Номер 1.159, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.6. Трапеция и её свойства. Раздел 1. Многоугольники. Четырехугольники - номер 1.159, страница 39.

Учебник rus.

1.159 Постройте трапецию по разности оснований, двум острым углам и диагонали.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Анализ

Пусть искомая трапеция $ABCD$ построена. Пусть $AD$ и $BC$ — её основания, причем $AD > BC$. По условию нам даны разность оснований $AD - BC$, два острых угла при большем основании $\angle A = \alpha$ и $\angle D = \beta$, и одна из диагоналей, например, $AC = d$.

Воспользуемся методом вспомогательного треугольника. На луче $AD$ отложим от точки $D$ отрезок $DE$, равный $BC$, так, чтобы точка $E$ лежала между $A$ и $D$. Тогда длина отрезка $AE$ будет равна $AD - DE = AD - BC$.

Соединим точки $C$ и $E$. Рассмотрим четырехугольник $EBCD$. В нем $BC \parallel ED$ (так как $BC \parallel AD$) и $BC = ED$ (по построению). Следовательно, $EBCD$ — параллелограмм. Из этого следует, что $CE \parallel BD$. Этот путь не использует известные нам углы.

Попробуем другой подход. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $K$. Получим параллелограмм $ABCK$. Тогда $AK=BC$, $CK=AB$, и $\angle AKC = 180^\circ - \angle KAB = 180^\circ - \alpha$. Отрезок $KD = AD - AK = AD - BC$. В треугольнике $KCD$ нам известна сторона $KD$, угол $\angle D = \beta$. Угол $\angle CKD = \angle A = \alpha$ (как соответственные углы при $CK \parallel AB$ и секущей $AD$). Таким образом, мы можем построить треугольник $KCD$ по стороне $KD=a-b$ и двум прилежащим к ней углам $\alpha$ и $\beta$. Однако, в этом построении не используется диагональ $d$.

Вернемся к первому подходу, но с другой стороны. На продолжении основания $AD$ за точку $A$ отложим отрезок $AE$, равный $BC$. Тогда $ED = EA + AD = BC + AD$. Это сумма оснований, а не разность.

Рассмотрим третий, самый эффективный вариант. Проведем через вершину $B$ прямую, параллельную боковой стороне $CD$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим получившийся треугольник $ABE$.

1. $BCDE$ — параллелограмм, так как $BC \parallel ED$ и $BE \parallel CD$.
2. Следовательно, $ED = BC$.
3. Тогда $AE = AD - ED = AD - BC$. Это данная нам разность оснований.
4. $\angle A$ треугольника $ABE$ совпадает с углом трапеции, то есть $\angle BAE = \alpha$.
5. Так как $BE \parallel CD$, то $\angle AEB = \angle ADC = \beta$ как соответственные углы при параллельных прямых $BE$, $CD$ и секущей $AD$.

Таким образом, мы можем построить треугольник $ABE$ по стороне $AE$ (равной разности оснований) и двум прилежащим к ней углам $\alpha$ и $\beta$.

После построения треугольника $ABE$ у нас будут определены вершины $A$ и $B$. Вершина $C$ искомой трапеции должна удовлетворять двум условиям:

1. Она лежит на прямой, проходящей через $B$ параллельно $AD$.
2. Она находится на расстоянии $d$ от вершины $A$ (так как $AC=d$).

То есть, точка $C$ является точкой пересечения прямой, параллельной $AE$ и проходящей через $B$, и окружности с центром в точке $A$ и радиусом $d$.

Найдя точку $C$, мы можем найти и точку $D$. Она лежит на прямой $AE$. Положение точки $D$ определяется из того, что $CD \parallel BE$.

Построение

1. Строим произвольную прямую $l$ и выбираем на ней точку $A$.
2. От точки $A$ на прямой $l$ откладываем отрезок $AE$, равный данной разности оснований.
3. От луча $AE$ откладываем угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $A$.
4. От луча $EA$ откладываем угол, равный данному углу $\beta$, с вершиной в точке $E$ (в той же полуплоскости относительно прямой $l$, что и угол $\alpha$).
5. Лучи, построенные в шагах 3 и 4, пересекаются в некоторой точке. Обозначим ее $B$. Получили треугольник $ABE$.
6. Через точку $B$ проводим прямую $m$, параллельную прямой $l$.
7. Строим окружность $\omega$ с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине данной диагонали $d$.
8. Окружность $\omega$ пересекает прямую $m$ в точке (или точках) $C$. Выбираем одну из них.
9. Через точку $C$ проводим прямую, параллельную отрезку $BE$. Точка пересечения этой прямой с прямой $l$ и будет вершиной $D$.
10. Четырехугольник $ABCD$ — искомая трапеция.

Доказательство

Покажем, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. $BC \parallel AD$, так как точка $C$ лежит на прямой $m$, параллельной прямой $l$, на которой лежат точки $A$ и $D$. Следовательно, $ABCD$ — трапеция.
2. $\angle A = \alpha$ по построению.
3. Диагональ $AC = d$, так как точка $C$ лежит на окружности с центром $A$ и радиусом $d$.
4. По построению, $CD \parallel BE$. Так как $A, E, D$ лежат на одной прямой, то $\angle ADC = \angle AEB$ как соответственные углы при параллельных прямых $CD, BE$ и секущей $AD$. А угол $\angle AEB = \beta$ по построению. Значит, $\angle ADC = \beta$.
5. Рассмотрим четырехугольник $BCDE$. В нем $BC \parallel ED$ (так как $BC \parallel AD$) и $CD \parallel BE$ (по построению). Следовательно, $BCDE$ — параллелограмм. Отсюда $ED=BC$. Тогда $AD = AE + ED = AE + BC$. Значит, $AE = AD - BC$. Так как отрезок $AE$ был построен равным данной разности оснований, это условие также выполнено.

Таким образом, построенная трапеция $ABCD$ является искомой.

Исследование

1. Построение треугольника $ABE$ (шаги 1-5) всегда возможно и однозначно, так как даны два острых угла $\alpha$ и $\beta$, и их сумма $\alpha + \beta < 180^\circ$.

2. Существование и количество решений задачи зависит от шага 8, то есть от взаимного расположения прямой $m$ и окружности $\omega$. Пусть $h$ — высота трапеции, которая равна высоте треугольника $ABE$, опущенной из вершины $B$ на сторону $AE$. Расстояние от центра окружности $A$ до прямой $m$ равно $h$.

Из треугольника $ABE$ по теореме синусов: $\frac{AB}{\sin\beta} = \frac{AE}{\sin(180^\circ - \alpha - \beta)} = \frac{AE}{\sin(\alpha+\beta)}$. Высота $h = AB \cdot \sin\alpha = \frac{AE \sin\alpha \sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$. Пусть $k = AD - BC$ (данная разность оснований), тогда $AE=k$. $h = \frac{k \sin\alpha \sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$.

Задача имеет решение, если окружность $\omega$ и прямая $m$ имеют общие точки, то есть если радиус $d$ не меньше расстояния $h$ от точки $A$ до прямой $m$.

• Если $d > h$, окружность пересекает прямую в двух точках $C_1$ и $C_2$. Это дает два решения — две трапеции, которые, в общем случае, не равны друг другу.
• Если $d = h$, окружность касается прямой в одной точке. Задача имеет единственное решение. В этом случае диагональ $AC$ является и высотой трапеции.
• Если $d < h$, общих точек нет, и задача не имеет решений.

Замечание: задача была решена для случая, когда дана диагональ $AC$. Если бы была дана диагональ $BD=d$, анализ и построение были бы аналогичными, но окружность строилась бы с центром в точке $B$ и радиусом $d$.

Ответ: Задача имеет два, одно или ни одного решения в зависимости от соотношения между длиной диагонали $d$ и высотой $h = \frac{(AD-BC)\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$. Если $d > h$, то два решения; если $d=h$, то одно решение; если $d < h$, решений нет.