Номер 1.153, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.153. Постройте прямоугольную трапецию $ABCD$ по основаниям и боковой стороне $AB$, которая перпендикулярна основаниям.

Для построения прямоугольной трапеции $ABCD$ по заданным элементам — двум основаниям и боковой стороне $AB$, которая перпендикулярна основаниям, — необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку.

Пусть нам даны три отрезка, соответствующие длинам оснований $a$ и $b$ (для определенности, $a > b$) и боковой стороне (высоте) $h$.

Анализ: В искомой прямоугольной трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны. Боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, следовательно, $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Длины сторон должны быть равны: $AD=a$, $BC=b$, $AB=h$.

Построение:

1. Проведем произвольную прямую. На ней выберем точку $A$.
2. С помощью циркуля отложим на этой прямой от точки $A$ отрезок $AD$, равный длине большего основания $a$.
3. В точке $A$ построим перпендикуляр к прямой $AD$. Для этого проведем окружность с центром в точке $A$, которая пересечет прямую в двух точках. Затем из этих двух точек проведем две дуги одинакового радиуса до их пересечения. Прямая, проходящая через точку $A$ и точку пересечения дуг, будет перпендикулярна прямой $AD$.
4. На построенном перпендикуляре от точки $A$ отложим отрезок $AB$, равный высоте $h$.
5. Теперь необходимо построить второе основание. Оно должно быть параллельно $AD$ и проходить через точку $B$. Для этого в точке $B$ построим прямую, перпендикулярную отрезку $AB$. Эта новая прямая будет параллельна прямой $AD$ (так как обе они перпендикулярны одной и той же прямой $AB$).
6. На этой новой прямой от точки $B$ отложим отрезок $BC$, равный длине меньшего основания $b$. Точку $C$ нужно отложить в ту же полуплоскость относительно прямой $AB$, в которой лежит точка $D$.
7. Соединим точки $C$ и $D$ отрезком.

Доказательство: В построенном четырехугольнике $ABCD$ имеем:

• $AD \parallel BC$, так как обе прямые, на которых лежат эти отрезки, перпендикулярны прямой $AB$.
• $AB \perp AD$ по построению, следовательно, $\angle A = 90^\circ$.
• $AB \perp BC$ по построению, следовательно, $\angle B = 90^\circ$.
• $AD = a$, $BC = b$, $AB = h$ по построению.

Ответ: Трапеция $ABCD$, построенная согласно описанному алгоритму, является искомой.