Номер 1.174, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.174. Стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ не равны между собой. Докажите, что медиана и высота, проведенные из вершины $A$, не совпадают.

Для решения данной задачи воспользуемся методом доказательства от противного.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором, по условию, стороны $AB$ и $AC$ не равны между собой, то есть $AB \neq AC$.

Предположим, что медиана и высота, проведенные из вершины $A$, совпадают. Обозначим этот общий отрезок как $AK$, где $K$ — точка на стороне $BC$.

Из нашего предположения следует, что отрезок $AK$ обладает свойствами и медианы, и высоты одновременно:

1. Так как $AK$ — это медиана, то по определению медианы она делит противолежащую сторону $BC$ пополам. Следовательно, точка $K$ является серединой отрезка $BC$, и выполняется равенство $BK = KC$.

2. Так как $AK$ — это высота, то по определению высоты она перпендикулярна стороне $BC$. Следовательно, углы $\angle AKB$ и $\angle AKC$ являются прямыми, то есть $\angle AKB = \angle AKC = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим два треугольника, на которые отрезок $AK$ делит треугольник $ABC$: $\triangle ABK$ и $\triangle ACK$. Сравним их:

- Сторона $AK$ у них общая.
- Стороны $BK$ и $KC$ равны ($BK = KC$), так как $AK$ — медиана.
- Угол $\angle AKB$ равен углу $\angle AKC$ ($\angle AKB = \angle AKC = 90^\circ$), так как $AK$ — высота.

Таким образом, треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle ACK$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Также можно утверждать, что они равны как прямоугольные треугольники по двум катетам ($AK$ и $BK = KC$).

Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов, в том числе и сторон. Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABK$ является гипотенузой и соответствует гипотенузе $AC$ треугольника $\triangle ACK$. Следовательно, должно выполняться равенство $AB = AC$.

Полученное нами равенство $AB = AC$ находится в прямом противоречии с первоначальным условием задачи, в котором сказано, что $AB \neq AC$.

Это противоречие доказывает, что наше исходное предположение о том, что медиана и высота из вершины $A$ совпадают, было неверным.

Следовательно, если стороны $AB$ и $AC$ треугольника не равны, то медиана и высота, проведенные из вершины $A$, не совпадают.

Ответ: Что и требовалось доказать.