Номер 1.171, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.171. Докажите, что любой угол треугольника равен паре вертикальных углов, образованных при пересечении прямых, проходящих через высоты, опущенные из двух других вершин треугольника (рис. 1.81).

Puc. 1.81

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$. Докажем утверждение для угла $\angle A$. Доказательство для углов $\angle B$ и $\angle C$ будет аналогичным.

Пусть $BH_B$ — высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$, а $CH_C$ — высота, опущенная из вершины $C$ на сторону $AB$. Пусть $O$ — точка пересечения прямых, содержащих эти высоты (ортоцентр).

По определению высоты, $BH_B \perp AC$ и $CH_C \perp AB$. Это означает, что углы, которые они образуют с соответствующими сторонами, прямые: $\angle A H_B B = 90^\circ$ и $\angle A H_C C = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $A H_C O H_B$. Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. В данном четырехугольнике углы при вершинах $H_C$ и $H_B$ являются прямыми: $\angle A H_C O = 90^\circ$ и $\angle A H_B O = 90^\circ$.

Следовательно, для четырехугольника $A H_C O H_B$ имеем:

$\angle H_C A H_B + \angle A H_C O + \angle H_C O H_B + \angle O H_B A = 360^\circ$

Подставляя известные значения углов, где $\angle H_C A H_B$ это угол $\angle A$ треугольника, получаем:

$\angle A + 90^\circ + \angle H_C O H_B + 90^\circ = 360^\circ$

Упрощая выражение, находим связь между углом $\angle A$ и углом $\angle H_C O H_B$ при пересечении высот:

$\angle A + \angle H_C O H_B = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$

Это означает, что угол $\angle A$ и угол $\angle H_C O H_B$ являются дополнительными друг другу до $180^\circ$.

Теперь рассмотрим углы, образованные при пересечении прямых $BH_B$ и $CH_C$ в точке $O$. Точки $C, O, H_C$ лежат на одной прямой. Углы $\angle H_C O H_B$ и $\angle H_B O C$ являются смежными. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle H_C O H_B + \angle H_B O C = 180^\circ$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \angle A + \angle H_C O H_B = 180^\circ \\ \angle H_B O C + \angle H_C O H_B = 180^\circ \end{cases}$

Из этой системы следует, что $\angle A = \angle H_B O C$.

Угол $\angle H_B O C$ и вертикальный ему угол $\angle H_C O B$ образуют одну из пар вертикальных углов при пересечении высот. Поскольку вертикальные углы равны, то $\angle A = \angle H_B O C = \angle H_C O B$. Таким образом, мы доказали, что угол $\angle A$ равен каждому из углов в паре вертикальных углов, образованных при пересечении высот, опущенных из двух других вершин ($B$ и $C$).

Аналогично, рассматривая высоты из вершин $A$ и $C$, можно доказать, что угол $\angle B$ равен паре вертикальных углов при их пересечении. Рассматривая высоты из $A$ и $B$, доказывается то же самое для угла $\angle C$.

Ответ: Что и требовалось доказать.