Номер 1.155, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.155. Постройте трапецию по основаниям, высоте и одной диагонали.

Анализ задачи

Дано: длины двух оснований $a$ и $b$ (пусть $a$ - большее основание, $b$ - меньшее), высота $h$ и длина одной диагонали $d$.

Требуется: построить трапецию $ABCD$.

Предположим, что $AD$ - большее основание, $BC$ - меньшее основание, $AD \parallel BC$. Высота трапеции равна $h$. Заданная диагональ - $AC=d$.

План построения

План состоит в следующем:

1. Построить одно из оснований ($AD$) на произвольной прямой.
2. Построить вторую прямую, параллельную первому основанию, на расстоянии, равном высоте $h$. На этой прямой будет лежать второе основание ($BC$).
3. Используя данную диагональ $d$ и высоту $h$, найти проекцию одной из вершин меньшего основания ($C$) на прямую, содержащую большее основание. Это возможно с помощью теоремы Пифагора.
4. Построить вершину $C$, подняв перпендикуляр от ее проекции до параллельной прямой.
5. Используя длину меньшего основания $b$, найти проекцию второй вершины меньшего основания ($B$) и затем саму вершину $B$.
6. Соединить найденные вершины для получения трапеции.

Построение

Даны отрезки: $a$ (большее основание), $b$ (меньшее основание), $h$ (высота) и $d$ (диагональ).

1. Начертите произвольную прямую $l$. Отметьте на ней точку $A$. От точки $A$ отложите отрезок $AD$, равный заданной длине $a$. Точки $A$ и $D$ являются двумя вершинами трапеции.
2. Через точку $A$ проведите прямую, перпендикулярную $l$. На этой перпендикулярной прямой отложите отрезок $AP$, равный высоте $h$.
3. Через точку $P$ проведите прямую $m$, параллельную прямой $l$. Эта прямая $m$ будет содержать меньшее основание трапеции $BC$. Расстояние между прямыми $l$ и $m$ равно $h$.
4. Для определения положения вершины $C$, найдем длину ее проекции на прямую $l$. Обозначим эту проекцию $K$. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю $AC$, высотой $KC = h$ и отрезком $AK$, гипотенуза $AC = d$. По теореме Пифагора длина второго катета $AK$ равна $\sqrt{d^2 - h^2}$. Постройте отрезок $x = \sqrt{d^2 - h^2}$. Это можно сделать, построив прямоугольный треугольник с гипотенузой $d$ и катетом $h$; второй катет будет иметь длину $x$.
5. На прямой $l$ от точки $A$ отложите отрезок $AK$, равный $x$. Направление выбирается произвольно (например, вправо от $A$).
6. Восстановите перпендикуляр к прямой $l$ из точки $K$. Точка пересечения этого перпендикуляра с прямой $m$ даст вершину $C$ трапеции.
7. Теперь необходимо найти вершину $B$. Мы знаем, что $BC = b$ и $BC \parallel AD$. Это означает, что проекция отрезка $BC$ на прямую $l$ также имеет длину $b$. Пусть $L$ будет проекцией вершины $B$ на прямую $l$. Тогда $KL = b$. Для стандартной ориентации трапеции, где $AD$ идет слева направо, а $BC$ также слева направо, $B$ будет находиться левее $C$. Следовательно, отложите от точки $K$ на прямой $l$ отрезок $KL$, равный $b$, в направлении, противоположном тому, в котором $K$ отложен от $A$ (если $K$ был отложен вправо, то $L$ откладывается влево от $K$).
8. Восстановите перпендикуляр к прямой $l$ из точки $L$. Точка пересечения этого перпендикуляра с прямой $m$ даст вершину $B$ трапеции.
9. Соедините последовательно точки $A$, $B$, $C$, $D$ отрезками. Полученная фигура $ABCD$ является искомой трапецией.

Ответ: Построение завершено.

Доказательство

Построенная фигура $ABCD$ является трапецией, удовлетворяющей заданным условиям:

• По построению (шаг 3), прямая $m$ (содержащая $BC$) параллельна прямой $l$ (содержащей $AD$). Следовательно, стороны $AD$ и $BC$ параллельны, что является определением трапеции.
• Длина основания $AD$ равна $a$ по шагу 1.
• Расстояние между параллельными прямыми $l$ и $m$ равно $h$ по шагам 2 и 3, что является высотой трапеции.
• В прямоугольном треугольнике $\triangle AKC$, построенном в шагах 4-6, катеты $AK = x = \sqrt{d^2 - h^2}$ и $KC = h$ (так как $KC$ - перпендикуляр между параллельными прямыми). По теореме Пифагора, гипотенуза $AC = \sqrt{(AK)^2 + (KC)^2} = \sqrt{(\sqrt{d^2 - h^2})^2 + h^2} = \sqrt{d^2 - h^2 + h^2} = \sqrt{d^2} = d$. Таким образом, длина диагонали $AC$ равна $d$, как и требовалось.
• По шагам 7 и 8, $L$ и $K$ являются проекциями вершин $B$ и $C$ соответственно на прямую $l$. Отрезок $LK$ равен $b$. Поскольку вершины $B$ и $C$ лежат на прямой $m$, а $BL$ и $CK$ перпендикулярны $l$ (и $m$), то $BC$ является отрезком, заключенным между этими перпендикулярами. Следовательно, длина $BC$ равна $LK$, то есть $BC = b$.

Таким образом, построенная фигура $ABCD$ является трапецией с заданными основаниями $a$ и $b$, высотой $h$ и диагональю $d$.

Ответ: Доказано, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение при следующих условиях:

• Для того чтобы $\sqrt{d^2 - h^2}$ был действительным числом, необходимо, чтобы $d \ge h$. Если $d < h$, то решение не существует. Если $d = h$, то $x=0$, что означает, что точка $K$ совпадает с $A$, и диагональ $AC$ является высотой трапеции.
• Поскольку при построении отрезков $AK$ (шаг 5) и $KL$ (шаг 7) можно выбрать направление (вправо или влево), задача может иметь несколько решений (несколько различных трапеций). Комбинируя эти выборы, можно получить до четырех различных трапеций, соответствующих условиям.
• Например, $K$ может быть отложен как вправо, так и влево от $A$. Затем $L$ может быть отложен как вправо, так и влево от $K$. Эти варианты определяют различные конфигурации трапеции (например, "наклоненную" вправо или влево).

Ответ: Задача может иметь до четырех различных решений в зависимости от выбора направлений при построении отрезков $AK$ и $KL$, при условии $d \ge h$.