Страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте свойство медиан треугольника.

2. Какая окружность называется описанной около треугольника (вписанной в треугольник)?

3. Как найти центр описанной около треугольника окружности?

4. Как найти центр вписанной в треугольник окружности? Сформулируйте и докажите соответствующую теорему.

5. Какие окружности называются вневписанными? Сколько их?

6. Как найти центр вневписанной окружности? Сформулируйте и докажите соответствующую теорему.

7. Сформулируйте и докажите свойства высот треугольника.

1. Сформулируйте свойство медиан треугольника.
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Основное свойство медиан треугольника (теорема о медианах):
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, называемой центроидом или центром тяжести треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Если $m_a, m_b, m_c$ — медианы, проведенные к сторонам $a, b, c$ соответственно, и $M$ — точка их пересечения, то для любой медианы, например $m_a$, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$, выполняется соотношение: $AM : MA_1 = 2:1$, где $A_1$ — середина стороны $BC$.
Ответ: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

2. Какая окружность называется описанной около треугольника (вписанной в треугольник)?
Описанная окружность:
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все три его вершины. В этом случае сам треугольник называется вписанным в окружность.
Вписанная окружность:
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон. В этом случае сам треугольник называется описанным около окружности.
Ответ: Описанная окружность проходит через все вершины треугольника. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.

3. Как найти центр описанной около треугольника окружности?
Центр описанной около треугольника окружности (называемый также центром описанной окружности или циркумцентром) — это точка, равноудаленная от всех трех вершин треугольника. Чтобы найти эту точку, необходимо построить серединные перпендикуляры к сторонам треугольника.
Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину. Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.
Теорема: Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка и является центром описанной окружности.
Таким образом, для нахождения центра описанной окружности достаточно построить серединные перпендикуляры к любым двум сторонам треугольника и найти точку их пересечения.
Ответ: Центр описанной около треугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

4. Как найти центр вписанной в треугольник окружности? Сформулируйте и докажите соответствующую теорему.
Центр вписанной в треугольник окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис его внутренних углов.

Теорема: Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:
Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$. Пусть они пересекаются в точке $I$.
По свойству биссектрисы угла, любая ее точка равноудалена от сторон угла.
1. Так как точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle A$, она равноудалена от сторон $AB$ и $AC$. Опустим перпендикуляры $IK$, $IL$ и $IM$ из точки $I$ на стороны $AB$, $AC$ и $BC$ соответственно. Тогда $IL = IK$.
2. Так как точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle B$, она равноудалена от сторон $BA$ и $BC$. Тогда $IK = IM$.
3. Из равенств $IL = IK$ и $IK = IM$ следует, что $IL = IM$. Это означает, что точка $I$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$ угла $\angle C$.
Следовательно, точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle C$.
Таким образом, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке $I$.
Поскольку точка $I$ равноудалена от всех трех сторон треугольника (на расстояние $r = IK = IL = IM$), то окружность с центром в точке $I$ и радиусом $r$ будет касаться всех трех сторон треугольника, то есть будет вписанной в треугольник $ABC$.
Теорема доказана.
Ответ: Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис его углов.

5. Какие окружности называются вневписанными? Сколько их?
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.
У каждого треугольника существует ровно три вневписанные окружности, по одной для каждой стороны.
Ответ: Вневписанная окружность — это окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Всего у треугольника три вневписанные окружности.

6. Как найти центр вневписанной окружности? Сформулируйте и докажите соответствующую теорему.
Центр вневписанной окружности (эксцентр) находится на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис двух внешних углов треугольника.

Теорема: Биссектриса одного внутреннего угла треугольника и биссектрисы двух внешних углов при других вершинах пересекаются в одной точке.

Доказательство:
Рассмотрим треугольник $ABC$. Найдем центр вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$.
Проведем биссектрису внешнего угла при вершине $B$ и биссектрису внешнего угла при вершине $C$. Пусть они пересекаются в точке $I_a$.
1. Точка $I_a$ лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине $B$. Следовательно, она равноудалена от прямых $AB$ и $BC$. Опустим перпендикуляры $I_aK$, $I_aL$ и $I_aM$ на прямые $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Тогда $I_aK = I_aL$.
2. Точка $I_a$ лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине $C$. Следовательно, она равноудалена от прямых $BC$ и $AC$. Тогда $I_aL = I_aM$.
3. Из равенств $I_aK = I_aL$ и $I_aL = I_aM$ следует, что $I_aK = I_aM$. Это означает, что точка $I_a$ равноудалена от прямых $AB$ и $AC$, образующих внутренний угол $\angle A$.
Следовательно, точка $I_a$ лежит на биссектрисе внутреннего угла $\angle A$.
Таким образом, биссектриса внутреннего угла $\angle A$ и биссектрисы внешних углов при вершинах $B$ и $C$ пересекаются в одной точке $I_a$.
Эта точка равноудалена от стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$, а значит, является центром вневписанной окружности.
Аналогично доказывается существование двух других центров вневписанных окружностей ($I_b$ и $I_c$).
Теорема доказана.
Ответ: Центр вневписанной окружности является точкой пересечения биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис двух внешних углов при двух других вершинах.

7. Сформулируйте и докажите свойства высот треугольника.
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или на её продолжение).

Основное свойство (теорема о высотах треугольника): Три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.

Доказательство:
Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведём через его вершины прямые, параллельные противолежащим сторонам. Через вершину $A$ проведём прямую, параллельную $BC$; через $B$ — прямую, параллельную $AC$; через $C$ — прямую, параллельную $AB$.
Точки пересечения этих прямых образуют новый треугольник $A_1B_1C_1$ (где $A$ лежит на $B_1C_1$, $B$ на $A_1C_1$, $C$ на $A_1B_1$).
По построению четырёхугольники $ABCB_1$ и $ACBC_1$ являются параллелограммами. Из этого следует, что $AB_1 = BC$ и $AC_1 = BC$. Значит, $AB_1 = AC_1$, и точка $A$ является серединой стороны $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$.
Аналогично, точка $B$ — середина стороны $A_1C_1$, а точка $C$ — середина стороны $A_1B_1$.
Рассмотрим высоту $AH_a$ треугольника $ABC$, проведенную к стороне $BC$. Так как $AH_a \perp BC$ и $BC \parallel B_1C_1$, то $AH_a \perp B_1C_1$.
Поскольку высота $AH_a$ перпендикулярна стороне $B_1C_1$ и проходит через её середину (точку $A$), она является серединным перпендикуляром к стороне $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$.
Аналогично доказывается, что две другие высоты треугольника $ABC$ являются серединными перпендикулярами к сторонам $A_1C_1$ и $A_1B_1$ треугольника $A_1B_1C_1$.
Как известно, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (центре описанной окружности). Следовательно, высоты треугольника $ABC$ (или их продолжения) также пересекаются в одной точке.
Эта точка и есть ортоцентр.
Теорема доказана.

Другие свойства:
- В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника.
- В прямоугольном треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла.
- В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника.
Ответ: Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.

Практическая работа

Постройте треугольник $ABC$ по своему усмотрению. Для этого треугольника постройте:

а) точку пересечения медиан;

б) точку пересечения высот;

в) описанную окружность;

г) вписанную окружность;

д) вневписанную окружность.

Для выполнения построений сначала начертим произвольный остроугольный разносторонний треугольник $ABC$. Это позволит нам наиболее наглядно продемонстрировать все построения, так как в этом случае большинство замечательных точек и центров окружностей будут находиться в разных местах внутри треугольника.

а) точку пересечения медиан;

Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

1. С помощью циркуля и линейки найдем середину стороны $BC$. Для этого построим две дуги окружности с одинаковым радиусом (большим половины длины $BC$) с центрами в точках $B$ и $C$. Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, является серединным перпендикуляром к стороне $BC$. Точку пересечения этого перпендикуляра со стороной $BC$ обозначим $A_1$. $A_1$ — середина $BC$.
2. Соединим вершину $A$ с точкой $A_1$. Отрезок $AA_1$ — это медиана треугольника.
3. Аналогично найдем середину стороны $AC$, обозначим ее $B_1$.
4. Соединим вершину $B$ с точкой $B_1$. Отрезок $BB_1$ — это вторая медиана.
5. Точка пересечения медиан $AA_1$ и $BB_1$ и есть искомая точка. Обозначим ее $M$. Для проверки можно построить третью медиану $CC_1$ (где $C_1$ — середина $AB$), она также пройдет через точку $M$.

Ответ: Точка $M$, полученная в результате пересечения двух (или трех) медиан треугольника, является искомой точкой пересечения медиан.

б) точку пересечения высот;

Точка пересечения высот треугольника (или их продолжений) называется ортоцентром. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.

1. Построим высоту из вершины $A$ на сторону $BC$. Для этого из точки $A$ как из центра проведем дугу окружности, пересекающую прямую $BC$ в двух точках. Затем из этих двух точек пересечения построим две пересекающиеся дуги одинакового радиуса. Прямая, проходящая через вершину $A$ и точку пересечения этих дуг, будет перпендикулярна прямой $BC$. Отрезок этой прямой от вершины $A$ до стороны $BC$ является высотой $AH_A$.
2. Аналогично построим высоту из вершины $B$ на сторону $AC$. Получим высоту $BH_B$.
3. Точка пересечения высот $AH_A$ и $BH_B$ является ортоцентром треугольника. Обозначим ее $H$. Третья высота $CH_C$ также пройдет через эту точку.

Ответ: Точка $H$, полученная в результате пересечения двух (или трех) высот треугольника, является искомой точкой пересечения высот.

в) описанную окружность;

Описанная окружность — это окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Ее центр, называемый центром описанной окружности, равноудален от всех вершин и является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

1. Построим серединный перпендикуляр к стороне $AB$. Для этого из точек $A$ и $B$ проведем дуги окружности одинакового радиуса (больше половины длины $AB$). Прямая, соединяющая точки пересечения этих дуг, и есть серединный перпендикуляр.
2. Аналогично построим серединный перпендикуляр к стороне $BC$.
3. Точка пересечения этих двух перпендикуляров является центром описанной окружности. Обозначим ее $O$.
4. Радиус описанной окружности равен расстоянию от центра $O$ до любой из вершин, например, $R = OA$.
5. Установив ножку циркуля в точку $O$ и задав радиус $R = OA$, строим окружность. Она пройдет через все три вершины $A$, $B$ и $C$.

Ответ: Окружность с центром в точке $O$ (пересечение серединных перпендикуляров) и радиусом $R=OA$ является искомой описанной окружностью.

г) вписанную окружность;

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника. Ее центр, называемый инцентром, равноудален от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

1. Построим биссектрису угла $A$. Для этого из вершины $A$ проведем дугу, пересекающую стороны $AB$ и $AC$. Из точек пересечения проведем еще две дуги одинакового радиуса внутри угла до их пересечения. Луч, проведенный из вершины $A$ через эту точку пересечения, является биссектрисой угла $A$.
2. Аналогично построим биссектрису угла $B$.
3. Точка пересечения этих двух биссектрис является центром вписанной окружности. Обозначим ее $I$.
4. Для нахождения радиуса вписанной окружности опустим перпендикуляр из точки $I$ на любую из сторон, например, на сторону $AC$. Длина этого перпендикуляра $r$ и будет радиусом.
5. Установив ножку циркуля в точку $I$ и задав радиус $r$, строим окружность. Она будет касаться всех трех сторон треугольника изнутри.

Ответ: Окружность с центром в точке $I$ (пересечение биссектрис) и радиусом $r$, равным расстоянию от $I$ до любой стороны, является искомой вписанной окружностью.

д) вневписанную окружность.

Вневписанная окружность — это окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. У треугольника три таких окружности. Построим одну из них, например, ту, что касается стороны $BC$. Ее центр называется центром вневписанной окружности (эксцентром) и является точкой пересечения биссектрисы внутреннего угла $A$ и биссектрис двух внешних углов при вершинах $B$ и $C$.

1. Продлим стороны $AB$ за точку $B$ и $AC$ за точку $C$.
2. Построим биссектрису внешнего угла при вершине $B$ (угол между стороной $BC$ и продолжением стороны $AB$).
3. Построим биссектрису внешнего угла при вершине $C$ (угол между стороной $BC$ и продолжением стороны $AC$).
4. Точка пересечения этих двух биссектрис является центром вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$. Обозначим эту точку $I_A$. (Примечание: эта точка также лежит на биссектрисе внутреннего угла $A$).
5. Для нахождения радиуса $r_a$ этой окружности опустим перпендикуляр из точки $I_A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Длина этого перпендикуляра и будет радиусом.
6. Установив ножку циркуля в точку $I_A$ и задав радиус $r_a$, строим окружность. Она будет касаться стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$.

Ответ: Окружность с центром в точке $I_A$ (пересечение биссектрис двух внешних и одного внутреннего угла) и радиусом $r_a$, равным расстоянию от $I_A$ до стороны $BC$, является искомой вневписанной окружностью.