Номер 1.157, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.157. Постройте трапецию по большему основанию, боковым сторонам и острому углу.

Анализ

Предположим, что искомая трапеция $ABCD$ построена. Пусть $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. Нам даны длина большего основания $AD = a$, длины боковых сторон $AB = c$ и $CD = d$, и один из острых углов при большем основании. Пусть это будет $\angle DAB = \alpha$.

Воспользуемся методом параллельного переноса. Проведем через вершину $B$ прямую, параллельную боковой стороне $CD$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$. В полученном четырехугольнике $BCDE$ противоположные стороны попарно параллельны: $BC \parallel ED$ (так как $BC \parallel AD$) и $BE \parallel CD$ (по построению). Следовательно, $BCDE$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что $BE = CD = d$ и $BC = ED$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABE$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон: $AB = c$ и $BE = d$. Также нам известен угол $\angle BAE$, который совпадает с данным углом трапеции $\angle A = \alpha$.

Таким образом, задача сводится к построению вспомогательного треугольника $ABE$ по двум сторонам ($c$ и $d$) и углу $\alpha$, прилежащему к стороне $c$ и противолежащему стороне $d$. После того как треугольник $ABE$ будет построен, мы сможем найти все вершины трапеции. Точка $D$ лежит на луче $AE$ на расстоянии $a$ от $A$. Вершина $C$ строится из условия, что $BCDE$ — параллелограмм.

Построение

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.
2. От точки $A$ на этой прямой отложим луч под углом $\alpha$ к исходной прямой.
3. На построенном луче отложим отрезок $AB$ длиной $c$.
4. С центром в точке $B$ проведем окружность радиусом $d$.
5. Точку пересечения этой окружности с исходной прямой (не содержащей точку $B$) обозначим как $E$. (В зависимости от данных, таких точек может быть две, одна или ни одной, что определяет количество решений задачи).
6. На исходной прямой от точки $A$ в направлении точки $E$ отложим отрезок $AD$ длиной $a$.
7. Через точку $D$ проведем прямую, параллельную отрезку $BE$.
8. Через точку $B$ проведем прямую, параллельную прямой $AD$.
9. Точка пересечения двух построенных на шагах 7 и 8 прямых будет искомой вершиной $C$.
10. Соединив последовательно точки $A$, $B$, $C$, $D$, получим искомую трапецию.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$.

По построению $AD=a$ (шаг 6), $AB=c$ и $\angle A=\alpha$ (шаги 2-3).По построению $BC \parallel AD$ (шаг 8), значит, $ABCD$ — трапеция.Также по построению $CD \parallel BE$ (шаги 7, 9) и $BC \parallel ED$ (шаг 8), следовательно, $BCDE$ — параллелограмм.Из этого следует, что $CD = BE$. На шаге 4 мы строили $E$ так, чтобы отрезок $BE$ был равен $d$ (как радиус окружности). Таким образом, $CD = d$.Все условия задачи выполнены, следовательно, трапеция $ABCD$ является искомой.

Исследование

Возможность построения трапеции зависит от возможности построения вспомогательного треугольника $ABE$ и от взаимного расположения точек.

1. Построение треугольника $ABE$ по сторонам $c, d$ и углу $\alpha$ (задача SSA) возможно, если окружность радиуса $d$ с центром в $B$ пересекает прямую $AD$. Для этого необходимо, чтобы радиус $d$ был не меньше высоты треугольника, опущенной из $B$ на $AD$. Эта высота равна $h = c \cdot \sin\alpha$. Итак, первое условие: $d \ge c \sin\alpha$. Если $d < c \sin\alpha$, решений нет.

2. Если $d = c \sin\alpha$, существует единственная точка $E$, и треугольник $ABE$ — прямоугольный. Это дает одно решение (при выполнении условия 4).

3. Если $d > c \sin\alpha$, окружность пересекает прямую $AD$ в двух точках $E_1$ и $E_2$.Если $d \ge c$, то только одна из этих точек ($E_2$) лежит на луче $AD$ в нужную сторону от $A$, что дает одно решение. Если $d

4. Для того чтобы $AD$ было большим основанием, необходимо, чтобы $AD > BC$. Так как $BC = ED = AD - AE$, это условие сводится к $AE > 0$. Точка $E$ не должна совпадать с $A$ или лежать по другую сторону от $A$ относительно луча $AD$.

5. Наконец, для существования трапеции необходимо, чтобы точка $E$ находилась между $A$ и $D$, то есть $0 < AE < a$. Если $AE \ge a$, то меньшее основание $BC = ED = AD - AE$ будет иметь неположительную длину, что невозможно. Это накладывает финальное ограничение на входные данные.

Таким образом, в зависимости от численных значений $a, c, d, \alpha$ задача может не иметь решений, либо иметь одно или два решения.

Ответ: Задача решается построением вспомогательного треугольника $ABE$ со сторонами $AB=c$, $BE=d$ и углом $\angle A=\alpha$. Дальнейшее построение вершин $D$ и $C$ основано на длине большего основания $a$ и свойстве параллелограмма $BCDE$. Количество решений (0, 1 или 2) зависит от соотношений между заданными величинами.