Страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

В тетради постройте: 1) произвольную трапецию; 2) равнобокую трапецию; 3) прямоугольную трапецию. Постройте и укажите их высоту и среднюю линию.

1) произвольную трапецию;

Произвольная (или разносторонняя) трапеция – это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна. Эти параллельные стороны называются основаниями, а две другие – боковыми сторонами. В произвольной трапеции боковые стороны имеют разную длину и не перпендикулярны основаниям.

Построение:

1. Сначала начертим две параллельные прямые. На них будут располагаться основания трапеции.
2. На нижней прямой отметим отрезок $AD$ — это будет большее основание.
3. На верхней прямой отметим отрезок $BC$ — меньшее основание. Расположим его так, чтобы боковые стороны, которые получатся после соединения вершин, не были равны.
4. Соединим точки $A$ и $B$, а также $D$ и $C$. Получим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$.

Построение высоты и средней линии:

• Высота: Высота трапеции — это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на прямую, содержащую другое основание. Проведем из вершины $B$ перпендикуляр $BH$ к основанию $AD$. Отрезок $BH$ является высотой трапеции.
• Средняя линия: Средняя линия трапеции соединяет середины ее боковых сторон. Найдем середину стороны $AB$ и назовем ее точкой $M$. Затем найдем середину стороны $CD$ и назовем ее точкой $N$. Соединив точки $M$ и $N$, получим среднюю линию $MN$. Длина средней линии вычисляется по формуле $MN = \frac{AD + BC}{2}$.

Ответ: Построена произвольная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, проведена ее высота $BH$ и построена средняя линия $MN$.

2) равнобокую трапецию;

Равнобокая (или равнобедренная) трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны. Следствием этого является равенство углов при каждом из оснований.

Построение:

1. Начертим отрезок $AD$, который будет нижним основанием.
2. От вершин $A$ и $D$ отложим равные углы (например, по $70^{\circ}$) внутрь будущей трапеции.
3. На получившихся лучах отложим равные отрезки $AB$ и $DC$. Это будут боковые стороны.
4. Соединим точки $B$ и $C$. Так как углы при основании $AD$ равны, то отрезок $BC$ будет параллелен $AD$. Четырехугольник $ABCD$ — равнобокая трапеция.

Построение высоты и средней линии:

• Высота: Проведем из вершины $B$ перпендикуляр $BH$ к основанию $AD$. $BH$ — высота трапеции. В равнобокой трапеции высоты, проведенные из вершин верхнего основания, равны и отсекают на нижнем основании равные отрезки ($AH=KD$, если $CK$ — вторая высота).
• Средняя линия: Найдем середину боковой стороны $AB$ (точка $M$) и середину боковой стороны $CD$ (точка $N$). Отрезок $MN$ является средней линией. Ее длина, как и в любой трапеции, равна полусумме оснований: $MN = \frac{AD + BC}{2}$.

Ответ: Построена равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и равными боковыми сторонами ($AB=CD$), проведена ее высота $BH$ и построена средняя линия $MN$.

3) прямоугольную трапецию.

Прямоугольная трапеция — это трапеция, одна из боковых сторон которой перпендикулярна основаниям. Эта сторона одновременно является и высотой трапеции.

Построение:

1. Начертим две параллельные прямые.
2. Проведем третью прямую, перпендикулярную этим двум прямым. Точки ее пересечения с параллельными прямыми обозначим $A$ и $D$. Отрезок $AD$ будет боковой стороной, перпендикулярной будущим основаниям.
3. На прямой, проходящей через точку $A$, выберем точку $B$. Отрезок $AB$ — верхнее основание.
4. На прямой, проходящей через точку $D$, выберем точку $C$. Отрезок $DC$ — нижнее основание.
5. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком. Полученный четырехугольник $ABCD$ — прямоугольная трапеция с основаниями $AB$ и $DC$ и прямыми углами при вершинах $A$ и $D$.

Указание высоты и построение средней линии:

• Высота: В построенной трапеции $ABCD$ боковая сторона $AD$ перпендикулярна основаниям $AB$ и $DC$. Следовательно, отрезок $AD$ является высотой трапеции. $h = AD$.
• Средняя линия: Найдем середину боковой стороны $AD$ (точка $M$) и середину второй боковой стороны $BC$ (точка $N$). Соединив их, получим среднюю линию $MN$. Ее длина равна $MN = \frac{AB + DC}{2}$.

Ответ: Построена прямоугольная трапеция $ABCD$ (основания $AB$ и $DC$, $\angle A = \angle D = 90^{\circ}$), указана ее высота (сторона $AD$) и построена средняя линия $MN$.

1.124. Может ли трапеция иметь три острых угла?

Для ответа на этот вопрос необходимо использовать свойства углов трапеции. Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями, а две другие — боковыми сторонами.

Пусть дана трапеция, у которой основания параллельны друг другу. Рассмотрим одну из боковых сторон. Эта сторона является секущей для двух параллельных прямых, на которых лежат основания. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^\circ$. Это означает, что сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, всегда равна $180^\circ$.

Обозначим углы трапеции как $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ и $\angle D$, где основаниями являются $AD$ и $BC$. Тогда боковыми сторонами будут $AB$ и $CD$. Для углов трапеции будут справедливы следующие равенства:

$\angle A + \angle B = 180^\circ$

$\angle C + \angle D = 180^\circ$

Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.

Теперь предположим, что трапеция может иметь три острых угла.

Рассмотрим пару углов, прилежащих к одной боковой стороне, например, $\angle A$ и $\angle B$. Если бы оба эти угла были острыми, то каждый из них был бы меньше $90^\circ$. В таком случае их сумма была бы:

$\angle A + \angle B < 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Это прямо противоречит свойству трапеции, согласно которому сумма этих углов должна быть строго равна $180^\circ$. Следовательно, оба угла, прилежащие к одной боковой стороне, не могут быть острыми одновременно. В каждой паре таких углов ($\angle A$ и $\angle B$; $\angle C$ и $\angle D$) может быть не более одного острого угла. Если один из углов в паре острый, то второй обязательно должен быть тупым (больше $90^\circ$). Если же один из них прямой ($90^\circ$), то и второй будет прямым.

Поскольку у трапеции две боковые стороны и, соответственно, две такие пары углов, она может иметь максимум два острых угла — по одному у каждой боковой стороны. Например, углы при одном из оснований могут быть острыми (например, $\angle A$ и $\angle D$), но тогда углы при другом основании ($\angle B$ и $\angle C$) будут тупыми.

Таким образом, трапеция не может иметь три острых угла.

Ответ: Нет, трапеция не может иметь три острых угла, так как сумма углов, прилежащих к любой из боковых сторон, равна $180^\circ$, а сумма двух острых углов всегда меньше $180^\circ$.

1.125. Могут ли углы трапеции, взятые в последовательном порядке, быть пропорциональны числам:

1) 6, 3, 4, 2;

2) 8, 7, 13, 12?

Для решения задачи воспользуемся основными свойствами углов трапеции:
1. Сумма всех внутренних углов любого выпуклого четырехугольника (в том числе трапеции) равна $360^\circ$.
2. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$.

Пусть углы трапеции, взятые в последовательном порядке, это $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$. Тогда, согласно свойству 2, либо $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и $\angle C + \angle D = 180^\circ$ (если боковые стороны AB и CD), либо $\angle B + \angle C = 180^\circ$ и $\angle D + \angle A = 180^\circ$ (если боковые стороны BC и DA).

1) 6, 3, 4, 2

Пусть углы трапеции пропорциональны числам 6, 3, 4, 2. Обозначим коэффициент пропорциональности через $x$. Тогда величины углов будут:
$\angle A = 6x$
$\angle B = 3x$
$\angle C = 4x$
$\angle D = 2x$

Сумма всех углов равна $360^\circ$:
$6x + 3x + 4x + 2x = 360^\circ$
$15x = 360^\circ$
$x = \frac{360^\circ}{15} = 24^\circ$

Теперь найдем величины каждого угла:
$\angle A = 6 \cdot 24^\circ = 144^\circ$
$\angle B = 3 \cdot 24^\circ = 72^\circ$
$\angle C = 4 \cdot 24^\circ = 96^\circ$
$\angle D = 2 \cdot 24^\circ = 48^\circ$

Проверим, выполняется ли свойство о сумме углов при боковой стороне:
Вариант 1 (боковые стороны AB и CD):
$\angle A + \angle B = 144^\circ + 72^\circ = 216^\circ \neq 180^\circ$
Этот вариант невозможен.

Вариант 2 (боковые стороны BC и DA):
$\angle B + \angle C = 72^\circ + 96^\circ = 168^\circ \neq 180^\circ$
Этот вариант также невозможен.

Так как ни одна из пар соседних углов не дает в сумме $180^\circ$, такой четырехугольник не может быть трапецией.
Ответ: нет.

2) 8, 7, 13, 12

Пусть углы трапеции пропорциональны числам 8, 7, 13, 12. Обозначим коэффициент пропорциональности через $x$. Тогда величины углов будут:
$\angle A = 8x$
$\angle B = 7x$
$\angle C = 13x$
$\angle D = 12x$

Сумма всех углов равна $360^\circ$:
$8x + 7x + 13x + 12x = 360^\circ$
$40x = 360^\circ$
$x = \frac{360^\circ}{40} = 9^\circ$

Теперь найдем величины каждого угла:
$\angle A = 8 \cdot 9^\circ = 72^\circ$
$\angle B = 7 \cdot 9^\circ = 63^\circ$
$\angle C = 13 \cdot 9^\circ = 117^\circ$
$\angle D = 12 \cdot 9^\circ = 108^\circ$

Проверим, выполняется ли свойство о сумме углов при боковой стороне:
Вариант 1 (боковые стороны AB и CD):
$\angle A + \angle B = 72^\circ + 63^\circ = 135^\circ \neq 180^\circ$
Этот вариант невозможен.

Вариант 2 (боковые стороны BC и DA):
$\angle B + \angle C = 63^\circ + 117^\circ = 180^\circ$
$\angle D + \angle A = 108^\circ + 72^\circ = 180^\circ$
Оба условия выполняются. Это означает, что основания трапеции параллельны (в данном случае, стороны AB и CD), а боковые стороны — BC и DA.

Так как нашлась пара соседних углов, сумма которых равна $180^\circ$, такой четырехугольник может быть трапецией.
Ответ: да.

1.126. Докажите, что в равнобокой трапеции:

1) диагонали равны;

2) углы при основании равны.

1) диагонали равны

Рассмотрим равнобокую трапецию $ABCD$, в которой основания $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), а боковые стороны $AB$ и $CD$ равны по определению ($AB = CD$). Необходимо доказать, что диагонали этой трапеции $AC$ и $BD$ равны.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим треугольники $\Delta ACD$ и $\Delta DBA$.

В этих треугольниках сторона $AD$ является общей. Сторона $CD$ равна стороне $AB$ по определению равнобокой трапеции. Угол $\angle CDA$ равен углу $\angle BAD$ как углы при основании равнобокой трапеции (это свойство доказано в пункте 2).

Таким образом, треугольники $\Delta ACD$ и $\Delta DBA$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Так как треугольники равны, то равны и их соответствующие элементы. Следовательно, сторона $AC$ треугольника $\Delta ACD$ равна стороне $BD$ треугольника $\Delta DBA$.

Ответ: Диагонали в равнобокой трапеции равны, что и требовалось доказать.

2) углы при основании равны

Рассмотрим ту же равнобокую трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и равными боковыми сторонами $AB = CD$. Необходимо доказать, что углы при каждом из оснований равны, то есть $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.

Проведём из вершин $B$ и $C$ верхнего основания высоты $BH$ и $CK$ на нижнее основание $AD$. Поскольку основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, а высоты $BH$ и $CK$ перпендикулярны основанию $AD$, то длины этих высот равны: $BH = CK$.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника $\Delta ABH$ и $\Delta DCK$. В этих треугольниках гипотенузы $AB$ и $CD$ равны по условию (так как трапеция равнобокая), а катеты $BH$ и $CK$ равны как высоты трапеции. Следовательно, прямоугольные треугольники $\Delta ABH$ и $\Delta DCK$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Значит, $\angle BAH = \angle CDK$, или, что то же самое, $\angle A = \angle D$. Таким образом, углы при нижнем основании равны.

Для доказательства равенства углов при верхнем основании воспользуемся свойством параллельных прямых. Так как $AD \parallel BC$, то сумма внутренних односторонних углов при секущей $AB$ равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Отсюда $\angle B = 180^\circ - \angle A$. Аналогично, при секущей $CD$ сумма углов $\angle D + \angle C = 180^\circ$, откуда $\angle C = 180^\circ - \angle D$.

Поскольку мы уже доказали, что $\angle A = \angle D$, то из этого следует, что $180^\circ - \angle A = 180^\circ - \angle D$, а значит $\angle B = \angle C$. Углы при верхнем основании также равны.

Ответ: Углы при основаниях в равнобокой трапеции равны, что и требовалось доказать.

1.127. Чему равны углы равнобокой трапеции, если известно, что разность противоположных углов равна $40^\circ$ (рис. 1.64)?

A

B

C

D

$\alpha$

$\beta$

Рис. 1.64

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Обозначим углы при нижнем (большем) основании AD как $\angle A = \angle D = \alpha$, а углы при верхнем (меньшем) основании BC как $\angle B = \angle C = \beta$.

Свойства равнобокой трапеции, которые мы будем использовать:

1. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°. Например, для стороны AB имеем: $\angle A + \angle B = 180°$, что в наших обозначениях выглядит как $\alpha + \beta = 180°$.

2. Противоположные углы — это $\angle A$ и $\angle C$, а также $\angle B$ и $\angle D$. Их величины соответственно равны $\alpha$ и $\beta$. Из рисунка видно, что угол при нижнем основании $\alpha$ является острым, а угол при верхнем основании $\beta$ — тупым. Следовательно, $\beta > \alpha$.

По условию задачи, разность противоположных углов равна 40°. Запишем это в виде уравнения:

$\beta - \alpha = 40°$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $\alpha$ и $\beta$:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180° \\ \beta - \alpha = 40° \end{cases} $

Для решения системы сложим оба уравнения:

$(\alpha + \beta) + (\beta - \alpha) = 180° + 40°$

$2\beta = 220°$

$\beta = \frac{220°}{2}$

$\beta = 110°$

Теперь найдем значение $\alpha$, подставив найденное значение $\beta$ в первое уравнение системы:

$\alpha + 110° = 180°$

$\alpha = 180° - 110°$

$\alpha = 70°$

Таким образом, мы нашли величины всех углов трапеции:

Углы при нижнем основании: $\angle A = \angle D = \alpha = 70°$

Углы при верхнем основании: $\angle B = \angle C = \beta = 110°$

Проверим: разность противоположных углов $\beta - \alpha = 110° - 70° = 40°$. Условие задачи выполняется.

Ответ: два угла равны 70°, а два других — 110°.

1.128. Углы при одном основании трапеции равны $68^\circ$ и $71^\circ$. Найдите остальные углы трапеции.

Пусть дана трапеция, у которой основания параллельны. Обозначим углы при одном основании как $\angle 1$ и $\angle 2$, а углы при другом основании как $\angle 3$ и $\angle 4$.

По условию, углы при одном из оснований равны $68^\circ$ и $71^\circ$. Пусть $\angle 1 = 68^\circ$ и $\angle 2 = 71^\circ$.

В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Это свойство следует из того, что основания трапеции параллельны, а боковая сторона является секущей. Углы, прилежащие к боковой стороне, являются внутренними односторонними, и их сумма равна $180^\circ$.

Найдем первый из оставшихся углов, который прилежит к той же боковой стороне, что и угол $68^\circ$. Обозначим его $\angle 3$.

$\angle 3 = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$

Теперь найдем второй из оставшихся углов, который прилежит к той же боковой стороне, что и угол $71^\circ$. Обозначим его $\angle 4$.

$\angle 4 = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$

Таким образом, два других угла трапеции равны $112^\circ$ и $109^\circ$.

Ответ: $112^\circ$ и $109^\circ$.

Рис. 1.64

1.129. Диагональ BD трапеции ABCD перпендикулярна боковой стороне AB и $\angle BAD = 40^\circ$. Полагая, что меньшее основание трапеции равно ее второй боковой стороне, найдите другие углы трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания ($AD \parallel BC$), а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Исходя из условий задачи, имеем:

• Диагональ $BD$ перпендикулярна боковой стороне $AB$, что означает $\angle ABD = 90^{\circ}$.
• Угол при основании $\angle BAD = 40^{\circ}$.
• Меньшее основание $BC$ равно второй боковой стороне $CD$, то есть $BC = CD$.

Требуется найти остальные углы трапеции: $\angle ABC$, $\angle BCD$ и $\angle ADC$.

1. Нахождение углов в треугольнике ABD

Рассмотрим треугольник $ABD$. Он является прямоугольным, так как по условию $\angle ABD = 90^{\circ}$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^{\circ}$. Следовательно, мы можем вычислить третий угол этого треугольника, $\angle ADB$:

$\angle ADB = 180^{\circ} - \angle BAD - \angle ABD = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 90^{\circ} = 50^{\circ}$.

2. Нахождение угла ABC

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^{\circ}$. Для боковой стороны $AB$ это свойство записывается как:

$\angle BAD + \angle ABC = 180^{\circ}$

Подставив известное значение $\angle BAD = 40^{\circ}$, получим:

$40^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$

$\angle ABC = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$.

Также можно найти этот угол другим способом. Так как основания $AD$ и $BC$ параллельны, а $BD$ является секущей, то внутренние накрест лежащие углы $\angle ADB$ и $\angle CBD$ равны. Из шага 1 мы знаем, что $\angle ADB = 50^{\circ}$, значит, $\angle CBD = 50^{\circ}$. Тогда угол $\angle ABC$ можно представить как сумму углов $\angle ABD$ и $\angle CBD$:

$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 90^{\circ} + 50^{\circ} = 140^{\circ}$.

Оба способа дают одинаковый результат, что подтверждает правильность вычислений.

3. Нахождение углов BCD и ADC

По условию задачи, меньшее основание $BC$ равно боковой стороне $CD$ ($BC = CD$). Это значит, что треугольник $BCD$ является равнобедренным с основанием $BD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$\angle CDB = \angle CBD$.

Поскольку мы уже определили, что $\angle CBD = 50^{\circ}$, то и $\angle CDB = 50^{\circ}$.

Теперь мы можем найти третий угол треугольника $BCD$ — угол $\angle BCD$ трапеции:

$\angle BCD = 180^{\circ} - (\angle CBD + \angle CDB) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$.

Осталось найти последний угол трапеции — $\angle ADC$. Этот угол состоит из двух частей: $\angle ADB$ и $\angle CDB$.

$\angle ADC = \angle ADB + \angle CDB$.

Подставим известные нам значения этих углов:

$\angle ADC = 50^{\circ} + 50^{\circ} = 100^{\circ}$.

Таким образом, мы нашли все неизвестные углы трапеции. Для проверки можно убедиться, что сумма углов у боковой стороны $CD$ также равна $180^{\circ}$:

$\angle BCD + \angle ADC = 80^{\circ} + 100^{\circ} = 180^{\circ}$.

Проверка пройдена успешно.

Ответ: Другие углы трапеции равны $\angle ABC = 140^{\circ}$, $\angle BCD = 80^{\circ}$ и $\angle ADC = 100^{\circ}$.

1.130. Меньшее основание $BC$ трапеции $ABCD$ равно 4 см. Через вершину $B$ проведена прямая, параллельная стороне $CD$. Чему равен периметр трапеции, если периметр полученного треугольника равен 12 см (рис. 1.65)?

Рис. 1.65

Рассмотрим четырехугольник $BCDK$. По определению трапеции $ABCD$ ее основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Так как точка $K$ лежит на основании $AD$, то $BC \parallel KD$. По условию задачи через вершину $B$ проведена прямая, параллельная стороне $CD$, то есть $BK \parallel CD$.

Поскольку в четырехугольнике $BCDK$ противолежащие стороны попарно параллельны ($BC \parallel KD$ и $BK \parallel CD$), то $BCDK$ является параллелограммом по определению.

Из свойства параллелограмма следует, что его противолежащие стороны равны: $CD = BK$ и $KD = BC$.

Периметр трапеции $ABCD$ вычисляется как сумма длин всех ее сторон: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$.

Длину большего основания $AD$ можно представить в виде суммы отрезков $AD = AK + KD$. Подставив это в формулу периметра, получим: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AK + KD$.

Теперь используем полученные равенства сторон $CD = BK$ и $KD = BC$ для преобразования формулы периметра трапеции:
$P_{ABCD} = AB + BC + BK + AK + BC$.

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $P_{ABCD} = (AB + AK + BK) + 2 \cdot BC$.

Выражение в скобках $(AB + AK + BK)$ — это периметр треугольника $ABK$, который по условию задачи равен 12 см. Длина меньшего основания $BC$ по условию равна 4 см. Подставляем известные значения и вычисляем периметр трапеции:
$P_{ABCD} = 12 \text{ см} + 2 \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см} + 8 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Ответ: 20 см.

1.131. Боковая сторона трапеции разделена на три равные части и из точек деления к другой стороне проведены отрезки, параллельные основаниям. Найдите длины этих отрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м (рис. 1.66).

Рис. 1.66

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. По условию задачи, длина верхнего основания $BC = 2$ м, а нижнего — $AD = 5$ м. Боковая сторона AB разделена точками E и K на три равные части, так что $BE = EK = KA$. Через точки E и K проведены отрезки EF и KL, параллельные основаниям. Необходимо найти длины этих отрезков.

Для решения задачи применим метод подобных треугольников. Для этого проведем в трапеции диагональ BD. Она пересечет отрезок EF в точке G, а отрезок KL — в точке H. Таким образом, искомые длины можно найти как суммы длин отрезков: $EF = EG + GF$ и $KL = KH + HL$.

Сначала найдем длину отрезка EG. Рассмотрим треугольник ABD. Так как по условию $EF \parallel AD$, то и отрезок $EG \parallel AD$. Следовательно, треугольник BEG подобен треугольнику BAD по двум углам (угол B — общий, а $\angle BEG = \angle BAD$ как соответственные углы при параллельных прямых EG, AD и секущей AB). Из условия $BE = EK = KA$ следует, что $BE = \frac{1}{3} AB$. Отношение длин соответственных сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия: $\frac{EG}{AD} = \frac{BE}{AB} = \frac{1}{3}$ Подставив известную длину $AD = 5$ м, получаем: $EG = \frac{1}{3} \cdot AD = \frac{1}{3} \cdot 5 = \frac{5}{3}$ м.

Теперь найдем длину отрезка GF. Рассмотрим треугольник BCD. Так как $EF \parallel BC$, то и $GF \parallel BC$. Поскольку точка E делит сторону AB в отношении $BE:EA = 1:2$, то по теореме Фалеса точка G делит диагональ BD в том же отношении: $BG:GD = 1:2$. Отсюда следует, что $\frac{GD}{BD} = \frac{2}{3}$. Треугольник DGF подобен треугольнику DBC по двум углам (угол D — общий, а $\angle DGF = \angle DBC$ как соответственные углы при параллельных прямых GF, BC и секущей BD). Следовательно, их стороны пропорциональны: $\frac{GF}{BC} = \frac{GD}{BD} = \frac{2}{3}$ Подставив известную длину $BC = 2$ м, находим: $GF = \frac{2}{3} \cdot BC = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}$ м.

Полная длина отрезка EF равна сумме длин его частей: $EF = EG + GF = \frac{5}{3} + \frac{4}{3} = \frac{9}{3} = 3$ м.

Ответ: 3 м.

Аналогично найдем длину отрезка KL, который состоит из отрезков KH и HL. Рассмотрим треугольник ABD. Так как $KL \parallel AD$, то и $KH \parallel AD$. Треугольник BKH подобен треугольнику BAD. Из условия $BK = BE + EK = 2 \cdot BE$, а $AB = 3 \cdot BE$. Таким образом, отношение $\frac{BK}{AB} = \frac{2}{3}$. Запишем пропорцию для сторон: $\frac{KH}{AD} = \frac{BK}{AB} = \frac{2}{3}$ Найдем длину KH: $KH = \frac{2}{3} \cdot AD = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3}$ м.

Теперь рассмотрим треугольник BCD. Так как $KL \parallel BC$, то и $HL \parallel BC$. Точка K делит сторону AB в отношении $BK:KA = 2:1$. Значит, точка H делит диагональ BD в том же отношении: $BH:HD = 2:1$. Отсюда следует, что $\frac{HD}{BD} = \frac{1}{3}$. Треугольник DHL подобен треугольнику DBC. Отношение их сторон: $\frac{HL}{BC} = \frac{HD}{BD} = \frac{1}{3}$ Найдем длину HL: $HL = \frac{1}{3} \cdot BC = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$ м.

Полная длина отрезка KL равна сумме длин его частей: $KL = KH + HL = \frac{10}{3} + \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4$ м.

Ответ: 4 м.