Номер 1.169, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.169. Известны середины двух сторон треугольника. Найдите середину третьей его стороны, используя только линейку.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим известные середины сторон $AB$ и $AC$ как точки $M$ и $N$ соответственно. Задача состоит в том, чтобы, используя только линейку, найти середину третьей стороны $BC$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством медиан треугольника.

Порядок построения:

1. С помощью линейки соединяем вершину $C$ с точкой $M$ (серединой стороны $AB$). Получаем отрезок $CM$.
2. С помощью линейки соединяем вершину $B$ с точкой $N$ (серединой стороны $AC$). Получаем отрезок $BN$.
3. Находим точку пересечения отрезков $CM$ и $BN$. Обозначим эту точку $G$.
4. С помощью линейки проводим прямую через вершину $A$ и точку $G$.
5. Продолжаем эту прямую до пересечения со стороной $BC$. Точка пересечения, обозначим её $P$, и будет искомой серединой стороны $BC$.

Обоснование построения:

Данное построение основано на фундаментальном свойстве медиан треугольника.

• Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой. Таким образом, построенные отрезки $CM$ и $BN$ являются медианами треугольника $\triangle ABC$.
• Три медианы любого треугольника всегда пересекаются в одной точке, которая называется центроидом (или центром тяжести) треугольника. Точка $G$, полученная нами как пересечение двух медиан, и есть центроид $\triangle ABC$.
• Третья медиана треугольника также должна проходить через этот же центроид $G$. Эта медиана по определению соединяет вершину $A$ с серединой противоположной стороны $BC$.
• Следовательно, прямая, проведенная через вершину $A$ и центроид $G$, является прямой, на которой лежит третья медиана. Точка $P$, в которой эта прямая пересекает сторону $BC$, и есть середина этой стороны.

Таким образом, предложенный алгоритм позволяет однозначно найти середину третьей стороны треугольника, используя только линейку.

Ответ: Чтобы найти середину стороны $BC$, необходимо с помощью линейки соединить вершину $B$ с серединой $N$ стороны $AC$ и вершину $C$ с серединой $M$ стороны $AB$. Затем через точку пересечения $G$ этих двух отрезков и вершину $A$ провести прямую. Точка пересечения этой прямой со стороной $BC$ и будет её искомой серединой.