Номер 1.148, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.148. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

1.148. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD \parallel BC$. Пусть $M$ — середина диагонали $AC$, а $N$ — середина диагонали $BD$. Требуется доказать, что длина отрезка $MN$ равна полуразности длин оснований.

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника. Пусть $K$ — середина боковой стороны $AB$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $K$ — середина стороны $AB$, а $M$ — середина стороны $AC$, то отрезок $KM$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $KM$ параллельна основанию $BC$ и равна его половине:

$KM = \frac{1}{2}BC$

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $K$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $BD$, то отрезок $KN$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии, $KN$ параллельна основанию $AD$ и равна его половине:

$KN = \frac{1}{2}AD$

Поскольку основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), а также $KM \parallel BC$ и $KN \parallel AD$, то отрезки $KM$ и $KN$ параллельны между собой. Так как они имеют общую точку $K$, то точки $K$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой. Эта прямая является средней линией трапеции.

Длина отрезка $MN$ равна модулю разности длин отрезков $KN$ и $KM$. Предположим, что $AD$ является большим основанием, то есть $AD > BC$. В этом случае $KN > KM$, и точка $M$ лежит между точками $K$ и $N$. Тогда:

$MN = KN - KM$

Подставим в полученное равенство выражения для длин $KN$ и $KM$:

$MN = \frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC = \frac{AD - BC}{2}$

Таким образом, мы доказали, что длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности её оснований.

Ответ: Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, вычисляется по формуле $\frac{a - b}{2}$, где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции и $a > b$. В общем случае длина равна $\frac{|a - b|}{2}$.