Номер 1.156, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.156. Постройте трапецию по основаниям, высоте и одному углу.

Для построения трапеции по заданным двум основаниям, высоте и одному углу, нам даны три отрезка, которые определяют длины оснований $a$ и $b$ (для определенности пусть $a > b$), высоту $h$, и угол $\alpha$.

Пусть искомая трапеция — $ABCD$ с основаниями $AD=a$ и $BC=b$, и высотой $h$. Данный угол $\alpha$ может прилегать либо к большему основанию $AD$, либо к меньшему $BC$.

1. Если угол $\alpha$ прилегает к большему основанию (например, $\angle A = \alpha$), то мы можем непосредственно использовать его при построении.

2. Если угол $\alpha$ прилегает к меньшему основанию (например, $\angle B = \alpha$), то мы можем найти угол при большем основании, лежащий на той же боковой стороне. Поскольку в трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$, то $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Отсюда, угол при большем основании будет $\angle A = 180^\circ - \alpha$.

Таким образом, задача в любом случае сводится к построению трапеции по двум основаниям $a$, $b$, высоте $h$ и углу при большем основании. Обозначим этот угол как $\beta$. Если дан угол при большем основании, $\beta = \alpha$. Если дан угол при меньшем основании, $\beta = 180^\circ - \alpha$.

Основная идея построения заключается в том, чтобы сначала построить две параллельные прямые на расстоянии $h$ друг от друга, которые будут содержать основания трапеции. Затем на одной из них отложить большее основание, построить заданный угол и найти положение боковой стороны, а затем достроить трапецию.

1. Определим угол $\beta$ при большем основании. Если данный угол $\alpha$ уже является углом при большем основании, то $\beta = \alpha$. Если $\alpha$ — угол при меньшем основании, то построим угол $\beta = 180^\circ - \alpha$ (угол, смежный с $\alpha$).
2. Проведем произвольную прямую $m$. Выберем на ней точку $A$ — одну из вершин будущего большего основания.
3. На прямой $m$ от точки $A$ отложим отрезок $AD$ длиной $a$.
4. Построим прямую $l$, параллельную прямой $m$ и отстоящую от нее на расстояние $h$. Для этого можно в любой точке прямой $m$ (например, в $A$) восставить перпендикуляр, отложить на нем отрезок длиной $h$ и через его конец провести прямую $l \parallel m$.
5. В точке $A$ построим угол, равный $\beta$, так, чтобы одна его сторона совпадала с лучом $AD$.
6. Другая сторона этого угла пересечет прямую $l$ в точке $B$. Эта точка — третья вершина трапеции.
7. На прямой $l$ отложим от точки $B$ отрезок $BC$ длиной $b$ в том же направлении, в котором отложен отрезок $AD$ (то есть так, чтобы четырехугольник не был самопересекающимся). Получим четвертую вершину $C$.
8. Соединив последовательно точки $A, B, C$ и $D$, получим искомую трапецию.

Построенный четырехугольник $ABCD$ является трапецией, так как его стороны $AD$ и $BC$ по построению лежат на параллельных прямых ($m \parallel l$). Длина основания $AD$ равна $a$, длина основания $BC$ равна $b$ по построению. Расстояние между прямыми $m$ и $l$ равно $h$, следовательно, высота трапеции равна $h$. Угол при большем основании $\angle DAB$ по построению равен $\beta$. Если исходно был дан угол при большем основании $\alpha$, то $\beta = \alpha$ и условие выполнено. Если был дан угол при меньшем основании $\alpha$, то мы строили $\angle DAB = \beta = 180^\circ - \alpha$. Так как $AD \parallel BC$, то $\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha$, что также удовлетворяет условию задачи. Следовательно, построенная трапеция является искомой.

Построение возможно, если угол $\beta$ не равен $0^\circ$ и $180^\circ$, так как в противном случае вторая сторона угла не пересечет прямую $l$ (будет ей параллельна). Это означает, что данный угол $\alpha$ также не должен быть равен $0^\circ$ или $180^\circ$. Если эти условия соблюдены, задача всегда имеет решение. При заданных $a, b, h, \alpha$ и выборе несамопересекающейся фигуры, решение единственно с точностью до выбора, с какой стороны от боковой стороны $AB$ будет находиться остальная часть трапеции (т.е. с точностью до симметрии).

Ответ: Алгоритм построения искомой трапеции описан выше. Трапеция, удовлетворяющая заданным условиям, построена.