имеют общее основание $AB$. Докажите, что отрезок $CD$ проходит через середину $AB$ (рис. 1.80).

Рис. 1.80

Дано:

$ \triangle ABC $ и $ \triangle ABD $ — равнобедренные треугольники с общим основанием $ AB $. Это означает, что боковые стороны равны: $ AC = BC $ и $ AD = BD $.

Доказать:

Отрезок $ CD $ проходит через середину отрезка $ AB $.

Доказательство:

Рассмотрим два случая расположения вершин C и D: по одну сторону от прямой AB и по разные стороны от прямой AB. Доказательство будет одинаковым для обоих случаев.

1. Рассмотрим треугольники $ \triangle ACD $ и $ \triangle BCD $.

В этих треугольниках:

• $ AC = BC $ (по условию, так как $ \triangle ABC $ равнобедренный).
• $ AD = BD $ (по условию, так как $ \triangle ABD $ равнобедренный).
• $ CD $ — общая сторона.

Следовательно, $ \triangle ACD \cong \triangle BCD $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

2. Из равенства треугольников $ \triangle ACD $ и $ \triangle BCD $ следует равенство их соответствующих углов. В частности, нас интересуют углы $ \angle ACD $ и $ \angle BCD $. Таким образом, $ \angle ACD = \angle BCD $.

3. Пусть $ M $ — точка пересечения отрезков $ CD $ и $ AB $.

4. Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ACM $ и $ \triangle BCM $.

В этих треугольниках:

• $ AC = BC $ (по условию).
• $ CM $ — общая сторона.
• $ \angle ACM = \angle BCM $ (поскольку это те же углы, что и $ \angle ACD $ и $ \angle BCD $, равенство которых мы доказали в пункте 2).

Следовательно, $ \triangle ACM \cong \triangle BCM $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

5. Из равенства треугольников $ \triangle ACM $ и $ \triangle BCM $ следует равенство их соответствующих сторон. В частности, $ AM = BM $.

Поскольку точка $ M $ лежит на отрезке $ AB $ и делит его на два равных отрезка ($ AM = BM $), то $ M $ является серединой отрезка $ AB $. Так как $ M $ — это точка пересечения отрезков $ CD $ и $ AB $, это доказывает, что отрезок $ CD $ проходит через середину отрезка $ AB $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Путем доказательства равенства треугольников $ \triangle ACD $ и $ \triangle BCD $, а затем $ \triangle ACM $ и $ \triangle BCM $ (где M - точка пересечения AB и CD), мы установили, что $ AM = BM $, что означает, что отрезок $ CD $ проходит через середину основания $ AB $.

1.165. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна c, а сумма его катетов – S. Найдите диаметр окружности, вписанной в этот треугольник.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу — как $c$.

Согласно условию задачи, нам даны:

1. Гипотенуза: $c$

2. Сумма катетов: $a + b = S$

Нужно найти диаметр $d$ вписанной в треугольник окружности.

Для нахождения радиуса $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, существует формула, связывающая его с длинами сторон:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Поскольку нам известна сумма катетов $a + b = S$, мы можем подставить это значение в формулу:

$r = \frac{S - c}{2}$

Диаметр окружности $d$ всегда в два раза больше её радиуса $r$:

$d = 2r$

Теперь подставим полученное выражение для радиуса в формулу для диаметра:

$d = 2 \cdot \frac{S - c}{2}$

Сокращая множитель 2 в числителе и знаменателе, получаем окончательное выражение для диаметра:

$d = S - c$

Ответ: $S - c$

1.166. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $120^\circ$, а боковая сторона – 2 см. Найдите диаметр окружности, описанной около него.

Для нахождения диаметра описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов. Оно гласит, что отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно диаметру ($D$) окружности, описанной около этого треугольника. Формула выглядит так: $D = \frac{a}{\sin A}$.

1. Найдем углы треугольника

По условию задачи дан равнобедренный треугольник, угол при вершине которого равен $120^\circ$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Найдем величину каждого из этих углов:

$(180^\circ - 120^\circ) / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Таким образом, мы имеем дело с треугольником, углы которого равны $120^\circ$, $30^\circ$ и $30^\circ$. Боковая сторона, длина которой составляет 2 см, лежит напротив угла в $30^\circ$.

2. Рассчитаем диаметр

Теперь мы можем использовать известную нам сторону ($a = 2$ см) и противолежащий ей угол ($A = 30^\circ$) для расчета диаметра по формуле:

$D = \frac{a}{\sin A} = \frac{2}{\sin 30^\circ}$.

Значение синуса $30^\circ$ является табличной величиной и равно $\frac{1}{2}$. Подставим это значение в формулу:

$D = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Ответ: 4 см.

1.167. Какой вид имеет треугольник, если для данного треугольника:

1) радиусы двух вневписанных окружностей равны;

2) центры вневписанных окружностей лежат на продолжениях медиан?

Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$. Площадь треугольника обозначим как $S$, а полупериметр как $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Радиусы вневписанных окружностей, которые касаются сторон $a$, $b$ и $c$ соответственно, определяются следующими формулами: $r_a = \frac{S}{p-a}$, $r_b = \frac{S}{p-b}$, $r_c = \frac{S}{p-c}$.

Согласно условию задачи, радиусы двух вневписанных окружностей равны. Предположим, что равны радиусы окружностей, касающихся сторон $a$ и $b$. Это означает, что $r_a = r_b$.

Подставим выражения для радиусов в это равенство: $\frac{S}{p-a} = \frac{S}{p-b}$

Поскольку площадь невырожденного треугольника $S$ больше нуля ($S > 0$), мы можем сократить обе части уравнения на $S$: $\frac{1}{p-a} = \frac{1}{p-b}$

Из этого равенства следует, что знаменатели дробей также равны: $p-a = p-b$

Вычитая $p$ из обеих частей уравнения, мы получаем: $-a = -b$, что равносильно $a = b$.

Если две стороны треугольника равны, то такой треугольник является равнобедренным.

Ответ: равнобедренный треугольник.

Пусть $I_a$, $I_b$, $I_c$ — это центры вневписанных окружностей треугольника $ABC$, касающихся соответственно сторон $a$, $b$, $c$. Пусть $m_a$, $m_b$, $m_c$ — это медианы, проведенные из вершин $A$, $B$, $C$.

Центр вневписанной окружности $I_a$ является точкой пересечения биссектрисы внутреннего угла $A$ и биссектрис внешних углов $B$ и $C$. Из этого следует, что центр $I_a$ всегда находится на биссектрисе угла $A$.

Условие "центры вневписанных окружностей лежат на продолжениях медиан" из-за использования множественного числа ("центры", "медиан") следует трактовать так, что для каждой вершины соответствующий ей центр вневписанной окружности лежит на продолжении соответствующей медианы. То есть, центр $I_a$ лежит на продолжении медианы $m_a$, $I_b$ — на продолжении $m_b$, и $I_c$ — на продолжении $m_c$.

Рассмотрим центр $I_a$. Он расположен на биссектрисе угла $A$. По условию, он также расположен на продолжении медианы $m_a$. Обе эти линии (биссектриса из $A$ и медиана $m_a$) проходят через вершину $A$. Поскольку они имеют две общие точки (вершину $A$ и центр $I_a$, который не совпадает с $A$), эти линии должны совпадать.

Следовательно, биссектриса угла $A$ является также и медианой $m_a$. В треугольнике такое свойство выполняется только тогда, когда он равнобедренный относительно сторон, образующих данный угол. То есть, стороны $AB$ и $AC$ должны быть равны: $c = b$.

Применяя ту же логику для центра $I_b$, который лежит на продолжении медианы $m_b$, мы приходим к выводу, что биссектриса угла $B$ совпадает с медианой $m_b$. Это означает, что стороны $BA$ и $BC$ равны: $c = a$.

Аналогично, для центра $I_c$ на продолжении медианы $m_c$ биссектриса угла $C$ совпадает с медианой $m_c$, что влечет за собой равенство сторон $CA$ и $CB$: $b = a$.

Совмещая все полученные условия ($c=b$, $c=a$ и $b=a$), мы делаем вывод, что все три стороны треугольника равны между собой: $a=b=c$.

Треугольник, у которого все стороны равны, является равносторонним.

Ответ: равносторонний треугольник.

1.168. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 12 см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством окружности, описанной около прямоугольного треугольника. Центр такой окружности всегда лежит на середине гипотенузы.

Это следует из того, что вписанный прямой угол (равный $90^\circ$) опирается на дугу в $180^\circ$. Хорда, стягивающая дугу в $180^\circ$, является диаметром окружности. В нашем случае этой хордой является гипотенуза прямоугольного треугольника.

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной около него окружности. Радиус $R$ окружности равен половине ее диаметра $d$.

Пусть $c$ — длина гипотенузы. Тогда диаметр описанной окружности $d = c$. Радиус $R$ можно найти по формуле: $R = \frac{d}{2} = \frac{c}{2}$

По условию задачи, длина гипотенузы $c = 12$ см. Подставим это значение в формулу: $R = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6 \text{ см}$

Ответ: 6 см.

1.169. Известны середины двух сторон треугольника. Найдите середину третьей его стороны, используя только линейку.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим известные середины сторон $AB$ и $AC$ как точки $M$ и $N$ соответственно. Задача состоит в том, чтобы, используя только линейку, найти середину третьей стороны $BC$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством медиан треугольника.

Порядок построения:

1. С помощью линейки соединяем вершину $C$ с точкой $M$ (серединой стороны $AB$). Получаем отрезок $CM$.
2. С помощью линейки соединяем вершину $B$ с точкой $N$ (серединой стороны $AC$). Получаем отрезок $BN$.
3. Находим точку пересечения отрезков $CM$ и $BN$. Обозначим эту точку $G$.
4. С помощью линейки проводим прямую через вершину $A$ и точку $G$.
5. Продолжаем эту прямую до пересечения со стороной $BC$. Точка пересечения, обозначим её $P$, и будет искомой серединой стороны $BC$.

Обоснование построения:

Данное построение основано на фундаментальном свойстве медиан треугольника.

• Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой. Таким образом, построенные отрезки $CM$ и $BN$ являются медианами треугольника $\triangle ABC$.
• Три медианы любого треугольника всегда пересекаются в одной точке, которая называется центроидом (или центром тяжести) треугольника. Точка $G$, полученная нами как пересечение двух медиан, и есть центроид $\triangle ABC$.
• Третья медиана треугольника также должна проходить через этот же центроид $G$. Эта медиана по определению соединяет вершину $A$ с серединой противоположной стороны $BC$.
• Следовательно, прямая, проведенная через вершину $A$ и центроид $G$, является прямой, на которой лежит третья медиана. Точка $P$, в которой эта прямая пересекает сторону $BC$, и есть середина этой стороны.

Таким образом, предложенный алгоритм позволяет однозначно найти середину третьей стороны треугольника, используя только линейку.

Ответ: Чтобы найти середину стороны $BC$, необходимо с помощью линейки соединить вершину $B$ с серединой $N$ стороны $AC$ и вершину $C$ с серединой $M$ стороны $AB$. Затем через точку пересечения $G$ этих двух отрезков и вершину $A$ провести прямую. Точка пересечения этой прямой со стороной $BC$ и будет её искомой серединой.

1.170. Могут ли две биссектрисы треугольника быть:

1) перпендикулярными;

2) параллельными? Обоснуйте ответ.

1) перпендикулярными

Рассмотрим две произвольные внутренние биссектрисы треугольника $ABC$, например, проведенные из вершин $A$ и $B$. Пусть эти биссектрисы пересекаются в точке $I$. Точка $I$ является одной из вершин треугольника $AIB$.

По определению биссектрисы, $\angle IAB = \frac{\angle A}{2}$ и $\angle IBA = \frac{\angle B}{2}$.

Сумма углов в треугольнике $AIB$ равна $180^\circ$:

$\angle AIB + \angle IAB + \angle IBA = 180^\circ$

Подставим значения углов $\angle IAB$ и $\angle IBA$:

$\angle AIB + \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = 180^\circ$

Отсюда можно выразить угол $\angle AIB$ между биссектрисами:

$\angle AIB = 180^\circ - \left(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2}$

Из основного свойства углов треугольника $ABC$ мы знаем, что $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$, откуда $\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C$.

Подставим это выражение в формулу для $\angle AIB$:

$\angle AIB = 180^\circ - \frac{180^\circ - \angle C}{2} = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\angle C}{2} = 90^\circ + \frac{\angle C}{2}$

Предположим, что две биссектрисы могут быть перпендикулярны. Это бы означало, что угол между ними $\angle AIB = 90^\circ$.

Тогда $90^\circ = 90^\circ + \frac{\angle C}{2}$, что влечет за собой $\frac{\angle C}{2} = 0$, то есть $\angle C = 0^\circ$.

Однако в любом невырожденном треугольнике все углы должны быть строго больше нуля. Следовательно, $\angle C > 0$, а значит $\angle AIB = 90^\circ + \frac{\angle C}{2} > 90^\circ$.

Угол между двумя внутренними биссектрисами треугольника всегда тупой, поэтому он не может быть прямым.

Ответ: Нет, две биссектрисы треугольника не могут быть перпендикулярными.

2) параллельными

Рассмотрим две произвольные внутренние биссектрисы треугольника $ABC$, например, проведенные из вершин $B$ и $C$. Обозначим их как прямые $l_B$ и $l_C$.

Рассмотрим сторону $BC$ треугольника как секущую для прямых $l_B$ и $l_C$. Биссектриса $l_B$ образует со стороной $BC$ угол, равный $\frac{\angle B}{2}$. Биссектриса $l_C$ образует со стороной $BC$ угол, равный $\frac{\angle C}{2}$. Эти углы являются внутренними односторонними углами при секущей $BC$.

Предположим, что биссектрисы $l_B$ и $l_C$ параллельны. По свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов при секущей должна быть равна $180^\circ$. То есть, должно выполняться равенство:

$\frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2} = 180^\circ$

Умножим обе части на 2:

$\angle B + \angle C = 360^\circ$

Это противоречит основному свойству треугольника, согласно которому сумма всех трех его углов равна $180^\circ$ ($\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$). Из этого свойства следует, что сумма двух любых углов треугольника всегда строго меньше $180^\circ$.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о параллельности биссектрис было неверным.

Кроме того, известно, что все три внутренние биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности. Две прямые, которые пересекаются, по определению не могут быть параллельными.

Ответ: Нет, две биссектрисы треугольника не могут быть параллельными.

1.171. Докажите, что любой угол треугольника равен паре вертикальных углов, образованных при пересечении прямых, проходящих через высоты, опущенные из двух других вершин треугольника (рис. 1.81).

Puc. 1.81

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$. Докажем утверждение для угла $\angle A$. Доказательство для углов $\angle B$ и $\angle C$ будет аналогичным.

Пусть $BH_B$ — высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$, а $CH_C$ — высота, опущенная из вершины $C$ на сторону $AB$. Пусть $O$ — точка пересечения прямых, содержащих эти высоты (ортоцентр).

По определению высоты, $BH_B \perp AC$ и $CH_C \perp AB$. Это означает, что углы, которые они образуют с соответствующими сторонами, прямые: $\angle A H_B B = 90^\circ$ и $\angle A H_C C = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $A H_C O H_B$. Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. В данном четырехугольнике углы при вершинах $H_C$ и $H_B$ являются прямыми: $\angle A H_C O = 90^\circ$ и $\angle A H_B O = 90^\circ$.

Следовательно, для четырехугольника $A H_C O H_B$ имеем:

$\angle H_C A H_B + \angle A H_C O + \angle H_C O H_B + \angle O H_B A = 360^\circ$

Подставляя известные значения углов, где $\angle H_C A H_B$ это угол $\angle A$ треугольника, получаем:

$\angle A + 90^\circ + \angle H_C O H_B + 90^\circ = 360^\circ$

Упрощая выражение, находим связь между углом $\angle A$ и углом $\angle H_C O H_B$ при пересечении высот:

$\angle A + \angle H_C O H_B = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$

Это означает, что угол $\angle A$ и угол $\angle H_C O H_B$ являются дополнительными друг другу до $180^\circ$.

Теперь рассмотрим углы, образованные при пересечении прямых $BH_B$ и $CH_C$ в точке $O$. Точки $C, O, H_C$ лежат на одной прямой. Углы $\angle H_C O H_B$ и $\angle H_B O C$ являются смежными. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle H_C O H_B + \angle H_B O C = 180^\circ$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \angle A + \angle H_C O H_B = 180^\circ \\ \angle H_B O C + \angle H_C O H_B = 180^\circ \end{cases}$

Из этой системы следует, что $\angle A = \angle H_B O C$.

Угол $\angle H_B O C$ и вертикальный ему угол $\angle H_C O B$ образуют одну из пар вертикальных углов при пересечении высот. Поскольку вертикальные углы равны, то $\angle A = \angle H_B O C = \angle H_C O B$. Таким образом, мы доказали, что угол $\angle A$ равен каждому из углов в паре вертикальных углов, образованных при пересечении высот, опущенных из двух других вершин ($B$ и $C$).

Аналогично, рассматривая высоты из вершин $A$ и $C$, можно доказать, что угол $\angle B$ равен паре вертикальных углов при их пересечении. Рассматривая высоты из $A$ и $B$, доказывается то же самое для угла $\angle C$.

Ответ: Что и требовалось доказать.