Номер 1.155, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.155. Постройте трапецию по основаниям, высоте и одной диагонали.

Для построения трапеции по заданным двум основаниям $a$ и $b$, высоте $h$ и диагонали $d$, воспользуемся методом, основанным на построении вспомогательного прямоугольного треугольника.

Пусть искомая трапеция $ABCD$ построена, где $AD$ и $BC$ — основания, $AD=a$, $BC=b$, и $AD \parallel BC$. Пусть $AC$ — данная диагональ, $AC=d$. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на прямую, содержащую основание $AD$. Длина высоты $CH$ равна $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AC=d$ и катет $CH=h$. Такой треугольник можно построить. Построив его, мы найдем положение вершин $A$ и $C$. Зная положение вершин $A$ и $C$, а также длины оснований $a$ и $b$, мы сможем достроить трапецию.

Ответ: План построения основывается на нахождении вершин $A$ и $C$ через построение прямоугольного треугольника с гипотенузой $d$ и катетом $h$, а затем откладывании отрезков оснований $a$ и $b$.

1. Проведем произвольную прямую $l$. Она будет содержать одно из оснований трапеции.
2. Выберем на прямой $l$ произвольную точку $H$ и восставим к прямой $l$ в этой точке перпендикуляр.
3. На перпендикуляре отложим отрезок $HC$, равный заданной высоте $h$.
4. Через точку $C$ проведем прямую $m$, параллельную прямой $l$. Прямые $l$ и $m$ будут содержать основания искомой трапеции.
5. Из точки $C$ как из центра проведем окружность радиусом, равным длине диагонали $d$.
6. Точка (или точки) пересечения этой окружности с прямой $l$ будет вершиной $A$ трапеции. Обозначим одну из точек пересечения как $A$. (Если $dh$ — две точки).
7. Теперь у нас есть вершины $A$ и $C$. На прямой $l$ от точки $A$ отложим отрезок $AD$, равный длине основания $a$.
8. На прямой $m$ от точки $C$ отложим отрезок $CB$, равный длине основания $b$.
9. Соединим точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомая трапеция.

Ответ: Последовательность шагов, включающая построение параллельных прямых на расстоянии $h$, нахождение вершин $A$ и $C$ с помощью окружности радиуса $d$ и последующее откладывание оснований $a$ и $b$, приводит к построению искомой трапеции.

В построенном четырехугольнике $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ лежат на параллельных прямых $l$ и $m$ (по построению). Следовательно, $ABCD$ является трапецией.

Расстояние между прямыми $l$ и $m$ равно $h$ (по построению), значит, высота трапеции равна $h$.

Длина основания $AD$ равна $a$ (по построению).

Длина основания $BC$ равна $b$ (по построению).

Длина диагонали $AC$ равна $d$, так как точка $A$ была получена как пересечение прямой $l$ с окружностью радиуса $d$ с центром в точке $C$.

Таким образом, построенная трапеция $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построенная фигура является трапецией с заданными основаниями, высотой и диагональю, что доказывается соответствием каждого элемента построения условиям задачи.

Задача имеет решение только в том случае, если возможно построить прямоугольный треугольник $ACH$, то есть если гипотенуза $d$ не меньше катета $h$. Таким образом, условие существования решения: $d \ge h$.

• Если $d < h$, окружность радиуса $d$ с центром в $C$ не пересечет прямую $l$, и решений нет.
• Если $d = h$, окружность касается прямой $l$ в одной точке $A=H$. В этом случае диагональ совпадает с высотой, и трапеция будет прямоугольной ($AC \perp AD$). Построение дает единственную трапецию (с точностью до выбора направления откладывания оснований).
• Если $d > h$, окружность пересекает прямую $l$ в двух точках ($A_1$ и $A_2$), симметричных относительно точки $H$. Это дает два варианта для вершины $A$.

Кроме того, на шаге 7 основание $AD$ можно отложить от точки $A$ в двух направлениях. Аналогично, на шаге 8 основание $BC$ можно отложить от точки $C$ в двух направлениях. Это создает несколько возможных конфигураций трапеции.

Зафиксируем одну из возможных точек $A$. Тогда для точки $D$ есть два положения на прямой $l$, а для точки $B$ — два положения на прямой $m$. Это дает $2 \times 2 = 4$ различные трапеции для одного положения $A$. Так как при $d>h$ есть два возможных положения для $A$, общее число решений может достигать 8.

Ответ: Задача имеет решение при $d \ge h$. Если $d=h$, решение по сути одно (с точностью до ориентации). Если $d>h$, задача может иметь до 8 несовпадающих решений.