Практическая работа, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

Постройте треугольник $ABC$ по своему усмотрению. Для этого треугольника постройте:

а) точку пересечения медиан;

б) точку пересечения высот;

в) описанную окружность;

г) вписанную окружность;

д) вневписанную окружность.

Для выполнения построений сначала начертим произвольный остроугольный разносторонний треугольник $ABC$. Это позволит нам наиболее наглядно продемонстрировать все построения, так как в этом случае большинство замечательных точек и центров окружностей будут находиться в разных местах внутри треугольника.

а) точку пересечения медиан;

Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

1. С помощью циркуля и линейки найдем середину стороны $BC$. Для этого построим две дуги окружности с одинаковым радиусом (большим половины длины $BC$) с центрами в точках $B$ и $C$. Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, является серединным перпендикуляром к стороне $BC$. Точку пересечения этого перпендикуляра со стороной $BC$ обозначим $A_1$. $A_1$ — середина $BC$.
2. Соединим вершину $A$ с точкой $A_1$. Отрезок $AA_1$ — это медиана треугольника.
3. Аналогично найдем середину стороны $AC$, обозначим ее $B_1$.
4. Соединим вершину $B$ с точкой $B_1$. Отрезок $BB_1$ — это вторая медиана.
5. Точка пересечения медиан $AA_1$ и $BB_1$ и есть искомая точка. Обозначим ее $M$. Для проверки можно построить третью медиану $CC_1$ (где $C_1$ — середина $AB$), она также пройдет через точку $M$.

Ответ: Точка $M$, полученная в результате пересечения двух (или трех) медиан треугольника, является искомой точкой пересечения медиан.

б) точку пересечения высот;

Точка пересечения высот треугольника (или их продолжений) называется ортоцентром. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.

1. Построим высоту из вершины $A$ на сторону $BC$. Для этого из точки $A$ как из центра проведем дугу окружности, пересекающую прямую $BC$ в двух точках. Затем из этих двух точек пересечения построим две пересекающиеся дуги одинакового радиуса. Прямая, проходящая через вершину $A$ и точку пересечения этих дуг, будет перпендикулярна прямой $BC$. Отрезок этой прямой от вершины $A$ до стороны $BC$ является высотой $AH_A$.
2. Аналогично построим высоту из вершины $B$ на сторону $AC$. Получим высоту $BH_B$.
3. Точка пересечения высот $AH_A$ и $BH_B$ является ортоцентром треугольника. Обозначим ее $H$. Третья высота $CH_C$ также пройдет через эту точку.

Ответ: Точка $H$, полученная в результате пересечения двух (или трех) высот треугольника, является искомой точкой пересечения высот.

в) описанную окружность;

Описанная окружность — это окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Ее центр, называемый центром описанной окружности, равноудален от всех вершин и является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

1. Построим серединный перпендикуляр к стороне $AB$. Для этого из точек $A$ и $B$ проведем дуги окружности одинакового радиуса (больше половины длины $AB$). Прямая, соединяющая точки пересечения этих дуг, и есть серединный перпендикуляр.
2. Аналогично построим серединный перпендикуляр к стороне $BC$.
3. Точка пересечения этих двух перпендикуляров является центром описанной окружности. Обозначим ее $O$.
4. Радиус описанной окружности равен расстоянию от центра $O$ до любой из вершин, например, $R = OA$.
5. Установив ножку циркуля в точку $O$ и задав радиус $R = OA$, строим окружность. Она пройдет через все три вершины $A$, $B$ и $C$.

Ответ: Окружность с центром в точке $O$ (пересечение серединных перпендикуляров) и радиусом $R=OA$ является искомой описанной окружностью.

г) вписанную окружность;

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника. Ее центр, называемый инцентром, равноудален от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

1. Построим биссектрису угла $A$. Для этого из вершины $A$ проведем дугу, пересекающую стороны $AB$ и $AC$. Из точек пересечения проведем еще две дуги одинакового радиуса внутри угла до их пересечения. Луч, проведенный из вершины $A$ через эту точку пересечения, является биссектрисой угла $A$.
2. Аналогично построим биссектрису угла $B$.
3. Точка пересечения этих двух биссектрис является центром вписанной окружности. Обозначим ее $I$.
4. Для нахождения радиуса вписанной окружности опустим перпендикуляр из точки $I$ на любую из сторон, например, на сторону $AC$. Длина этого перпендикуляра $r$ и будет радиусом.
5. Установив ножку циркуля в точку $I$ и задав радиус $r$, строим окружность. Она будет касаться всех трех сторон треугольника изнутри.

Ответ: Окружность с центром в точке $I$ (пересечение биссектрис) и радиусом $r$, равным расстоянию от $I$ до любой стороны, является искомой вписанной окружностью.

д) вневписанную окружность.

Вневписанная окружность — это окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. У треугольника три таких окружности. Построим одну из них, например, ту, что касается стороны $BC$. Ее центр называется центром вневписанной окружности (эксцентром) и является точкой пересечения биссектрисы внутреннего угла $A$ и биссектрис двух внешних углов при вершинах $B$ и $C$.

1. Продлим стороны $AB$ за точку $B$ и $AC$ за точку $C$.
2. Построим биссектрису внешнего угла при вершине $B$ (угол между стороной $BC$ и продолжением стороны $AB$).
3. Построим биссектрису внешнего угла при вершине $C$ (угол между стороной $BC$ и продолжением стороны $AC$).
4. Точка пересечения этих двух биссектрис является центром вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$. Обозначим эту точку $I_A$. (Примечание: эта точка также лежит на биссектрисе внутреннего угла $A$).
5. Для нахождения радиуса $r_a$ этой окружности опустим перпендикуляр из точки $I_A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Длина этого перпендикуляра и будет радиусом.
6. Установив ножку циркуля в точку $I_A$ и задав радиус $r_a$, строим окружность. Она будет касаться стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$.

Ответ: Окружность с центром в точке $I_A$ (пересечение биссектрис двух внешних и одного внутреннего угла) и радиусом $r_a$, равным расстоянию от $I_A$ до стороны $BC$, является искомой вневписанной окружностью.