Номер 1.160, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.160. * Даны отрезки, длины которых a, b, c, d, e. Постройте отрезки, длины которых:

1) $x = \frac{ab}{d}$;

2) $x = \frac{abc}{de}$.

1) Для построения отрезка, длина которого равна $x = \frac{ab}{d}$, используется метод построения четвертого пропорционального отрезка. Этот метод основан на теореме о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса), которая является следствием подобия треугольников.

Заданное равенство можно представить в виде пропорции, например: $\frac{d}{a} = \frac{b}{x}$ или $\frac{d}{b} = \frac{a}{x}$. Воспользуемся второй пропорцией для построения.

Порядок построения:

1. Построим произвольный неразвернутый угол с вершиной в точке $O$. Обозначим его лучи как $l_1$ и $l_2$.

2. На луче $l_1$ отложим от вершины $O$ два отрезка: $OD$ длиной $d$ и $OB$ длиной $b$.

3. На другом луче, $l_2$, отложим от вершины $O$ отрезок $OA$ длиной $a$.

4. Соединим точки $D$ и $A$ прямой линией.

5. Через точку $B$ проведем прямую, параллельную отрезку $DA$. Точку пересечения этой прямой с лучом $l_2$ обозначим $X$.

Полученный отрезок $OX$ и есть искомый отрезок $x$.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ODA$ и $\triangle OBX$. Угол при вершине $O$ является общим для обоих треугольников. Так как прямая $BX$ построена параллельно прямой $DA$, то углы $\angle ODA$ и $\angle OBX$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $DA$, $BX$ и секущей $l_1$. Следовательно, треугольники $\triangle ODA$ и $\triangle OBX$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{OD}{OB} = \frac{OA}{OX}$

Подставим в эту пропорцию длины известных отрезков:

$\frac{d}{b} = \frac{a}{OX}$

Выразим из этого равенства длину отрезка $OX$:

$OX = \frac{ab}{d}$

Таким образом, построенный отрезок $OX$ имеет требуемую длину $x$.

Ответ: Искомый отрезок $x$ строится как четвертый пропорциональный к отрезкам $d, a, b$; его построение описано выше.

2) Для построения отрезка, длина которого $x = \frac{abc}{de}$, необходимо выполнить построение четвертого пропорционального отрезка дважды.

Задачу можно разбить на два этапа:

1. Сначала построим вспомогательный отрезок $y$, длина которого вычисляется по формуле $y = \frac{ab}{d}$.

2. Затем, используя построенный отрезок $y$, мы найдем искомый отрезок $x$ по формуле $x = \frac{yc}{e}$.

Этап 1: Построение вспомогательного отрезка $y = \frac{ab}{d}$.

Это построение в точности повторяет решение из пункта 1. В результате мы получаем отрезок, назовем его $O_1Y$, длина которого равна $y$.

Этап 2: Построение искомого отрезка $x = \frac{yc}{e}$.

Теперь у нас есть отрезки с длинами $y$ (построенный на первом этапе), $c$ и $e$ (данные в условии). Нам нужно построить отрезок $x$. Представим формулу $x = \frac{yc}{e}$ в виде пропорции: $\frac{e}{c} = \frac{y}{x}$.

Порядок построения:

1. Построим новый произвольный неразвернутый угол с вершиной в точке $O_2$. Обозначим его лучи $m_1$ и $m_2$.

2. На луче $m_1$ отложим от вершины $O_2$ два отрезка: $O_2E$ длиной $e$ и $O_2C$ длиной $c$.

3. На другом луче, $m_2$, отложим от вершины $O_2$ отрезок $O_2Y'$ длиной $y$ (длина этого отрезка равна длине отрезка $O_1Y$, построенного на первом этапе).

4. Соединим точки $E$ и $Y'$ прямой линией.

5. Через точку $C$ проведем прямую, параллельную отрезку $EY'$. Точку пересечения этой прямой с лучом $m_2$ обозначим $X$.

Полученный отрезок $O_2X$ и есть искомый отрезок $x$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle O_2EY'$ и $\triangle O_2CX$. Угол при вершине $O_2$ у них общий. Прямые $EY'$ и $CX$ параллельны по построению, следовательно, углы $\angle O_2EY'$ и $\angle O_2CX$ равны как соответственные при секущей $m_1$. Значит, $\triangle O_2EY' \sim \triangle O_2CX$ по двум углам.

Из подобия следует пропорциональность сторон:

$\frac{O_2E}{O_2C} = \frac{O_2Y'}{O_2X}$

Подставим длины отрезков:

$\frac{e}{c} = \frac{y}{O_2X}$

Выразим $O_2X$: $O_2X = \frac{yc}{e}$.

Вспоминая, что $y = \frac{ab}{d}$, подставим это выражение в формулу для $O_2X$:

$O_2X = \frac{(\frac{ab}{d})c}{e} = \frac{abc}{de}$

Таким образом, построенный отрезок $O_2X$ имеет требуемую длину $x$.

Ответ: Искомый отрезок $x$ строится в два этапа, каждый из которых представляет собой построение четвертого пропорционального отрезка, как описано выше.