Номер 1.147, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.147. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна меньшему основанию и перпендикулярна ее диагонали. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания, причем $BC$ — меньшее основание. По условию задачи, боковая сторона равна меньшему основанию, то есть $AB = CD = BC$. Также по условию боковая сторона перпендикулярна диагонали. Возможны два случая: боковая сторона перпендикулярна диагонали, выходящей из той же вершины, или диагонали, выходящей из другой вершины того же основания. Разберем второй, более общий случай, когда боковая сторона $CD$ перпендикулярна диагонали $AC$, то есть $\angle ACD = 90^\circ$. (Первый случай, $AB \perp AC$, приводит к противоречию, так как в равнобедренном треугольнике $ABC$ с $AB=BC$ углы при основании $AC$ были бы равны, $\angle BAC = \angle BCA$, и если $\angle BAC=90^\circ$, то и $\angle BCA=90^\circ$, что невозможно в треугольнике).

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $AB = BC$ по условию, этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, углы при его основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Обозначим величину этих углов через $\alpha$, то есть $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$.

Поскольку $ABCD$ — трапеция, ее основания параллельны: $BC \parallel AD$. Прямая $AC$ является секущей при этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle CAD = \angle BCA = \alpha$.

Теперь мы можем выразить углы трапеции при большем основании $AD$. Угол при вершине $A$ равен сумме двух углов: $\angle DAB = \angle BAC + \angle CAD = \alpha + \alpha = 2\alpha$.

Так как трапеция равнобедренная, углы при каждом основании равны. Значит, $\angle CDA = \angle DAB = 2\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$ (так как по условию $\angle ACD = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, но мы используем общую сумму углов для наглядности. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для $\triangle ACD$ имеем:

$\angle CAD + \angle ACD + \angle CDA = 180^\circ$

Подставим известные нам выражения для углов:

$\alpha + 90^\circ + 2\alpha = 180^\circ$

Решим это уравнение относительно $\alpha$:

$3\alpha = 180^\circ - 90^\circ$

$3\alpha = 90^\circ$

$\alpha = 30^\circ$

Теперь, зная значение $\alpha$, мы можем найти все углы трапеции.

Углы при большем основании $AD$:

$\angle A = \angle D = 2\alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Поэтому углы при меньшем основании $BC$ равны:

$\angle B = \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Проверим угол $C$ другим способом: $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = \alpha + 90^\circ = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ$. Результаты совпадают.

Ответ: Углы трапеции равны $60^\circ$, $120^\circ$, $120^\circ$ и $60^\circ$.