Номер 1.164, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.164. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $ABD$ имеют общее основание $AB$. Докажите, что отрезок $CD$ проходит через середину $AB$ (рис. 1.80).

Рис. 1.80

Дано:

$ \triangle ABC $ и $ \triangle ABD $ — равнобедренные треугольники с общим основанием $ AB $. Это означает, что боковые стороны равны: $ AC = BC $ и $ AD = BD $.

Доказать:

Отрезок $ CD $ проходит через середину отрезка $ AB $.

Доказательство:

Рассмотрим два случая расположения вершин C и D: по одну сторону от прямой AB и по разные стороны от прямой AB. Доказательство будет одинаковым для обоих случаев.

1. Рассмотрим треугольники $ \triangle ACD $ и $ \triangle BCD $.

В этих треугольниках:

• $ AC = BC $ (по условию, так как $ \triangle ABC $ равнобедренный).
• $ AD = BD $ (по условию, так как $ \triangle ABD $ равнобедренный).
• $ CD $ — общая сторона.

Следовательно, $ \triangle ACD \cong \triangle BCD $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

2. Из равенства треугольников $ \triangle ACD $ и $ \triangle BCD $ следует равенство их соответствующих углов. В частности, нас интересуют углы $ \angle ACD $ и $ \angle BCD $. Таким образом, $ \angle ACD = \angle BCD $.

3. Пусть $ M $ — точка пересечения отрезков $ CD $ и $ AB $.

4. Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ACM $ и $ \triangle BCM $.

В этих треугольниках:

• $ AC = BC $ (по условию).
• $ CM $ — общая сторона.
• $ \angle ACM = \angle BCM $ (поскольку это те же углы, что и $ \angle ACD $ и $ \angle BCD $, равенство которых мы доказали в пункте 2).

Следовательно, $ \triangle ACM \cong \triangle BCM $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

5. Из равенства треугольников $ \triangle ACM $ и $ \triangle BCM $ следует равенство их соответствующих сторон. В частности, $ AM = BM $.

Поскольку точка $ M $ лежит на отрезке $ AB $ и делит его на два равных отрезка ($ AM = BM $), то $ M $ является серединой отрезка $ AB $. Так как $ M $ — это точка пересечения отрезков $ CD $ и $ AB $, это доказывает, что отрезок $ CD $ проходит через середину отрезка $ AB $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Путем доказательства равенства треугольников $ \triangle ACD $ и $ \triangle BCD $, а затем $ \triangle ACM $ и $ \triangle BCM $ (где M - точка пересечения AB и CD), мы установили, что $ AM = BM $, что означает, что отрезок $ CD $ проходит через середину основания $ AB $.