Страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.144. Длина меньшего основания трапеции равна 6,2 см, расстояние между серединами ее диагоналей – 4 см. Найдите большее основание трапеции.

Пусть $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, где $a$ — большее основание, а $b$ — меньшее. Пусть $m$ — расстояние между серединами диагоналей трапеции.

Согласно условию задачи, нам даны:

Длина меньшего основания: $b = 6,2$ см.

Расстояние между серединами диагоналей: $m = 4$ см.

В геометрии существует свойство трапеции, которое гласит, что длина отрезка, соединяющего середины ее диагоналей, равна полуразности длин оснований. Это свойство можно выразить следующей формулой:

$m = \frac{a - b}{2}$

Чтобы найти длину большего основания $a$, подставим известные значения в эту формулу:

$4 = \frac{a - {6,2}}{2}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$. Сначала умножим обе части уравнения на 2:

$4 \cdot 2 = a - {6,2}$

$8 = a - {6,2}$

Далее, чтобы выразить $a$, перенесем ${6,2}$ в левую часть уравнения, изменив знак на противоположный (или, что эквивалентно, прибавим ${6,2}$ к обеим частям):

$a = 8 + {6,2}$

$a = {14,2}$

Следовательно, длина большего основания трапеции равна 14,2 см.

Ответ: 14,2 см.

1.145. Как разделить трапецию:

1) на две части, чтобы из них составить параллелограмм;

2) на две части, чтобы из них составить треугольник;

3) на три части, чтобы из них составить прямоугольник?

1) на две части, чтобы из них составить параллелограмм

Чтобы разделить трапецию на две части и составить из них параллелограмм, нужно выполнить следующие действия:

1. Найти середины непараллельных (боковых) сторон трапеции. Пусть у нас есть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, а боковые стороны – это $AB$ и $CD$. Найдем точку $M$ – середину стороны $AB$, и точку $N$ – середину стороны $CD$.
2. Соединить эти точки отрезком $MN$. Этот отрезок называется средней линией трапеции. Разрез трапеции производится по этой средней линии.
3. В результате мы получаем две новые трапеции: верхнюю $MBCN$ и нижнюю $AMND$.
4. Теперь нужно сложить из этих двух частей параллелограмм. Возьмем верхнюю трапецию $MBCN$ и повернем ее на 180° вокруг точки $N$.
   • Точка $N$ останется на месте.
   • Точка $C$ перейдет в точку $D$ (так как $N$ – середина отрезка $CD$).
   • Точка $M$ перейдет в новую точку $M'$, при этом точки $M, N, M'$ будут лежать на одной прямой.
   • Точка $B$ перейдет в новую точку $B'$.
5. Приставим повернутую трапецию $M'B'DN$ к нижней трапеции $AMND$ так, чтобы их стороны, бывшие частью боковой стороны $CD$, совпали (сторона $DN$ первой трапеции и сторона $ND$ повернутой).
6. В результате получится четырехугольник $AMB'M'$. Докажем, что это параллелограмм.
   • Сторона $MM'$ полученной фигуры состоит из двух отрезков $MN$ и $NM'$, которые равны по длине (так как $NM'$ – это повернутый $MN$). Длина средней линии $MN$ равна $ \frac{AD+BC}{2} $. Значит, длина стороны $MM'$ равна $AD+BC$.
   • Сторона $AB'$ состоит из отрезка $AD$ и отрезка $DB'$, который является повернутым отрезком $BC$. Так как $BC$ параллельна $AD$, то и $DB'$ параллельна $AD$, а значит точки $A, D, B'$ лежат на одной прямой. Длина стороны $AB'$ равна $AD+BC$. Таким образом, противоположные стороны $MM'$ и $AB'$ равны и параллельны (обе параллельны основанию $AD$).
   • Сторона $AM$ является половиной боковой стороны $AB$. Сторона $M'B'$ является повернутой стороной $MB$, которая также равна половине $AB$. Следовательно, стороны $AM$ и $M'B'$ равны и параллельны.
   Таким образом, полученная фигура $AMB'M'$ является параллелограммом.

Ответ: Необходимо разрезать трапецию по средней линии, затем одну из получившихся частей повернуть на 180° вокруг ее вершины, лежащей на середине боковой стороны исходной трапеции, и приставить к другой части.

2) на две части, чтобы из них составить треугольник

Чтобы разделить трапецию на две части и составить из них треугольник, необходимо:

1. Выбрать одну из вершин при меньшем основании, например, вершину $B$ трапеции $ABCD$ (где $BC$ – меньшее основание).
2. Найти середину противоположной боковой стороны $CD$. Обозначим эту точку как $M$.
3. Провести разрез по отрезку $BM$. В результате трапеция разделится на две части: треугольник $BCM$ и четырехугольник $ABMD$.
4. Теперь повернем треугольник $BCM$ на 180° вокруг точки $M$.
   • Точка $M$ останется на месте.
   • Точка $C$ перейдет в точку $D$, так как $M$ – середина отрезка $CD$.
   • Точка $B$ перейдет в новую точку $B'$.
5. Приставим полученный треугольник $B'DM$ к четырехугольнику $ABMD$ так, чтобы сторона $DM$ треугольника совпала со стороной $DM$ четырехугольника (изначально это была сторона $CM$ треугольника $BCM$).
6. В результате получится новая фигура – треугольник $AB'B$. Докажем это.
   • Сторона $B'D$ повернутого треугольника является образом стороны $BC$ исходного. Значит, $B'D$ параллельна $BC$.
   • Поскольку основание $BC$ трапеции параллельно основанию $AD$, то и сторона $B'D$ параллельна $AD$.
   • Это означает, что точки $A, D, B'$ лежат на одной прямой.
   • Таким образом, фигура, ограниченная вершинами $A, B, B'$, является треугольником со сторонами $AB$, $BB'$ и основанием $AB'$.

Ответ: Нужно соединить одну из вершин меньшего основания с серединой противоположной боковой стороны. По этому отрезку разрезать трапецию. Полученный малый треугольник повернуть на 180° вокруг середины боковой стороны и приставить к оставшейся части.

3) на три части, чтобы из них составить прямоугольник

Чтобы разделить трапецию на три части и составить из них прямоугольник, нужно выполнить следующие действия. Площадь трапеции равна произведению ее высоты $h$ на длину средней линии $m = \frac{a+b}{2}$, где $a$ и $b$ – длины оснований. Цель – составить прямоугольник с такими же сторонами $h$ и $m$.

1. Из вершин меньшего основания $B$ и $C$ опустим перпендикуляры на большее основание $AD$. Обозначим точки их пересечения с основанием $AD$ как $H_1$ и $H_2$ соответственно.
2. Эти два перпендикуляра ($BH_1$ и $CH_2$) являются двумя разрезами. Они делят трапецию на три части:
   • Прямоугольник $BCH_2H_1$ в центре (если $BC$ параллельно $AD$).
   • Два прямоугольных треугольника по бокам: $\triangle ABH_1$ и $\triangle CDH_2$.
3. Теперь составим из этих трех частей один большой прямоугольник.
   • Возьмем треугольник $\triangle CDH_2$ (правый). Его основание равно $H_2D$.
   • Разрежем этот треугольник по его средней линии (линия, параллельная основанию $H_2D$ и находящаяся на половине высоты $h/2$). Это действие является вспомогательным для понимания, но не дополнительным разрезом исходной трапеции. В результате получатся маленький треугольник и трапеция.
   • Повернем маленький верхний треугольник на 180° и приставим его к боковой стороне маленькой трапеции. В результате из $\triangle CDH_2$ получится прямоугольник с размерами $\frac{H_2D}{2} \times h$.
   • Аналогичную операцию мысленно проделаем с левым треугольником $\triangle ABH_1$. Из него получится прямоугольник размерами $\frac{AH_1}{2} \times h$.
   • Теперь у нас есть три прямоугольника: центральный размером $BC \times h$, и два боковых, которые вместе образуют прямоугольник с размерами $(\frac{AH_1+H_2D}{2}) \times h$.
   • Сложим эти прямоугольники вместе. Общая ширина будет $BC + \frac{AH_1+H_2D}{2}$. Так как $AD = AH_1 + H_1H_2 + H_2D$ и $H_1H_2 = BC$, то $AH_1+H_2D = AD-BC$. Итоговая ширина: $BC + \frac{AD-BC}{2} = \frac{2BC+AD-BC}{2} = \frac{AD+BC}{2}$, что равно длине средней линии $m$. Высота всех частей равна $h$.

Практическое сложение без дополнительных разрезов:

1. Берем центральный прямоугольник $BCH_2H_1$.
2. Берем правый треугольник $\triangle CDH_2$ и приставляем его к левой стороне центрального прямоугольника, к стороне $BH_1$.
3. Берем левый треугольник $\triangle ABH_1$ и приставляем его к правой стороне центрального прямоугольника, к стороне $CH_2$. В общем случае это не даст прямоугольник.

Более корректный способ сборки из тех же трех частей (прямоугольник и два треугольника):

1. Возьмем правый треугольник $\triangle CDH_2$. Повернем его на 180° и приставим к левому треугольнику $\triangle ABH_1$ так, чтобы их катеты высоты $h$ совпали. В результате получится прямоугольник, если трапеция равнобокая, или параллелограмм в общем случае.

Самый надежный метод, который работает всегда, требует другого подхода к сборке:

1. Разрезы те же: перпендикуляры $BH_1$ и $CH_2$. Части: $\triangle ABH_1$, прямоугольник $BCH_2H_1$, $\triangle CDH_2$.
2. Возьмем $\triangle CDH_2$. Приставим его к верхней части центрального прямоугольника так, чтобы катет $CH_2$ совпал с отрезком на прямой, содержащей сторону $BC$. Это невозможно без дополнительных разрезов.

Таким образом, самый простой и универсальный метод заключается в следующем:

1. Провести два разреза, опустив перпендикуляры из вершин меньшего основания на большее. Получим центральный прямоугольник и два боковых прямоугольных треугольника.
2. Соединить два боковых треугольника по их катетам (высотам), образовав один большой треугольник с основанием $(AD-BC)$ и высотой $h$.
3. Этот большой треугольник разрезать пополам по высоте и сложить из двух половинок прямоугольник размером $\frac{AD-BC}{2} \times h$.
4. Приставить этот новый прямоугольник к центральному прямоугольнику $BC \times h$. Получится итоговый прямоугольник размером $\frac{AD+BC}{2} \times h$.

Хотя этот метод требует третьего (вспомогательного) разреза, он основан на первоначальном делении на три части.

Ответ: Нужно опустить из вершин меньшего основания перпендикуляры на большее основание. Трапеция разделится на центральный прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Из этих трех частей можно составить один большой прямоугольник, преобразуя два треугольника в прямоугольник и присоединяя его к центральному.

1.146. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей равнобедренной трапеции и точку пересечения продолжений ее боковых сторон, перпендикулярна основаниям трапеции и делит их пополам.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$ ($AB = CD$). Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Пусть $E$ — точка пересечения продолжений боковых сторон $AB$ и $DC$. Требуется доказать, что прямая, проходящая через точки $E$ и $O$, перпендикулярна основаниям $AD$ и $BC$ и делит их пополам.

1. Доказательство равнобедренности треугольников EAD и EBC.

Поскольку трапеция $ABCD$ равнобедренная, углы при ее основании равны: $\angle DAB = \angle CDA$. Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы при прямой $AE$ и $DE$ будут соответственными: $\angle EBC = \angle EAD$ и $\angle ECB = \angle EDA$. Из этого следует, что $\angle EBC = \angle ECB$. Таким образом, треугольник $EBC$ является равнобедренным с основанием $BC$, а его боковые стороны равны: $EB = EC$.

Теперь рассмотрим стороны $AE$ и $DE$. Они состоят из следующих отрезков: $AE = AB + BE$ $DE = DC + CE$ По условию трапеция равнобедренная, поэтому $AB = DC$. Мы также доказали, что $EB = EC$. Следовательно, $AE = DE$. Это означает, что треугольник $EAD$ также является равнобедренным с основанием $AD$.

2. Доказательство равнобедренности треугольников AOD и BOC.

В равнобедренной трапеции диагонали равны: $AC = BD$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$. У них сторона $AD$ — общая, $AB = DC$ по свойству равнобедренной трапеции, и $\angle DAB = \angle CDA$ как углы при основании. Следовательно, $\triangle ABD \cong \triangle DCA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle ADB = \angle DAC$. Эти углы являются углами при основании $AD$ в треугольнике $AOD$. Так как углы при основании равны, треугольник $AOD$ является равнобедренным, и $OA = OD$.

Поскольку диагонали $AC$ и $BD$ равны, и их отрезки $OA$ и $OD$ также равны, то и оставшиеся отрезки равны: $OC = AC - OA$ $OB = BD - OD$ Отсюда следует, что $OB = OC$. Таким образом, треугольник $BOC$ также является равнобедренным.

3. Доказательство того, что прямая EO перпендикулярна основаниям и делит их пополам.

Рассмотрим треугольники $\triangle EOA$ и $\triangle EOD$. В них: сторона $AE = DE$ (доказано в п.1), сторона $OA = OD$ (доказано в п.2), а сторона $EO$ — общая. Следовательно, $\triangle EOA \cong \triangle EOD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства этих треугольников следует равенство углов $\angle AEO = \angle DEO$. Это значит, что прямая $EO$ является биссектрисой угла $AED$. Пусть прямая $EO$ пересекает основание $AD$ в точке $M$. Тогда $EM$ — это биссектриса равнобедренного треугольника $EAD$, проведенная к его основанию. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Как медиана, $EM$ делит основание $AD$ пополам: $AM = MD$. Как высота, $EM$ перпендикулярна основанию $AD$: $EM \perp AD$.

Теперь рассмотрим основание $BC$. Пусть прямая $EO$ пересекает его в точке $N$. В равнобедренном треугольнике $EBC$ ($EB=EC$) отрезок $EN$ является биссектрисой угла $BEC$. Следовательно, по свойству равнобедренного треугольника, $EN$ также является медианой и высотой. Как медиана, $EN$ делит основание $BC$ пополам: $BN = NC$. Как высота, $EN$ перпендикулярна основанию $BC$: $EN \perp BC$.

Таким образом, прямая, проходящая через точки $E$ и $O$, перпендикулярна обоим основаниям трапеции ($AD$ и $BC$) и делит каждое из них пополам.

Ответ: Утверждение доказано. Рассмотрев пары равнобедренных треугольников, образованных в ходе построений ($\triangle EAD$, $\triangle EBC$, $\triangle AOD$, $\triangle BOC$), мы доказываем, что прямая $EO$ является общей биссектрисой для углов $\angle AED$ и $\angle BEC$. В равнобедренных треугольниках $EAD$ и $EBC$ эта биссектриса является также медианой и высотой, проведенной к основаниям $AD$ и $BC$. Следовательно, прямая $EO$ перпендикулярна основаниям трапеции и делит их пополам.

1.147. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна меньшему основанию и перпендикулярна ее диагонали. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания, причем $BC$ — меньшее основание. По условию задачи, боковая сторона равна меньшему основанию, то есть $AB = CD = BC$. Также по условию боковая сторона перпендикулярна диагонали. Возможны два случая: боковая сторона перпендикулярна диагонали, выходящей из той же вершины, или диагонали, выходящей из другой вершины того же основания. Разберем второй, более общий случай, когда боковая сторона $CD$ перпендикулярна диагонали $AC$, то есть $\angle ACD = 90^\circ$. (Первый случай, $AB \perp AC$, приводит к противоречию, так как в равнобедренном треугольнике $ABC$ с $AB=BC$ углы при основании $AC$ были бы равны, $\angle BAC = \angle BCA$, и если $\angle BAC=90^\circ$, то и $\angle BCA=90^\circ$, что невозможно в треугольнике).

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $AB = BC$ по условию, этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, углы при его основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Обозначим величину этих углов через $\alpha$, то есть $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$.

Поскольку $ABCD$ — трапеция, ее основания параллельны: $BC \parallel AD$. Прямая $AC$ является секущей при этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle CAD = \angle BCA = \alpha$.

Теперь мы можем выразить углы трапеции при большем основании $AD$. Угол при вершине $A$ равен сумме двух углов: $\angle DAB = \angle BAC + \angle CAD = \alpha + \alpha = 2\alpha$.

Так как трапеция равнобедренная, углы при каждом основании равны. Значит, $\angle CDA = \angle DAB = 2\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$ (так как по условию $\angle ACD = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, но мы используем общую сумму углов для наглядности. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для $\triangle ACD$ имеем:

$\angle CAD + \angle ACD + \angle CDA = 180^\circ$

Подставим известные нам выражения для углов:

$\alpha + 90^\circ + 2\alpha = 180^\circ$

Решим это уравнение относительно $\alpha$:

$3\alpha = 180^\circ - 90^\circ$

$3\alpha = 90^\circ$

$\alpha = 30^\circ$

Теперь, зная значение $\alpha$, мы можем найти все углы трапеции.

Углы при большем основании $AD$:

$\angle A = \angle D = 2\alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Поэтому углы при меньшем основании $BC$ равны:

$\angle B = \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Проверим угол $C$ другим способом: $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = \alpha + 90^\circ = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ$. Результаты совпадают.

Ответ: Углы трапеции равны $60^\circ$, $120^\circ$, $120^\circ$ и $60^\circ$.

1.148. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

1.148. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD \parallel BC$. Пусть $M$ — середина диагонали $AC$, а $N$ — середина диагонали $BD$. Требуется доказать, что длина отрезка $MN$ равна полуразности длин оснований.

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника. Пусть $K$ — середина боковой стороны $AB$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $K$ — середина стороны $AB$, а $M$ — середина стороны $AC$, то отрезок $KM$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $KM$ параллельна основанию $BC$ и равна его половине:

$KM = \frac{1}{2}BC$

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $K$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $BD$, то отрезок $KN$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии, $KN$ параллельна основанию $AD$ и равна его половине:

$KN = \frac{1}{2}AD$

Поскольку основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), а также $KM \parallel BC$ и $KN \parallel AD$, то отрезки $KM$ и $KN$ параллельны между собой. Так как они имеют общую точку $K$, то точки $K$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой. Эта прямая является средней линией трапеции.

Длина отрезка $MN$ равна модулю разности длин отрезков $KN$ и $KM$. Предположим, что $AD$ является большим основанием, то есть $AD > BC$. В этом случае $KN > KM$, и точка $M$ лежит между точками $K$ и $N$. Тогда:

$MN = KN - KM$

Подставим в полученное равенство выражения для длин $KN$ и $KM$:

$MN = \frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC = \frac{AD - BC}{2}$

Таким образом, мы доказали, что длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности её оснований.

Ответ: Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, вычисляется по формуле $\frac{a - b}{2}$, где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции и $a > b$. В общем случае длина равна $\frac{|a - b|}{2}$.

1.149. По одну сторону отрезка $AB$, длина которого равна $a$, построили два квадрата: $APQS$ и $SMNB$ (рис. 1.70). Какая фигура является геометрическим местом точек середин отрезков (точек $D$), соединяющих центры всех возможных квадратов $APQS$ и $SMNB$?

Рис. 1.70

1.150. Постройте трапецию по основаниям и

Для нахождения искомого геометрического места точек (ГМТ) воспользуемся методом координат. Расположим отрезок AB на оси Ox так, чтобы точка A совпадала с началом координат. Тогда точки A и B будут иметь следующие координаты: $A(0, 0)$ и $B(a, 0)$.

Точка S принадлежит отрезку AB, поэтому её координаты можно записать как $S(x, 0)$, где $x$ может принимать любое значение от $0$ до $a$ ($0 \le x \le a$).

Рассмотрим первый квадрат APQS, построенный на отрезке AS. Длина его стороны равна $AS = x$. Поскольку квадрат построен по одну сторону от AB (предположим, в верхней полуплоскости), его вершины будут иметь координаты: $A(0, 0)$, $S(x, 0)$, $Q(x, x)$, $P(0, x)$.

Центр квадрата $O_1$ является серединой его диагонали, например, AQ. Найдем координаты $O_1$:
$x_{O_1} = \frac{x_A + x_Q}{2} = \frac{0 + x}{2} = \frac{x}{2}$
$y_{O_1} = \frac{y_A + y_Q}{2} = \frac{0 + x}{2} = \frac{x}{2}$
Таким образом, $O_1\left(\frac{x}{2}, \frac{x}{2}\right)$.

Теперь рассмотрим второй квадрат SMNB, построенный на отрезке SB. Длина его стороны равна $SB = a - x$. Его вершины имеют координаты: $S(x, 0)$, $B(a, 0)$, $N(a, a-x)$, $M(x, a-x)$.

Центр этого квадрата $O_2$ является серединой его диагонали, например, SN. Найдем координаты $O_2$:
$x_{O_2} = \frac{x_S + x_N}{2} = \frac{x + a}{2}$
$y_{O_2} = \frac{y_S + y_N}{2} = \frac{0 + (a - x)}{2} = \frac{a - x}{2}$
Таким образом, $O_2\left(\frac{x+a}{2}, \frac{a-x}{2}\right)$.

Точка D является серединой отрезка, соединяющего центры $O_1$ и $O_2$. Найдем координаты точки D $(x_D, y_D)$:
$x_D = \frac{x_{O_1} + x_{O_2}}{2} = \frac{\frac{x}{2} + \frac{x+a}{2}}{2} = \frac{\frac{2x+a}{2}}{2} = \frac{2x+a}{4}$
$y_D = \frac{y_{O_1} + y_{O_2}}{2} = \frac{\frac{x}{2} + \frac{a-x}{2}}{2} = \frac{\frac{a}{2}}{2} = \frac{a}{4}$

Полученные координаты точки D $(x_D, y_D) = \left(\frac{2x+a}{4}, \frac{a}{4}\right)$ зависят от параметра $x$.

Проанализируем эти координаты. Ордината точки D постоянна и равна $y_D = \frac{a}{4}$. Это означает, что все возможные положения точки D лежат на прямой, параллельной отрезку AB (оси Ox) и находящейся на расстоянии $\frac{a}{4}$ от него.

Теперь найдем, в каких пределах изменяется абсцисса $x_D$. Так как точка S перемещается по отрезку AB, параметр $x$ изменяется от $0$ до $a$.
При $x=0$ (когда точка S совпадает с A):
$x_D = \frac{2(0)+a}{4} = \frac{a}{4}$
При $x=a$ (когда точка S совпадает с B):
$x_D = \frac{2(a)+a}{4} = \frac{3a}{4}$

Поскольку $x_D$ является линейной функцией от $x$, при изменении $x$ от $0$ до $a$, $x_D$ будет принимать все значения от $\frac{a}{4}$ до $\frac{3a}{4}$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек D — это отрезок прямой, параллельной AB, концы которого имеют координаты $\left(\frac{a}{4}, \frac{a}{4}\right)$ и $\left(\frac{3a}{4}, \frac{a}{4}\right)$. Длина этого отрезка равна $\frac{3a}{4} - \frac{a}{4} = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2}$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это отрезок длиной $\frac{a}{2}$, параллельный отрезку AB и расположенный на расстоянии $\frac{a}{4}$ от него. Проекция этого отрезка на прямую AB симметрична относительно середины отрезка AB.

1.150. Постройте трапецию по основаниям и
боковым сторонам.

Для построения трапеции по заданным длинам оснований $a$ и $b$ и боковых сторон $c$ и $d$ воспользуемся методом вспомогательного треугольника.

Анализ

Пусть искомая трапеция $ABCD$ построена. Пусть $AD$ и $BC$ — её основания, $AB$ и $CD$ — боковые стороны. По условию, длины оснований равны $a$ и $b$, а длины боковых сторон — $c$ и $d$. Пусть для определенности $AD = a$, $BC = b$, $AB = c$ и $CD = d$. Будем считать, что $a > b$. (Если $a < b$, рассуждения аналогичны, а если $a = b$, то трапеция является параллелограммом, и его построение по трем сторонам $a, c, d$ возможно только если $c=d$).

Проведём через вершину $B$ прямую, параллельную боковой стороне $CD$. Пусть эта прямая пересекает большее основание $AD$ в точке $E$. Рассмотрим получившийся четырехугольник $BCDE$. Так как по определению трапеции $BC \parallel AD$, то $BC \parallel ED$. По построению $BE \parallel CD$. Следовательно, четырехугольник $BCDE$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма имеем: $BE = CD = d$ и $ED = BC = b$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABE$. Все его стороны нам известны:

• $AB = c$ (боковая сторона трапеции).
• $BE = d$ (так как $BE = CD$).
• $AE = AD - ED = a - b$. Длина этого отрезка является разностью длин оснований.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ABE$ по трём известным сторонам ($c$, $d$ и $a-b$), а затем к достроению этого треугольника до искомой трапеции.

Построение

Пусть даны четыре отрезка с длинами $a, b, c, d$.

1. Построим отрезок, равный разности оснований $a-b$. Для этого на произвольной прямой $l$ отложим отрезок $a$, а затем от его конца в обратном направлении отложим отрезок $b$. Полученный отрезок обозначим $AE$. Его длина равна $a-b$.
2. Построим треугольник $ABE$ по трем сторонам: $AE = a-b$, $AB = c$, $BE = d$. Для этого:
   • Из точки $A$ как из центра проведем дугу окружности радиусом $c$.
   • Из точки $E$ как из центра проведем дугу окружности радиусом $d$.
   • Точка пересечения этих дуг будет вершиной $B$. (Задача будет иметь два симметричных решения, выберем одно из них). Соединим точки $A, B$ и $E$ отрезками.
3. Достроим полученный треугольник до трапеции $ABCD$. Для этого нужно найти вершины $D$ и $C$.
   • Вершина $D$ лежит на прямой $l$. На луче $AE$ от точки $E$ отложим отрезок $ED$ длиной $b$. Получим точку $D$. В результате длина отрезка $AD$ будет равна $AE + ED = (a-b) + b = a$.
   • Для нахождения вершины $C$ воспользуемся тем, что $BCDE$ — параллелограмм. Это значит, что $\vec{BC} = \vec{ED}$. Можно построить точку $C$ с помощью циркуля и линейки, выполнив параллельный перенос точки $B$ на вектор $\vec{ED}$, либо построить ее как пересечение двух окружностей:
     • Проведем окружность с центром в точке $B$ и радиусом $b$ (так как $BC=b$).
     • Проведем окружность с центром в точке $D$ и радиусом $d$ (так как $CD=d$).
     • Точка пересечения этих окружностей (расположенная в той же полуплоскости относительно прямой $AD$, что и точка $B$) и будет вершиной $C$.
4. Соединим точки $B$ с $C$ и $C$ с $D$. Четырехугольник $ABCD$ является искомой трапецией.

Доказательство

В построенном четырехугольнике $ABCD$ сторона $AD$ по построению равна $a$. По построению $ED=b$ и $BC=b$. Также $BE=d$ и $CD=d$. На шаге 3 мы провели прямую через $E$ и $A$, а затем построили на ней точку $D$. Точка $C$ была построена так, что $BCDE$ - параллелограмм (его противоположные стороны $BC$ и $ED$ равны $b$, а $BE$ и $CD$ равны $d$). Из того, что $BCDE$ - параллелограмм, следует, что $BC \parallel ED$, а значит $BC \parallel AD$. Сторона $AB$ по построению равна $c$. Таким образом, четырехугольник $ABCD$ является трапецией с основаниями $AD=a$, $BC=b$ и боковыми сторонами $AB=c$, $CD=d$. Построение верно.

Исследование

Построение возможно в том и только в том случае, если возможно построить вспомогательный треугольник $ABE$. Для существования треугольника со сторонами $c$, $d$ и $|a-b|$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство треугольника, то есть сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны:

$c + d > |a-b|$

$c + |a-b| > d$

$d + |a-b| > c$

Если эти условия выполняются, задача имеет единственное решение с точностью до осевой симметрии относительно прямой, содержащей большее основание. Если одно из неравенств обращается в равенство, трапеция вырождается (ее вершины оказываются на одной прямой). Если хотя бы одно из строгих неравенств не выполняется, то задача решения не имеет.

Ответ: описанный алгоритм в разделе "Построение" позволяет построить искомую трапецию с помощью циркуля и линейки при выполнении условий, указанных в разделе "Исследование".

1.151. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.

Для построения трапеции по заданным основаниям и диагоналям используется метод вспомогательного треугольника, который получается с помощью параллельного переноса одной из диагоналей.

Пусть искомая трапеция — $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD = a$ и $BC = b$. Пусть диагонали равны $AC = d_1$ и $BD = d_2$. Для определенности, предположим, что $a > b$.

Выполним параллельный перенос диагонали $BD$ на вектор $\vec{BC}$. При этом точка $B$ перейдет в точку $C$, а точка $D$ — в некоторую точку $K$. Четырехугольник $BCKD$ является параллелограммом, поскольку $\vec{DK} = \vec{BC}$.

Из свойств параллелограмма следует, что $CK = BD = d_2$ и $DK = BC = b$.

Точки $A$, $D$ и $K$ лежат на одной прямой, так как $DK \parallel BC \parallel AD$. При этом отрезок $AK$ равен сумме оснований: $AK = AD + DK = a + b$.

В результате мы получаем треугольник $ACK$, все три стороны которого нам известны:

• $AC = d_1$ (диагональ трапеции).
• $CK = d_2$ (так как $CK=BD$).
• $AK = a + b$ (сумма оснований).

Таким образом, построение трапеции можно свести к построению треугольника $ACK$ по трем сторонам, а затем — к нахождению вершин $D$ и $B$.

Даны четыре отрезка с длинами $a, b, d_1, d_2$.

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $AK$ длиной $a+b$.
2. Строим треугольник $ACK$ по трем сторонам: $AC = d_1$, $CK = d_2$ и $AK = a+b$. Для этого проводим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $d_1$, и окружность с центром в точке $K$ и радиусом $d_2$. В качестве вершины $C$ выбираем одну из точек пересечения этих окружностей.
3. На отрезке $AK$ от точки $A$ откладываем отрезок $AD$ длиной $a$. Это будет одна из вершин основания трапеции. Заметим, что тогда $DK = AK - AD = (a+b) - a = b$.
4. Строим четвертую вершину трапеции $B$, достраивая параллелограмм $BCKD$. Для этого:
   • Проводим прямую через точку $C$, параллельную отрезку $DK$ (то есть прямой $AK$).
   • Проводим прямую через точку $D$, параллельную отрезку $CK$.
   • Точка пересечения этих двух прямых является искомой вершиной $B$.
5. Соединяем точки $A, B, C, D$ отрезками. Четырехугольник $ABCD$ — искомая трапеция.

Необходимо доказать, что построенный четырехугольник $ABCD$ является трапецией с заданными параметрами.

1. По построению (шаг 4), прямая $BC$ параллельна прямой $DK$, на которой лежит отрезок $AD$. Следовательно, $BC \parallel AD$, и четырехугольник $ABCD$ является трапецией.
2. Длина основания $AD$ по построению равна $a$.
3. По построению (шаг 4), четырехугольник $BCKD$ — параллелограмм. Значит, его противоположные стороны равны: $BC = DK$. Из шага 3 известно, что $DK = b$. Следовательно, длина второго основания $BC$ равна $b$.
4. Длина диагонали $AC$ по построению равна $d_1$.
5. Так как $BCKD$ — параллелограмм, его противоположные стороны $BD$ и $CK$ равны. Длина отрезка $CK$ по построению равна $d_2$. Следовательно, длина диагонали $BD$ равна $d_2$.

Таким образом, построенная трапеция $ABCD$ имеет основания $a$ и $b$ и диагонали $d_1$ и $d_2$.

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда возможно построение вспомогательного треугольника $ACK$. Для этого необходимо, чтобы длины его сторон ($a+b, d_1, d_2$) удовлетворяли неравенствам треугольника:

• $d_1 + d_2 > a+b$
• $d_1 + (a+b) > d_2$
• $d_2 + (a+b) > d_1$

Поскольку $a, b, d_1, d_2$ являются длинами отрезков, они положительны, и последние два неравенства выполняются всегда. Главным условием является первое: сумма длин диагоналей должна быть больше суммы длин оснований. Если $d_1 + d_2 = a+b$, точки $A, C, K$ лежат на одной прямой, и трапеция вырождается. Если $d_1 + d_2 < a+b$, то треугольник $ACK$ построить невозможно, а следовательно, и трапецию.

Если условие $d_1 + d_2 > a+b$ выполнено, задача имеет единственное решение (с точностью до симметрии относительно прямой $AK$).

Ответ: Искомая трапеция может быть построена предложенным методом, если сумма длин диагоналей больше суммы длин оснований ($d_1 + d_2 > a+b$). Построение сводится к построению вспомогательного треугольника со сторонами $a+b$, $d_1$ и $d_2$.

1.152. Постройте равнобокую трапецию, если даны:

1) угол $A$, основание $AD$ и боковая сторона $AB$;

2) основание $BC$, боковая сторона $AB$ и диагональ $BD$.

1) угол А, основание AD и боковая сторона AB

Для построения равнобокой трапеции ABCD с основаниями AD и BC по заданным углу $\angle A$, длине основания AD и длине боковой стороны AB необходимо выполнить следующие действия.

Анализ задачи:
В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны, следовательно, $\angle D = \angle A$. Основания трапеции параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Зная сторону AD, угол A и сторону AB, мы можем построить вершины A, B и D. Четвертая вершина C будет лежать на пересечении двух прямых: прямой, проходящей через B параллельно AD, и прямой, проходящей через D под углом, равным $\angle A$, к основанию AD.

Порядок построения:

1. Провести прямую и отложить на ней отрезок AD, равный данной длине основания.
2. В точке A построить угол, равный данному углу $\angle A$. Одна сторона угла должна лежать на отрезке AD.
3. На второй стороне построенного угла от точки A отложить отрезок AB, равный данной длине боковой стороны.
4. Через точку B провести прямую $l$, параллельную прямой AD.
5. В точке D построить угол, равный данному углу $\angle A$ (так как трапеция равнобокая, $\angle D = \angle A$). Угол должен быть расположен в той же полуплоскости относительно прямой AD, что и точка B.
6. Точка пересечения прямой $l$ и луча, выходящего из точки D (шаг 5), является искомой вершиной C.
7. Соединить точки A, B, C и D. Четырехугольник ABCD — искомая равнобокая трапеция.

Проверка:
По построению, AD имеет заданную длину, AB имеет заданную длину, и $\angle A$ равен заданному углу. Так как $BC \parallel AD$, фигура ABCD является трапецией. Поскольку углы при основании равны ($\angle A = \angle D$), трапеция является равнобокой. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Построение выполнено. Задача имеет решение, если угол $\angle A$ острый и $AD > 2 \cdot AB \cdot \cos(\angle A)$.

2) основание BC, боковая сторона AB и диагональ BD

Для построения равнобокой трапеции ABCD с основаниями AD и BC по заданным длине основания BC, длине боковой стороны AB и длине диагонали BD необходимо выполнить следующие действия.

Анализ задачи:
В равнобокой трапеции боковые стороны равны, то есть $CD = AB$. Это позволяет рассмотреть треугольник BCD. Длины всех его трех сторон известны: BC (дано), BD (дано) и CD (равна данной стороне AB). Таким образом, можно построить $\triangle BCD$ по трем сторонам. После нахождения вершин B, C и D, последнюю вершину A можно найти, используя свойство параллельности оснований ($AD \parallel BC$) и известную длину боковой стороны AB.

Порядок построения:

1. Построить треугольник BCD по трем известным сторонам:
   • Отложить отрезок BC, равный данной длине основания.
   • Из точки B как из центра провести дугу окружности радиусом, равным длине диагонали BD.
   • Из точки C как из центра провести дугу окружности радиусом, равным длине боковой стороны AB (поскольку $CD = AB$).
   • Точка пересечения этих дуг является вершиной D.
2. Через точку D провести прямую $m$, параллельную прямой BC. На этой прямой будет лежать основание AD.
3. Из точки B как из центра провести дугу окружности радиусом, равным длине боковой стороны AB.
4. Точка пересечения прямой $m$ и дуги, построенной в шаге 3, является искомой вершиной A.
5. Соединить точки A, B, C и D. Четырехугольник ABCD — искомая равнобокая трапеция.

Проверка:
По построению, BC имеет заданную длину, AB имеет заданную длину, BD имеет заданную длину. Так как $CD$ строилась равной $AB$, боковые стороны равны. Поскольку $AD \parallel BC$, фигура ABCD является трапецией. Следовательно, ABCD — равнобокая трапеция, удовлетворяющая всем условиям задачи.

Ответ: Построение выполнено. Задача имеет решение, если отрезки с длинами BC, AB и BD удовлетворяют неравенству треугольника ($BC + AB > BD$, $BC + BD > AB$, $AB + BD > BC$).

1.153. Постройте прямоугольную трапецию $ABCD$ по основаниям и боковой стороне $AB$, которая перпендикулярна основаниям.

Для построения прямоугольной трапеции $ABCD$ по заданным элементам — двум основаниям и боковой стороне $AB$, которая перпендикулярна основаниям, — необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку.

Пусть нам даны три отрезка, соответствующие длинам оснований $a$ и $b$ (для определенности, $a > b$) и боковой стороне (высоте) $h$.

Анализ: В искомой прямоугольной трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны. Боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, следовательно, $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Длины сторон должны быть равны: $AD=a$, $BC=b$, $AB=h$.

Построение:

1. Проведем произвольную прямую. На ней выберем точку $A$.
2. С помощью циркуля отложим на этой прямой от точки $A$ отрезок $AD$, равный длине большего основания $a$.
3. В точке $A$ построим перпендикуляр к прямой $AD$. Для этого проведем окружность с центром в точке $A$, которая пересечет прямую в двух точках. Затем из этих двух точек проведем две дуги одинакового радиуса до их пересечения. Прямая, проходящая через точку $A$ и точку пересечения дуг, будет перпендикулярна прямой $AD$.
4. На построенном перпендикуляре от точки $A$ отложим отрезок $AB$, равный высоте $h$.
5. Теперь необходимо построить второе основание. Оно должно быть параллельно $AD$ и проходить через точку $B$. Для этого в точке $B$ построим прямую, перпендикулярную отрезку $AB$. Эта новая прямая будет параллельна прямой $AD$ (так как обе они перпендикулярны одной и той же прямой $AB$).
6. На этой новой прямой от точки $B$ отложим отрезок $BC$, равный длине меньшего основания $b$. Точку $C$ нужно отложить в ту же полуплоскость относительно прямой $AB$, в которой лежит точка $D$.
7. Соединим точки $C$ и $D$ отрезком.

Доказательство: В построенном четырехугольнике $ABCD$ имеем:

• $AD \parallel BC$, так как обе прямые, на которых лежат эти отрезки, перпендикулярны прямой $AB$.
• $AB \perp AD$ по построению, следовательно, $\angle A = 90^\circ$.
• $AB \perp BC$ по построению, следовательно, $\angle B = 90^\circ$.
• $AD = a$, $BC = b$, $AB = h$ по построению.

Ответ: Трапеция $ABCD$, построенная согласно описанному алгоритму, является искомой.

1.154. На рис. 1.71 изображена прямо-угольная трапеция ABCD, в которой $AC \perp BD$, $BC = 2$ см и $\angle BDC = 30^{\circ}$. По этим условиям самостоятельно сформулируйте задачу. (Выполните работу в группе.)

Рис. 1.71

В условии задачи предлагается самостоятельно сформулировать задачу на основе данных из текста и с рисунка. Сформулируем задачу, объединив все предоставленные данные, а затем проанализируем ее на корректность.

Сформулированная задача:

Дана прямоугольная трапеция ABCD, в которой основания BC и AD параллельны, а боковая сторона CD перпендикулярна основаниям ($\angle D = 90^\circ$). Диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Известно, что длина меньшего основания $BC = 2$ см, высота $CD = 4$ см и угол $\angle BDC = 30^\circ$. Требуется найти площадь трапеции.

Решение и анализ:

Для вычисления площади трапеции используется формула $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CD$. Нам нужно найти длину большего основания AD.

1. Рассмотрим треугольник BDC. В нем известны длины двух сторон $BC=2$ см, $CD=4$ см и угол $\angle BDC = 30^\circ$. Применим к этому треугольнику теорему синусов: $\frac{BC}{\sin(\angle BDC)} = \frac{CD}{\sin(\angle CBD)}$

Подставим известные значения: $\frac{2}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{\sin(\angle CBD)}$

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $\frac{2}{1/2} = \frac{4}{\sin(\angle CBD)}$ $4 = \frac{4}{\sin(\angle CBD)}$

Из этого уравнения следует, что $\sin(\angle CBD) = 1$, что возможно только если $\angle CBD = 90^\circ$.

2. Теперь рассмотрим свойства трапеции. Основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Прямая BD является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы $\angle CBD$ и $\angle ADB$ равны. Поскольку мы нашли, что $\angle CBD = 90^\circ$, то и $\angle ADB = 90^\circ$.

3. Угол при вершине D трапеции, $\angle ADC$, состоит из двух углов: $\angle ADB$ и $\angle BDC$. $\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$.

Полученный результат ($\angle ADC = 120^\circ$) противоречит условию, что трапеция является прямоугольной с прямым углом при вершине D ($\angle ADC = 90^\circ$). Это означает, что исходный набор данных является противоречивым, и задача в такой постановке не имеет решения.

Вероятно, указание "Выполните работу в группе" подразумевает обсуждение этого противоречия и формулировку корректной задачи путем исключения одного из условий. Рассмотрим два возможных варианта.

Вариант 1. Предположим, что длина высоты CD на рисунке указана неверно, а остальные условия задачи истинны.

Сформулированная задача: Дана прямоугольная трапеция ABCD ($\angle D = 90^\circ$) с основанием $BC=2$ см. Диагонали AC и BD перпендикулярны, и $\angle BDC = 30^\circ$. Найти площадь трапеции.

Решение:
Пусть высота $CD = h$ и основание $AD = a$. Введем систему координат с началом в точке D(0,0). Тогда $A=(a, 0)$ и $C=(0, h)$. Так как $BC \parallel AD$ и $BC=2$, то точка B имеет координаты $B=(2, h)$.

1. Используем условие $\angle BDC = 30^\circ$. Найдем косинус этого угла через скалярное произведение векторов $\vec{DC}=(0, h)$ и $\vec{DB}=(2, h)$: $\cos(\angle BDC) = \frac{\vec{DC} \cdot \vec{DB}}{|\vec{DC}| \cdot |\vec{DB}|} = \frac{0 \cdot 2 + h \cdot h}{\sqrt{0^2+h^2} \cdot \sqrt{2^2+h^2}} = \frac{h^2}{h \sqrt{4+h^2}} = \frac{h}{\sqrt{4+h^2}}$

По условию $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, значит: $\frac{h}{\sqrt{4+h^2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Возведем обе части в квадрат: $\frac{h^2}{4+h^2} = \frac{3}{4} \implies 4h^2 = 3(4+h^2) \implies 4h^2 = 12 + 3h^2 \implies h^2 = 12$. Отсюда высота $h = CD = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Используем условие перпендикулярности диагоналей. Для прямоугольной трапеции, у которой диагонали перпендикулярны, квадрат высоты равен произведению оснований: $CD^2 = BC \cdot AD$. $(2\sqrt{3})^2 = 2 \cdot AD$ $12 = 2 \cdot AD \implies AD = 6$ см.

3. Находим площадь трапеции: $S = \frac{BC+AD}{2} \cdot CD = \frac{2+6}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см².

Ответ: В данной постановке задачи площадь трапеции равна $8\sqrt{3}$ см².

Вариант 2. Предположим, что значение угла $\angle BDC$ на рисунке указано неверно, а остальные условия истинны.

Сформулированная задача: Дана прямоугольная трапеция ABCD ($\angle D = 90^\circ$) с основанием $BC=2$ см и высотой $CD=4$ см. Диагонали AC и BD перпендикулярны. Найти площадь трапеции.

Решение:
1. Используем свойство прямоугольной трапеции с перпендикулярными диагоналями: квадрат высоты равен произведению оснований. $CD^2 = BC \cdot AD$

Подставляем известные значения: $4^2 = 2 \cdot AD$ $16 = 2 \cdot AD \implies AD = 8$ см.

2. Находим площадь трапеции: $S = \frac{BC+AD}{2} \cdot CD = \frac{2+8}{2} \cdot 4 = \frac{10}{2} \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20$ см².

(При таких условиях угол $\angle BDC$ будет равен $\arccos(\frac{2}{\sqrt{5}}) \approx 26.57^\circ$, а не 30°).

Ответ: В данной постановке задачи площадь трапеции равна 20 см².

1.155. Постройте трапецию по основаниям, высоте и одной диагонали.

Для построения трапеции по заданным двум основаниям $a$ и $b$, высоте $h$ и диагонали $d$, воспользуемся методом, основанным на построении вспомогательного прямоугольного треугольника.

Пусть искомая трапеция $ABCD$ построена, где $AD$ и $BC$ — основания, $AD=a$, $BC=b$, и $AD \parallel BC$. Пусть $AC$ — данная диагональ, $AC=d$. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на прямую, содержащую основание $AD$. Длина высоты $CH$ равна $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AC=d$ и катет $CH=h$. Такой треугольник можно построить. Построив его, мы найдем положение вершин $A$ и $C$. Зная положение вершин $A$ и $C$, а также длины оснований $a$ и $b$, мы сможем достроить трапецию.

Ответ: План построения основывается на нахождении вершин $A$ и $C$ через построение прямоугольного треугольника с гипотенузой $d$ и катетом $h$, а затем откладывании отрезков оснований $a$ и $b$.

1. Проведем произвольную прямую $l$. Она будет содержать одно из оснований трапеции.
2. Выберем на прямой $l$ произвольную точку $H$ и восставим к прямой $l$ в этой точке перпендикуляр.
3. На перпендикуляре отложим отрезок $HC$, равный заданной высоте $h$.
4. Через точку $C$ проведем прямую $m$, параллельную прямой $l$. Прямые $l$ и $m$ будут содержать основания искомой трапеции.
5. Из точки $C$ как из центра проведем окружность радиусом, равным длине диагонали $d$.
6. Точка (или точки) пересечения этой окружности с прямой $l$ будет вершиной $A$ трапеции. Обозначим одну из точек пересечения как $A$. (Если $dh$ — две точки).
7. Теперь у нас есть вершины $A$ и $C$. На прямой $l$ от точки $A$ отложим отрезок $AD$, равный длине основания $a$.
8. На прямой $m$ от точки $C$ отложим отрезок $CB$, равный длине основания $b$.
9. Соединим точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомая трапеция.

Ответ: Последовательность шагов, включающая построение параллельных прямых на расстоянии $h$, нахождение вершин $A$ и $C$ с помощью окружности радиуса $d$ и последующее откладывание оснований $a$ и $b$, приводит к построению искомой трапеции.

В построенном четырехугольнике $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ лежат на параллельных прямых $l$ и $m$ (по построению). Следовательно, $ABCD$ является трапецией.

Расстояние между прямыми $l$ и $m$ равно $h$ (по построению), значит, высота трапеции равна $h$.

Длина основания $AD$ равна $a$ (по построению).

Длина основания $BC$ равна $b$ (по построению).

Длина диагонали $AC$ равна $d$, так как точка $A$ была получена как пересечение прямой $l$ с окружностью радиуса $d$ с центром в точке $C$.

Таким образом, построенная трапеция $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построенная фигура является трапецией с заданными основаниями, высотой и диагональю, что доказывается соответствием каждого элемента построения условиям задачи.

Задача имеет решение только в том случае, если возможно построить прямоугольный треугольник $ACH$, то есть если гипотенуза $d$ не меньше катета $h$. Таким образом, условие существования решения: $d \ge h$.

• Если $d < h$, окружность радиуса $d$ с центром в $C$ не пересечет прямую $l$, и решений нет.
• Если $d = h$, окружность касается прямой $l$ в одной точке $A=H$. В этом случае диагональ совпадает с высотой, и трапеция будет прямоугольной ($AC \perp AD$). Построение дает единственную трапецию (с точностью до выбора направления откладывания оснований).
• Если $d > h$, окружность пересекает прямую $l$ в двух точках ($A_1$ и $A_2$), симметричных относительно точки $H$. Это дает два варианта для вершины $A$.

Кроме того, на шаге 7 основание $AD$ можно отложить от точки $A$ в двух направлениях. Аналогично, на шаге 8 основание $BC$ можно отложить от точки $C$ в двух направлениях. Это создает несколько возможных конфигураций трапеции.

Зафиксируем одну из возможных точек $A$. Тогда для точки $D$ есть два положения на прямой $l$, а для точки $B$ — два положения на прямой $m$. Это дает $2 \times 2 = 4$ различные трапеции для одного положения $A$. Так как при $d>h$ есть два возможных положения для $A$, общее число решений может достигать 8.

Ответ: Задача имеет решение при $d \ge h$. Если $d=h$, решение по сути одно (с точностью до ориентации). Если $d>h$, задача может иметь до 8 несовпадающих решений.