Страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.156. Постройте трапецию по основаниям, высоте и одному углу.

Для построения трапеции по заданным двум основаниям, высоте и одному углу, нам даны три отрезка, которые определяют длины оснований $a$ и $b$ (для определенности пусть $a > b$), высоту $h$, и угол $\alpha$.

Пусть искомая трапеция — $ABCD$ с основаниями $AD=a$ и $BC=b$, и высотой $h$. Данный угол $\alpha$ может прилегать либо к большему основанию $AD$, либо к меньшему $BC$.

1. Если угол $\alpha$ прилегает к большему основанию (например, $\angle A = \alpha$), то мы можем непосредственно использовать его при построении.

2. Если угол $\alpha$ прилегает к меньшему основанию (например, $\angle B = \alpha$), то мы можем найти угол при большем основании, лежащий на той же боковой стороне. Поскольку в трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$, то $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Отсюда, угол при большем основании будет $\angle A = 180^\circ - \alpha$.

Таким образом, задача в любом случае сводится к построению трапеции по двум основаниям $a$, $b$, высоте $h$ и углу при большем основании. Обозначим этот угол как $\beta$. Если дан угол при большем основании, $\beta = \alpha$. Если дан угол при меньшем основании, $\beta = 180^\circ - \alpha$.

Основная идея построения заключается в том, чтобы сначала построить две параллельные прямые на расстоянии $h$ друг от друга, которые будут содержать основания трапеции. Затем на одной из них отложить большее основание, построить заданный угол и найти положение боковой стороны, а затем достроить трапецию.

1. Определим угол $\beta$ при большем основании. Если данный угол $\alpha$ уже является углом при большем основании, то $\beta = \alpha$. Если $\alpha$ — угол при меньшем основании, то построим угол $\beta = 180^\circ - \alpha$ (угол, смежный с $\alpha$).
2. Проведем произвольную прямую $m$. Выберем на ней точку $A$ — одну из вершин будущего большего основания.
3. На прямой $m$ от точки $A$ отложим отрезок $AD$ длиной $a$.
4. Построим прямую $l$, параллельную прямой $m$ и отстоящую от нее на расстояние $h$. Для этого можно в любой точке прямой $m$ (например, в $A$) восставить перпендикуляр, отложить на нем отрезок длиной $h$ и через его конец провести прямую $l \parallel m$.
5. В точке $A$ построим угол, равный $\beta$, так, чтобы одна его сторона совпадала с лучом $AD$.
6. Другая сторона этого угла пересечет прямую $l$ в точке $B$. Эта точка — третья вершина трапеции.
7. На прямой $l$ отложим от точки $B$ отрезок $BC$ длиной $b$ в том же направлении, в котором отложен отрезок $AD$ (то есть так, чтобы четырехугольник не был самопересекающимся). Получим четвертую вершину $C$.
8. Соединив последовательно точки $A, B, C$ и $D$, получим искомую трапецию.

Построенный четырехугольник $ABCD$ является трапецией, так как его стороны $AD$ и $BC$ по построению лежат на параллельных прямых ($m \parallel l$). Длина основания $AD$ равна $a$, длина основания $BC$ равна $b$ по построению. Расстояние между прямыми $m$ и $l$ равно $h$, следовательно, высота трапеции равна $h$. Угол при большем основании $\angle DAB$ по построению равен $\beta$. Если исходно был дан угол при большем основании $\alpha$, то $\beta = \alpha$ и условие выполнено. Если был дан угол при меньшем основании $\alpha$, то мы строили $\angle DAB = \beta = 180^\circ - \alpha$. Так как $AD \parallel BC$, то $\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha$, что также удовлетворяет условию задачи. Следовательно, построенная трапеция является искомой.

Построение возможно, если угол $\beta$ не равен $0^\circ$ и $180^\circ$, так как в противном случае вторая сторона угла не пересечет прямую $l$ (будет ей параллельна). Это означает, что данный угол $\alpha$ также не должен быть равен $0^\circ$ или $180^\circ$. Если эти условия соблюдены, задача всегда имеет решение. При заданных $a, b, h, \alpha$ и выборе несамопересекающейся фигуры, решение единственно с точностью до выбора, с какой стороны от боковой стороны $AB$ будет находиться остальная часть трапеции (т.е. с точностью до симметрии).

Ответ: Алгоритм построения искомой трапеции описан выше. Трапеция, удовлетворяющая заданным условиям, построена.

1.157. Постройте трапецию по большему основанию, боковым сторонам и острому углу.

Анализ

Предположим, что искомая трапеция $ABCD$ построена. Пусть $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. Нам даны длина большего основания $AD = a$, длины боковых сторон $AB = c$ и $CD = d$, и один из острых углов при большем основании. Пусть это будет $\angle DAB = \alpha$.

Воспользуемся методом параллельного переноса. Проведем через вершину $B$ прямую, параллельную боковой стороне $CD$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$. В полученном четырехугольнике $BCDE$ противоположные стороны попарно параллельны: $BC \parallel ED$ (так как $BC \parallel AD$) и $BE \parallel CD$ (по построению). Следовательно, $BCDE$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что $BE = CD = d$ и $BC = ED$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABE$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон: $AB = c$ и $BE = d$. Также нам известен угол $\angle BAE$, который совпадает с данным углом трапеции $\angle A = \alpha$.

Таким образом, задача сводится к построению вспомогательного треугольника $ABE$ по двум сторонам ($c$ и $d$) и углу $\alpha$, прилежащему к стороне $c$ и противолежащему стороне $d$. После того как треугольник $ABE$ будет построен, мы сможем найти все вершины трапеции. Точка $D$ лежит на луче $AE$ на расстоянии $a$ от $A$. Вершина $C$ строится из условия, что $BCDE$ — параллелограмм.

Построение

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.
2. От точки $A$ на этой прямой отложим луч под углом $\alpha$ к исходной прямой.
3. На построенном луче отложим отрезок $AB$ длиной $c$.
4. С центром в точке $B$ проведем окружность радиусом $d$.
5. Точку пересечения этой окружности с исходной прямой (не содержащей точку $B$) обозначим как $E$. (В зависимости от данных, таких точек может быть две, одна или ни одной, что определяет количество решений задачи).
6. На исходной прямой от точки $A$ в направлении точки $E$ отложим отрезок $AD$ длиной $a$.
7. Через точку $D$ проведем прямую, параллельную отрезку $BE$.
8. Через точку $B$ проведем прямую, параллельную прямой $AD$.
9. Точка пересечения двух построенных на шагах 7 и 8 прямых будет искомой вершиной $C$.
10. Соединив последовательно точки $A$, $B$, $C$, $D$, получим искомую трапецию.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$.

По построению $AD=a$ (шаг 6), $AB=c$ и $\angle A=\alpha$ (шаги 2-3).По построению $BC \parallel AD$ (шаг 8), значит, $ABCD$ — трапеция.Также по построению $CD \parallel BE$ (шаги 7, 9) и $BC \parallel ED$ (шаг 8), следовательно, $BCDE$ — параллелограмм.Из этого следует, что $CD = BE$. На шаге 4 мы строили $E$ так, чтобы отрезок $BE$ был равен $d$ (как радиус окружности). Таким образом, $CD = d$.Все условия задачи выполнены, следовательно, трапеция $ABCD$ является искомой.

Исследование

Возможность построения трапеции зависит от возможности построения вспомогательного треугольника $ABE$ и от взаимного расположения точек.

1. Построение треугольника $ABE$ по сторонам $c, d$ и углу $\alpha$ (задача SSA) возможно, если окружность радиуса $d$ с центром в $B$ пересекает прямую $AD$. Для этого необходимо, чтобы радиус $d$ был не меньше высоты треугольника, опущенной из $B$ на $AD$. Эта высота равна $h = c \cdot \sin\alpha$. Итак, первое условие: $d \ge c \sin\alpha$. Если $d < c \sin\alpha$, решений нет.

2. Если $d = c \sin\alpha$, существует единственная точка $E$, и треугольник $ABE$ — прямоугольный. Это дает одно решение (при выполнении условия 4).

3. Если $d > c \sin\alpha$, окружность пересекает прямую $AD$ в двух точках $E_1$ и $E_2$.Если $d \ge c$, то только одна из этих точек ($E_2$) лежит на луче $AD$ в нужную сторону от $A$, что дает одно решение. Если $d

4. Для того чтобы $AD$ было большим основанием, необходимо, чтобы $AD > BC$. Так как $BC = ED = AD - AE$, это условие сводится к $AE > 0$. Точка $E$ не должна совпадать с $A$ или лежать по другую сторону от $A$ относительно луча $AD$.

5. Наконец, для существования трапеции необходимо, чтобы точка $E$ находилась между $A$ и $D$, то есть $0 < AE < a$. Если $AE \ge a$, то меньшее основание $BC = ED = AD - AE$ будет иметь неположительную длину, что невозможно. Это накладывает финальное ограничение на входные данные.

Таким образом, в зависимости от численных значений $a, c, d, \alpha$ задача может не иметь решений, либо иметь одно или два решения.

Ответ: Задача решается построением вспомогательного треугольника $ABE$ со сторонами $AB=c$, $BE=d$ и углом $\angle A=\alpha$. Дальнейшее построение вершин $D$ и $C$ основано на длине большего основания $a$ и свойстве параллелограмма $BCDE$. Количество решений (0, 1 или 2) зависит от соотношений между заданными величинами.

1.158. Постройте трапецию по меньшему основанию, боковой стороне и двум тупым углам.

Анализ

Пусть искомая трапеция — $ABCD$, где $BC$ — меньшее основание, а $AD$ — большее, следовательно, $BC \parallel AD$. Нам даны длина меньшего основания $b$, длина одной из боковых сторон $c$ и два тупых угла $\alpha$ и $\beta$.

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Так как углы $\alpha$ и $\beta$ тупые (больше $90^\circ$), они не могут прилегать к одной и той же боковой стороне. Следовательно, они должны быть углами при одном из оснований. Если бы они были углами при большем основании, то смежные с ними углы при меньшем основании также были бы тупыми, что невозможно (сумма углов четырехугольника $360^\circ$). Значит, данные углы $\alpha$ и $\beta$ являются углами при меньшем основании $BC$.

Пусть $\angle ABC = \alpha$ и $\angle BCD = \beta$.

Условие «боковой стороне» означает, что дана длина одной из сторон: $AB$ или $CD$. Рассмотрим случай, когда дана сторона $AB = c$, прилежащая к углу $\alpha$. (Случай, когда дана сторона $CD=c$, решается аналогично).

Таким образом, задача сводится к построению трапеции $ABCD$ по следующим элементам: стороне $BC=b$, стороне $AB=c$, углу $\angle ABC = \alpha$ и углу $\angle BCD = \beta$. По трем элементам ($BC$, $AB$ и $\angle ABC$) мы можем однозначно определить положение вершины $A$ относительно вершин $B$ и $C$. Зная, что $AD \parallel BC$, мы можем провести через точку $A$ прямую, на которой лежит четвертая вершина $D$. Положение $D$ окончательно определяется условием $\angle BCD = \beta$. Это рассуждение и будет положено в основу построения.

Построение

1. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок $BC$, равный данной длине меньшего основания $b$.
2. В точке $B$ от луча $BC$ в одну из полуплоскостей построим угол, равный данному тупому углу $\alpha$. Получим луч $BK$ ($\angle KBC = \alpha$).
3. На луче $BK$ отложим отрезок $BA$, равный данной длине боковой стороны $c$.
4. Через полученную точку $A$ проведём прямую $l$, параллельную прямой $BC$.
5. В точке $C$ от луча $CB$ (в ту же полуплоскость, где лежит точка $A$) построим угол, равный данному тупому углу $\beta$. Получим луч $CM$ ($\angle MCB = \beta$).
6. Точка $D$, в которой пересекаются прямая $l$ и луч $CM$, является четвертой вершиной трапеции.
7. Соединив точки, получим искомую трапецию $ABCD$.

Доказательство

Проверим, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• По построению (шаг 4), прямая $AD$ параллельна прямой $BC$. Следовательно, $ABCD$ — трапеция.
• По построению (шаг 1), длина основания $BC$ равна $b$.
• По построению (шаг 3), длина боковой стороны $AB$ равна $c$.
• По построению (шаг 2), угол $\angle ABC$ равен $\alpha$.
• По построению (шаг 5), угол $\angle BCD$ равен $\beta$.
• Так как углы $\alpha$ и $\beta$ — тупые, то углы при основании $AD$ ($\angle DAB = 180^\circ - \alpha$ и $\angle CDA = 180^\circ - \beta$) являются острыми. Это подтверждает, что $BC$ — меньшее основание, а $AD$ — большее.

Все условия задачи выполнены, следовательно, построение является верным.

Исследование

Построение возможно, если прямая $l$ и луч $CM$ пересекаются. Прямая $l$ проходит через точку $A$ параллельно прямой $BC$. Луч $CM$ выходит из точки $C$ и образует с лучом $CB$ угол $\beta$. Поскольку угол $\beta$ — тупой ($90^\circ < \beta < 180^\circ$), луч $CM$ не может быть параллелен прямой $BC$ и направлен в ту же полуплоскость, где расположена прямая $l$. Следовательно, луч $CM$ и прямая $l$ всегда имеют ровно одну точку пересечения.

Это означает, что при любых заданных отрезках $b>0$, $c>0$ и тупых углах $\alpha, \beta$ задача всегда имеет единственное решение (в предположении, что боковая сторона $c$ прилегает к углу $\alpha$). Аналогично, существует единственное решение для случая, когда сторона $c$ прилегает к углу $\beta$.

Ответ: Задача решается с помощью описанного выше алгоритма построения. Построение всегда возможно и приводит к единственному решению (для каждого из двух возможных случаев расположения данной боковой стороны относительно данных углов).

1.159 Постройте трапецию по разности оснований, двум острым углам и диагонали.

Анализ

Пусть искомая трапеция $ABCD$ построена. Пусть $AD$ и $BC$ — её основания, причем $AD > BC$. По условию нам даны разность оснований $AD - BC$, два острых угла при большем основании $\angle A = \alpha$ и $\angle D = \beta$, и одна из диагоналей, например, $AC = d$.

Воспользуемся методом вспомогательного треугольника. На луче $AD$ отложим от точки $D$ отрезок $DE$, равный $BC$, так, чтобы точка $E$ лежала между $A$ и $D$. Тогда длина отрезка $AE$ будет равна $AD - DE = AD - BC$.

Соединим точки $C$ и $E$. Рассмотрим четырехугольник $EBCD$. В нем $BC \parallel ED$ (так как $BC \parallel AD$) и $BC = ED$ (по построению). Следовательно, $EBCD$ — параллелограмм. Из этого следует, что $CE \parallel BD$. Этот путь не использует известные нам углы.

Попробуем другой подход. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $K$. Получим параллелограмм $ABCK$. Тогда $AK=BC$, $CK=AB$, и $\angle AKC = 180^\circ - \angle KAB = 180^\circ - \alpha$. Отрезок $KD = AD - AK = AD - BC$. В треугольнике $KCD$ нам известна сторона $KD$, угол $\angle D = \beta$. Угол $\angle CKD = \angle A = \alpha$ (как соответственные углы при $CK \parallel AB$ и секущей $AD$). Таким образом, мы можем построить треугольник $KCD$ по стороне $KD=a-b$ и двум прилежащим к ней углам $\alpha$ и $\beta$. Однако, в этом построении не используется диагональ $d$.

Вернемся к первому подходу, но с другой стороны. На продолжении основания $AD$ за точку $A$ отложим отрезок $AE$, равный $BC$. Тогда $ED = EA + AD = BC + AD$. Это сумма оснований, а не разность.

Рассмотрим третий, самый эффективный вариант. Проведем через вершину $B$ прямую, параллельную боковой стороне $CD$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим получившийся треугольник $ABE$.

1. $BCDE$ — параллелограмм, так как $BC \parallel ED$ и $BE \parallel CD$.
2. Следовательно, $ED = BC$.
3. Тогда $AE = AD - ED = AD - BC$. Это данная нам разность оснований.
4. $\angle A$ треугольника $ABE$ совпадает с углом трапеции, то есть $\angle BAE = \alpha$.
5. Так как $BE \parallel CD$, то $\angle AEB = \angle ADC = \beta$ как соответственные углы при параллельных прямых $BE$, $CD$ и секущей $AD$.

После построения треугольника $ABE$ у нас будут определены вершины $A$ и $B$. Вершина $C$ искомой трапеции должна удовлетворять двум условиям:

1. Она лежит на прямой, проходящей через $B$ параллельно $AD$.
2. Она находится на расстоянии $d$ от вершины $A$ (так как $AC=d$).

Найдя точку $C$, мы можем найти и точку $D$. Она лежит на прямой $AE$. Положение точки $D$ определяется из того, что $CD \parallel BE$.

Построение

1. Строим произвольную прямую $l$ и выбираем на ней точку $A$.
2. От точки $A$ на прямой $l$ откладываем отрезок $AE$, равный данной разности оснований.
3. От луча $AE$ откладываем угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $A$.
4. От луча $EA$ откладываем угол, равный данному углу $\beta$, с вершиной в точке $E$ (в той же полуплоскости относительно прямой $l$, что и угол $\alpha$).
5. Лучи, построенные в шагах 3 и 4, пересекаются в некоторой точке. Обозначим ее $B$. Получили треугольник $ABE$.
6. Через точку $B$ проводим прямую $m$, параллельную прямой $l$.
7. Строим окружность $\omega$ с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине данной диагонали $d$.
8. Окружность $\omega$ пересекает прямую $m$ в точке (или точках) $C$. Выбираем одну из них.
9. Через точку $C$ проводим прямую, параллельную отрезку $BE$. Точка пересечения этой прямой с прямой $l$ и будет вершиной $D$.
10. Четырехугольник $ABCD$ — искомая трапеция.

Доказательство

Покажем, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. $BC \parallel AD$, так как точка $C$ лежит на прямой $m$, параллельной прямой $l$, на которой лежат точки $A$ и $D$. Следовательно, $ABCD$ — трапеция.
2. $\angle A = \alpha$ по построению.
3. Диагональ $AC = d$, так как точка $C$ лежит на окружности с центром $A$ и радиусом $d$.
4. По построению, $CD \parallel BE$. Так как $A, E, D$ лежат на одной прямой, то $\angle ADC = \angle AEB$ как соответственные углы при параллельных прямых $CD, BE$ и секущей $AD$. А угол $\angle AEB = \beta$ по построению. Значит, $\angle ADC = \beta$.
5. Рассмотрим четырехугольник $BCDE$. В нем $BC \parallel ED$ (так как $BC \parallel AD$) и $CD \parallel BE$ (по построению). Следовательно, $BCDE$ — параллелограмм. Отсюда $ED=BC$. Тогда $AD = AE + ED = AE + BC$. Значит, $AE = AD - BC$. Так как отрезок $AE$ был построен равным данной разности оснований, это условие также выполнено.

Исследование

1. Построение треугольника $ABE$ (шаги 1-5) всегда возможно и однозначно, так как даны два острых угла $\alpha$ и $\beta$, и их сумма $\alpha + \beta < 180^\circ$.

2. Существование и количество решений задачи зависит от шага 8, то есть от взаимного расположения прямой $m$ и окружности $\omega$. Пусть $h$ — высота трапеции, которая равна высоте треугольника $ABE$, опущенной из вершины $B$ на сторону $AE$. Расстояние от центра окружности $A$ до прямой $m$ равно $h$.

Из треугольника $ABE$ по теореме синусов: $\frac{AB}{\sin\beta} = \frac{AE}{\sin(180^\circ - \alpha - \beta)} = \frac{AE}{\sin(\alpha+\beta)}$. Высота $h = AB \cdot \sin\alpha = \frac{AE \sin\alpha \sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$. Пусть $k = AD - BC$ (данная разность оснований), тогда $AE=k$. $h = \frac{k \sin\alpha \sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$.

Задача имеет решение, если окружность $\omega$ и прямая $m$ имеют общие точки, то есть если радиус $d$ не меньше расстояния $h$ от точки $A$ до прямой $m$.

• Если $d > h$, окружность пересекает прямую в двух точках $C_1$ и $C_2$. Это дает два решения — две трапеции, которые, в общем случае, не равны друг другу.
• Если $d = h$, окружность касается прямой в одной точке. Задача имеет единственное решение. В этом случае диагональ $AC$ является и высотой трапеции.
• Если $d < h$, общих точек нет, и задача не имеет решений.

Замечание: задача была решена для случая, когда дана диагональ $AC$. Если бы была дана диагональ $BD=d$, анализ и построение были бы аналогичными, но окружность строилась бы с центром в точке $B$ и радиусом $d$.

Ответ: Задача имеет два, одно или ни одного решения в зависимости от соотношения между длиной диагонали $d$ и высотой $h = \frac{(AD-BC)\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$. Если $d > h$, то два решения; если $d=h$, то одно решение; если $d < h$, решений нет.

1.160. * Даны отрезки, длины которых a, b, c, d, e. Постройте отрезки, длины которых:

1) $x = \frac{ab}{d}$;

2) $x = \frac{abc}{de}$.

1) Для построения отрезка, длина которого равна $x = \frac{ab}{d}$, используется метод построения четвертого пропорционального отрезка. Этот метод основан на теореме о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса), которая является следствием подобия треугольников.

Заданное равенство можно представить в виде пропорции, например: $\frac{d}{a} = \frac{b}{x}$ или $\frac{d}{b} = \frac{a}{x}$. Воспользуемся второй пропорцией для построения.

Порядок построения:

1. Построим произвольный неразвернутый угол с вершиной в точке $O$. Обозначим его лучи как $l_1$ и $l_2$.

2. На луче $l_1$ отложим от вершины $O$ два отрезка: $OD$ длиной $d$ и $OB$ длиной $b$.

3. На другом луче, $l_2$, отложим от вершины $O$ отрезок $OA$ длиной $a$.

4. Соединим точки $D$ и $A$ прямой линией.

5. Через точку $B$ проведем прямую, параллельную отрезку $DA$. Точку пересечения этой прямой с лучом $l_2$ обозначим $X$.

Полученный отрезок $OX$ и есть искомый отрезок $x$.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ODA$ и $\triangle OBX$. Угол при вершине $O$ является общим для обоих треугольников. Так как прямая $BX$ построена параллельно прямой $DA$, то углы $\angle ODA$ и $\angle OBX$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $DA$, $BX$ и секущей $l_1$. Следовательно, треугольники $\triangle ODA$ и $\triangle OBX$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{OD}{OB} = \frac{OA}{OX}$

Подставим в эту пропорцию длины известных отрезков:

$\frac{d}{b} = \frac{a}{OX}$

Выразим из этого равенства длину отрезка $OX$:

$OX = \frac{ab}{d}$

Таким образом, построенный отрезок $OX$ имеет требуемую длину $x$.

Ответ: Искомый отрезок $x$ строится как четвертый пропорциональный к отрезкам $d, a, b$; его построение описано выше.

2) Для построения отрезка, длина которого $x = \frac{abc}{de}$, необходимо выполнить построение четвертого пропорционального отрезка дважды.

Задачу можно разбить на два этапа:

1. Сначала построим вспомогательный отрезок $y$, длина которого вычисляется по формуле $y = \frac{ab}{d}$.

2. Затем, используя построенный отрезок $y$, мы найдем искомый отрезок $x$ по формуле $x = \frac{yc}{e}$.

Этап 1: Построение вспомогательного отрезка $y = \frac{ab}{d}$.

Это построение в точности повторяет решение из пункта 1. В результате мы получаем отрезок, назовем его $O_1Y$, длина которого равна $y$.

Этап 2: Построение искомого отрезка $x = \frac{yc}{e}$.

Теперь у нас есть отрезки с длинами $y$ (построенный на первом этапе), $c$ и $e$ (данные в условии). Нам нужно построить отрезок $x$. Представим формулу $x = \frac{yc}{e}$ в виде пропорции: $\frac{e}{c} = \frac{y}{x}$.

Порядок построения:

1. Построим новый произвольный неразвернутый угол с вершиной в точке $O_2$. Обозначим его лучи $m_1$ и $m_2$.

2. На луче $m_1$ отложим от вершины $O_2$ два отрезка: $O_2E$ длиной $e$ и $O_2C$ длиной $c$.

3. На другом луче, $m_2$, отложим от вершины $O_2$ отрезок $O_2Y'$ длиной $y$ (длина этого отрезка равна длине отрезка $O_1Y$, построенного на первом этапе).

4. Соединим точки $E$ и $Y'$ прямой линией.

5. Через точку $C$ проведем прямую, параллельную отрезку $EY'$. Точку пересечения этой прямой с лучом $m_2$ обозначим $X$.

Полученный отрезок $O_2X$ и есть искомый отрезок $x$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle O_2EY'$ и $\triangle O_2CX$. Угол при вершине $O_2$ у них общий. Прямые $EY'$ и $CX$ параллельны по построению, следовательно, углы $\angle O_2EY'$ и $\angle O_2CX$ равны как соответственные при секущей $m_1$. Значит, $\triangle O_2EY' \sim \triangle O_2CX$ по двум углам.

Из подобия следует пропорциональность сторон:

$\frac{O_2E}{O_2C} = \frac{O_2Y'}{O_2X}$

Подставим длины отрезков:

$\frac{e}{c} = \frac{y}{O_2X}$

Выразим $O_2X$: $O_2X = \frac{yc}{e}$.

Вспоминая, что $y = \frac{ab}{d}$, подставим это выражение в формулу для $O_2X$:

$O_2X = \frac{(\frac{ab}{d})c}{e} = \frac{abc}{de}$

Таким образом, построенный отрезок $O_2X$ имеет требуемую длину $x$.

Ответ: Искомый отрезок $x$ строится в два этапа, каждый из которых представляет собой построение четвертого пропорционального отрезка, как описано выше.