Страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.87. Сколько можно построить различных параллелограммов с вершинами в трех заданных точках, не лежащих на одной прямой? (Рис. 1.45.)

Рис. 1.45

Пусть даны три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. Это означает, что они образуют вершины треугольника. Параллелограмм — это четырехугольник, поэтому для его построения необходима четвертая вершина, которую мы обозначим как D.

Воспользуемся одним из ключевых свойств параллелограмма: его диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Это значит, что середина одной диагонали совпадает с серединой другой. Четыре вершины A, B, C и D могут образовать параллелограмм тремя различными способами, в зависимости от того, какая пара из заданных точек образует его диагональ.

Случай 1: AC является диагональю.

В этом случае точки A и C являются противолежащими вершинами, а B и D — другой парой противолежащих вершин. Параллелограмм будет иметь вид ADCB. Пусть положение точек задано радиус-векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$. Середина диагонали AC имеет радиус-вектор $\frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$, а середина диагонали BD — $\frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$. Приравняв их, получим положение четвертой вершины D:

$\frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2} \implies \vec{d} = \vec{a} + \vec{c} - \vec{b}$

Это положение соответствует вершине D на Рис. 1.45.

Случай 2: AB является диагональю.

В этом случае противолежащими вершинами являются A и B, а также C и D. Параллелограмм будет иметь вид ACBD. Приравняв середины диагоналей AB и CD, получим:

$\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} \implies \vec{d} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

Это положение соответствует вершине $D_2$ на Рис. 1.45.

Случай 3: BC является диагональю.

В этом случае противолежащими вершинами являются B и C, а также A и D. Параллелограмм будет иметь вид ABDC. Приравняв середины диагоналей BC и AD, получим:

$\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} \implies \vec{d} = \vec{b} + \vec{c} - \vec{a}$

Это положение соответствует вершине $D_1$ на Рис. 1.45.

Таким образом, мы нашли три уникальных положения для четвертой вершины. Каждое из них порождает свой, отличный от других, параллелограмм. Все три полученных положения для четвертой вершины различны, поскольку если бы какие-либо два из них совпали, это привело бы к совпадению двух из исходных точек A, B или C, что противоречит условию задачи (точки не лежат на одной прямой и, следовательно, различны). Значит, можно построить ровно три различных параллелограмма.

Ответ: 3

1.88. Постройте параллелограмм по стороне и двум диагоналям.

Анализ

Пусть искомый параллелограмм – это $ABCD$, где сторона $AB$ имеет заданную длину $a$, а диагонали $AC$ и $BD$ имеют заданные длины $d_1$ и $d_2$ соответственно. Важнейшим свойством параллелограмма является то, что его диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам. Это означает, что $AO = OC = \frac{d_1}{2}$ и $BO = OD = \frac{d_2}{2}$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Длины его сторон нам известны: $AB = a$ (по условию), $AO = \frac{d_1}{2}$ и $BO = \frac{d_2}{2}$ (из свойства диагоналей). Построение треугольника по трем известным сторонам является стандартной задачей.

Таким образом, основная идея построения заключается в том, чтобы сначала построить этот вспомогательный треугольник $AOB$, а затем, используя его, достроить весь параллелограмм, найдя вершины $C$ и $D$.

Ответ: Задача сводится к построению треугольника по трем сторонам: данной стороне $a$ и половинам длин диагоналей $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

Построение

Пусть даны три отрезка, задающие длины стороны $a$ и диагоналей $d_1$ и $d_2$.

1. С помощью циркуля и линейки построим отрезки, равные половинам диагоналей. Для этого для каждого из отрезков $d_1$ и $d_2$ найдем его середину, построив серединный перпендикуляр. Обозначим полученные длины как $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.
2. На произвольной прямой выберем точку $A$ и отложим от нее отрезок $AB$, равный по длине $a$.
3. Построим окружность (или ее дугу) с центром в точке $A$ и радиусом, равным $\frac{d_1}{2}$.
4. Построим окружность (или ее дугу) с центром в точке $B$ и радиусом, равным $\frac{d_2}{2}$.
5. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим как $O$. Это будет точка пересечения диагоналей параллелограмма.
6. Проведем луч $AO$ и на нем от точки $O$ отложим отрезок $OC$, равный $AO$. Точка $C$ – третья вершина параллелограмма.
7. Проведем луч $BO$ и на нем от точки $O$ отложим отрезок $OD$, равный $BO$. Точка $D$ – четвертая вершина параллелограмма.
8. Последовательно соединим отрезками точки $B$ с $C$, $C$ с $D$ и $D$ с $A$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Ответ: Алгоритм построения, состоящий из 8 шагов, описан выше.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$. По построению (шаги 6 и 7) точка $O$ является серединой отрезков $AC$ (так как $AO = OC$) и $BD$ (так как $BO = OD$).

Поскольку диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, данный четырехугольник является параллелограммом по соответствующему признаку.

Кроме того, по построению (шаг 2) сторона $AB$ имеет длину $a$. Диагональ $AC$ имеет длину $AO + OC = \frac{d_1}{2} + \frac{d_1}{2} = d_1$. Диагональ $BD$ имеет длину $BO + OD = \frac{d_2}{2} + \frac{d_2}{2} = d_2$.

Таким образом, построенный параллелограмм $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построенная фигура является параллелограммом, так как ее диагонали точкой пересечения делятся пополам, и длины ее стороны и диагоналей соответствуют заданным.

Исследование

Ключевым этапом построения является нахождение точки $O$ (шаг 5) как точки пересечения двух окружностей. Это возможно тогда и только тогда, когда можно построить треугольник $AOB$ со сторонами $a$, $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

Для существования такого треугольника необходимо и достаточно, чтобы для длин его сторон выполнялось неравенство треугольника: $a + \frac{d_1}{2} > \frac{d_2}{2}$, $a + \frac{d_2}{2} > \frac{d_1}{2}$, $\frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2} > a$.

Если эти три условия выполнены, то окружности пересекутся в двух точках (симметричных относительно прямой $AB$), что даст два равных параллелограмма, которые можно считать одним и тем же решением. Следовательно, задача имеет единственное решение.

Если одно из неравенств превращается в равенство (например, $\frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2} = a$), то точка $O$ будет лежать на отрезке $AB$, треугольник $AOB$ вырождается, и параллелограмм построить невозможно. Если одно из неравенств не выполняется, окружности не пересекутся, и задача не будет иметь решений.

Ответ: Задача имеет единственное решение при условии, что из отрезков с длинами $a$, $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$ можно составить треугольник. В противном случае задача решения не имеет.

1.89. Постройте параллелограмм по двум сторонам и углу.

Для построения параллелограмма по двум смежным сторонам и углу между ними выполним следующие шаги, которые делятся на анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Предположим, что искомый параллелограмм $ABCD$ уже построен. Пусть его смежные стороны $AB$ и $AD$ равны по длине заданным отрезкам $a$ и $b$ соответственно, а угол между ними $\angle DAB$ равен заданному углу $\alpha$. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $DC = AB = a$ и $BC = AD = b$. Это означает, что вершина $C$ находится на расстоянии $a$ от вершины $D$ и на расстоянии $b$ от вершины $B$. Таким образом, задача сводится к последовательному построению вершин $A$, $B$, $D$, а затем нахождению вершины $C$ как точки пересечения двух окружностей.

Построение

Пусть даны два отрезка длиной $a$ и $b$ и угол $\alpha$.

1. Начертим произвольную прямую $l$ и выберем на ней точку $A$, которая будет одной из вершин параллелограмма.
2. С помощью циркуля отложим на прямой $l$ от точки $A$ отрезок $AB$, длина которого равна $a$.
3. От луча $AB$ построим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого проведем луч $m$ из точки $A$ так, чтобы $\angle(l, m) = \alpha$.
4. На луче $m$ отложим от точки $A$ отрезок $AD$, длина которого равна $b$. Таким образом, мы получили три вершины $A, B, D$.
5. Для нахождения четвертой вершины $C$, выполним следующее:
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $D$ и радиусом, равным $a$.
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным $b$.
6. Точка пересечения этих двух дуг и будет четвертой вершиной $C$ искомого параллелограмма.
7. Соединим отрезками вершины $B$ с $C$ и $D$ с $C$.

Четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$. По построению:

• Сторона $AB$ равна $a$.
• Сторона $AD$ равна $b$.
• Угол $\angle DAB$ равен $\alpha$.
• Сторона $DC$ равна $a$ (поскольку точка $C$ лежит на окружности с центром в $D$ и радиусом $a$).
• Сторона $BC$ равна $b$ (поскольку точка $C$ лежит на окружности с центром в $B$ и радиусом $b$).

В четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно равны ($AB=DC=a$ и $AD=BC=b$). Согласно признаку параллелограмма, если у четырехугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Таким образом, построенная фигура $ABCD$ является параллелограммом, удовлетворяющим условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда данные длины сторон $a$ и $b$ положительны ($a>0, b>0$), а угол $\alpha$ находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$ ($0 < \alpha < 180^\circ$).

При этих условиях шаги 1-4 построения выполнимы и однозначно определяют вершины $A$, $B$, $D$. Окружности, строящиеся на шаге 5, будут иметь две точки пересечения (так как по неравенству треугольника для $\triangle ABD$ расстояние между центрами $BD$ меньше суммы радиусов $a+b$ и больше их разности $|a-b|$). Одна из этих точек пересечения позволяет построить выпуклый четырехугольник $ABCD$, который и является искомым параллелограммом. Вторая точка пересечения привела бы к построению самопересекающегося четырехугольника, который не является параллелограммом в строгом определении. Следовательно, при указанных условиях задача имеет единственное решение.

Ответ: Вышеописанный алгоритм построения с помощью циркуля и линейки позволяет однозначно построить искомый параллелограмм. Построение возможно при любых положительных длинах сторон $a$ и $b$ и угле $\alpha$ между ними, если $0^\circ < \alpha < 180^\circ$.

1.90. Постройте параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними (рис. 1.46).

$\frac{d_2}{2}$
$\varphi$
$O$
$\frac{d_1}{2}$
Рис. 1.46

Для построения параллелограмма по двум диагоналям $d_1$ и $d_2$ и углу $\varphi$ между ними, необходимо воспользоваться ключевым свойством параллелограмма: его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это свойство лежит в основе всего построения.

Анализ задачи

Пусть искомый параллелограмм — $ABCD$, а точка пересечения его диагоналей — $O$. По условию, длины диагоналей равны $AC = d_1$ и $BD = d_2$, а угол между ними, например $\angle AOB$, равен $\varphi$. По свойству диагоналей, точка $O$ делит их пополам, то есть $AO = OC = \frac{d_1}{2}$ и $BO = OD = \frac{d_2}{2}$.
Мы видим, что треугольник $AOB$ полностью определяется двумя сторонами ($AO$ и $BO$) и углом между ними ($\angle AOB$). Построение такого треугольника является стандартной задачей. После его построения, остальные вершины $C$ и $D$ находятся путем продления отрезков $AO$ и $BO$ на их же длину за точку $O$.

План построения

Алгоритм построения с использованием циркуля и линейки выглядит следующим образом:
1. Построить отрезки, равные половинам диагоналей, т.е. $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. Это делается путем построения серединного перпендикуляра к данным отрезкам $d_1$ и $d_2$.
2. Построить угол, равный данному углу $\varphi$. Обозначим его вершину точкой $O$.
3. На одной стороне угла отложить от вершины $O$ отрезок $OA$ длиной $\frac{d_1}{2}$.
4. На другой стороне угла отложить от вершины $O$ отрезок $OB$ длиной $\frac{d_2}{2}$.
5. Провести прямую через точки $A$ и $O$. На этой прямой отложить от точки $O$ в сторону, противоположную лучу $OA$, отрезок $OC$, равный $OA$.
6. Провести прямую через точки $B$ и $O$. На этой прямой отложить от точки $O$ в сторону, противоположную лучу $BO$, отрезок $OD$, равный $OB$.
7. Последовательно соединить точки $A, B, C, D$ отрезками.

Доказательство

В построенном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По построению, $AO = OC = \frac{d_1}{2}$ и $BO = OD = \frac{d_2}{2}$. Так как диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то по признаку параллелограмма, $ABCD$ — параллелограмм.
При этом длина диагонали $AC = AO + OC = \frac{d_1}{2} + \frac{d_1}{2} = d_1$.
Длина диагонали $BD = BO + OD = \frac{d_2}{2} + \frac{d_2}{2} = d_2$.
Угол между диагоналями $\angle AOB$ по построению равен заданному углу $\varphi$.
Следовательно, построенный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Ответ:
Искомый параллелограмм строится на основе треугольника, образованного половинами диагоналей и углом между ними. Алгоритм:
1. Постройте угол, равный $\varphi$, с вершиной в точке $O$.
2. На сторонах угла отложите отрезки $OA = \frac{d_1}{2}$ и $OB = \frac{d_2}{2}$.
3. На луче, дополнительном к лучу $OA$, отложите отрезок $OC=OA$.
4. На луче, дополнительном к лучу $BO$, отложите отрезок $OD=OB$.
5. Соедините последовательно точки $A$, $B$, $C$, $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.

1.91. Постройте параллелограмм:

1) по двум высотам и острому углу;

2) по двум диагоналям и высоте.

Анализ. Пусть искомый параллелограмм имеет стороны $a$ и $b$, острый угол между ними $\alpha$, и высоты $h_a$ и $h_b$, опущенные на эти стороны соответственно. Площадь параллелограмма можно выразить двумя способами: $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$. Также площадь равна $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.
Из этих соотношений следует, что $h_a = b \cdot \sin(\alpha)$ и $h_b = a \cdot \sin(\alpha)$.
Отсюда можно выразить длины сторон параллелограмма: $a = \frac{h_b}{\sin(\alpha)}$ и $b = \frac{h_a}{\sin(\alpha)}$.
Таким образом, задача сводится к построению отрезков $a$ и $b$, а затем к построению параллелограмма по двум сторонам и углу между ними. Отрезок вида $\frac{h}{\sin(\alpha)}$ можно построить как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетом $h$, противолежащим углу $\alpha$.

Построение:

1. Построение стороны $a$. Для этого построим прямоугольный треугольник с катетом $h_b$ и противолежащим ему углом $\alpha$.
   1. Проведем прямую $l$ и выберем на ней произвольную точку $M$. Восставим в точке $M$ перпендикуляр к прямой $l$.
   2. На перпендикуляре отложим отрезок $MN$, равный высоте $h_b$.
   3. Через точку $N$ проведем прямую $m$, параллельную прямой $l$.
   4. На прямой $l$ выберем произвольную точку $A$ и построим в ней угол, равный данному острому углу $\alpha$, одна из сторон которого лежит на прямой $l$.
   5. Вторая сторона угла пересечет прямую $m$ в некоторой точке $D$. Длина отрезка $AD$ будет равна $a = \frac{h_b}{\sin(\alpha)}$.
2. Построение стороны $b$. Аналогично п.1, построим отрезок $b = \frac{h_a}{\sin(\alpha)}$, используя высоту $h_a$ и угол $\alpha$.
3. Построение параллелограмма $ABCD$.
   1. На произвольной прямой отложим отрезок $AD$, равный построенной стороне $a$.
   2. В точке $A$ построим угол, равный $\alpha$.
   3. На второй стороне угла отложим отрезок $AB$, равный построенной стороне $b$.
   4. Из точки $B$ проведем окружность радиусом $a$, а из точки $D$ — окружность радиусом $b$.
   5. Точка пересечения этих окружностей $C$ будет четвертой вершиной параллелограмма.
   6. Соединим вершины. Параллелограмм $ABCD$ — искомый.

Доказательство. По построению $ABCD$ — параллелограмм, так как его противоположные стороны равны ($AB=CD=b$, $AD=BC=a$). Угол $\angle DAB$ равен $\alpha$. Высота, опущенная из $B$ на $AD$, равна $AB \cdot \sin(\alpha) = b \cdot \sin(\alpha)$. Так как мы строили $b = \frac{h_a}{\sin(\alpha)}$, то высота равна $h_a$. Аналогично, высота, опущенная из $D$ на $AB$, равна $AD \cdot \sin(\alpha) = a \cdot \sin(\alpha)$. Так как $a = \frac{h_b}{\sin(\alpha)}$, то высота равна $h_b$. Таким образом, построенный параллелограмм удовлетворяет всем условиям.

Ответ: Построение выполняется в соответствии с приведенным выше алгоритмом.

Анализ. Пусть $ABCD$ — искомый параллелограмм, $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Пусть $h$ — одна из его высот, например, опущенная из вершины $C$ на прямую, содержащую сторону $AB$. Обозначим основание высоты как $K$, тогда $CK = h$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKC$. В нем гипотенуза $AC = d_1$, а катет $CK = h$. Этот треугольник можно построить. Построив его, мы определим положение вершин $A$ и $C$, а также прямую $AK$, на которой лежит сторона $AB$.
Диагонали параллелограмма в точке пересечения $O$ делятся пополам. $O$ — середина $AC$. Вершина $B$ лежит на прямой $AK$ и удалена от точки $O$ на расстояние $BO = d_2/2$. Вершина $D$ симметрична вершине $B$ относительно точки $O$.

Построение:

1. Построение треугольника $AKC$.
   1. Проведем произвольную прямую $l$. Выберем на ней точку $K$.
   2. Восставим в точке $K$ перпендикуляр к прямой $l$ и отложим на нем отрезок $CK$, равный высоте $h$.
   3. Построим окружность с центром в $C$ и радиусом $d_1$.
   4. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ будет вершиной $A$. (Если $h > d_1$, построение невозможно. Если $h \le d_1$, то существует одна или две точки пересечения, выбор любой из них приводит к построению одного из двух симметричных решений).
2. Нахождение центра параллелограмма $O$.
   1. Построим середину отрезка $AC$. Это и будет точка $O$.
3. Нахождение вершины $B$.
   1. Построим окружность с центром в $O$ и радиусом $d_2/2$.
   2. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ (на которой лежит точка $A$) будет вершиной $B$. (Для существования решения необходимо, чтобы расстояние от $O$ до прямой $l$ было не больше $d_2/2$. Это расстояние равно $h/2$, так что условие $h \le d_2$).
4. Нахождение вершины $D$.
   1. Проведем луч $BO$.
   2. На этом луче отложим отрезок $OD$, равный $BO$, так, чтобы $O$ лежала между $B$ и $D$.
5. Соединим последовательно вершины $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ — искомый.

Доказательство. По построению диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам ($AO=OC$, $BO=OD$). Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. Длина диагонали $AC$ равна $d_1$, длина диагонали $BD=BO+OD$ равна $d_2$. Высота, опущенная из вершины $C$ на прямую $AB$ (прямую $l$), по построению равна $CK=h$. Таким образом, построенный параллелограмм удовлетворяет всем условиям.

Ответ: Построение выполняется в соответствии с приведенным выше алгоритмом.

1.92. Постройте прямоугольник:

1) по двум смежным сторонам;

2) по стороне и диагонали;

3) по диагоналям и углу между ними.

1) по двум смежным сторонам

Пусть даны два отрезка, длины которых равны $a$ и $b$ - это длины смежных сторон искомого прямоугольника.

Анализ: Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые. Противоположные стороны прямоугольника равны. Если нам даны две смежные стороны, например $AB$ и $AD$, то они должны быть перпендикулярны. Вершина $C$ будет находиться на расстоянии $b$ от вершины $B$ и на расстоянии $a$ от вершины $D$.

Построение:
1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложим на этой прямой от точки $A$ отрезок $AB$, равный стороне $a$.
3. Из точки $A$ восставим перпендикуляр к прямой $AB$.
4. На этом перпендикуляре от точки $A$ отложим отрезок $AD$, равный стороне $b$.
5. Теперь у нас есть три вершины прямоугольника: $A$, $B$, $D$. Чтобы найти четвертую вершину $C$, проведем две дуги:
- из точки $B$ проведем дугу окружности радиусом $b$ (равным длине $AD$);
- из точки $D$ проведем дугу окружности радиусом $a$ (равным длине $AB$).
6. Точка пересечения этих дуг будет четвертой вершиной $C$.
7. Соединим отрезками точки $B$ и $C$, а также $D$ и $C$.
Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником, так как по построению $AB \perp AD$, $AB = CD = a$ и $AD = BC = b$.

Ответ: Прямоугольник построен.

2) по стороне и диагонали

Пусть даны два отрезка, длины которых равны $a$ (сторона) и $d$ (диагональ). Для существования прямоугольника должно выполняться условие $d > a$.

Анализ: Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Данная сторона и данная диагональ являются катетом и гипотенузой одного из таких треугольников. Угол между смежными сторонами прямоугольника равен $90^\circ$.

Построение:
1. Построим отрезок $AB$, равный данной стороне $a$.
2. В точке $B$ восставим перпендикуляр к отрезку $AB$.
3. Из точки $A$ (как из центра) проведем дугу окружности радиусом, равным диагонали $d$.
4. Эта дуга пересечет перпендикуляр в некоторой точке. Обозначим эту точку $C$. Треугольник $ABC$ – прямоугольный, с катетом $AB=a$ и гипотенузой $AC=d$.
5. Теперь необходимо найти четвертую вершину $D$. Для этого:
- из точки $A$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине отрезка $BC$;
- из точки $C$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине отрезка $AB$ (то есть $a$).
6. Точка пересечения этих дуг будет вершиной $D$.
7. Соединим отрезками точки $A$ с $D$ и $C$ с $D$.
Четырехугольник $ABCD$ – искомый прямоугольник. По построению, $\angle B = 90^\circ$, $AC=d$, $AB=a$, а также $AD=BC$ и $CD=AB$, что делает его параллелограммом с прямым углом, то есть прямоугольником.

Ответ: Прямоугольник построен.

3) по диагоналям и углу между ними

Пусть дана длина диагонали $d$ и угол $\alpha$ между диагоналями.

Анализ: Диагонали прямоугольника равны, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что мы можем построить две равные диагонали, которые пересекаются в своих серединах под заданным углом. Концы этих диагоналей и будут вершинами искомого прямоугольника.

Построение:
1. Проведем произвольную прямую и на ней отложим отрезок $AC$, равный длине диагонали $d$.
2. Найдем середину отрезка $AC$. Обозначим ее точкой $O$. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к $AC$.
3. Через точку $O$ проведем вторую прямую так, чтобы она образовывала с отрезком $AC$ угол $\alpha$. Для этого от луча $OA$ (или $OC$) отложим угол, равный данному углу $\alpha$.
4. На этой второй прямой от точки $O$ в обе стороны отложим отрезки $OB$ и $OD$, равные половине длины диагонали, то есть $d/2$.
5. Полученные точки $A$, $B$, $C$, $D$ являются вершинами искомого прямоугольника.
6. Соединим последовательно точки $A$, $B$, $C$, $D$ отрезками.
Четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником, так как его диагонали $AC$ и $BD$ равны ($AC=d$, $BD=BO+OD=d/2+d/2=d$) и точкой пересечения делятся пополам. Четырехугольник с такими свойствами диагоналей является прямоугольником. Угол между диагоналями по построению равен $\alpha$.

Ответ: Прямоугольник построен.

1.93. Постройте ромб:

1) по двум диагоналям;

2) по стороне и углу.

1) по двум диагоналям

Пусть даны два отрезка произвольной длины, $d_1$ и $d_2$, которые будут диагоналями ромба. Построение основано на свойстве ромба: его диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Алгоритм построения:

1. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный длине первой диагонали $d_1$.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого из точек $A$ и $C$ проведем дуги окружностей с одинаковым радиусом, большим половины $AC$. Через точки пересечения дуг проведем прямую. Эта прямая будет перпендикулярна $AC$ и пройдет через его середину, точку $O$.
3. На построенной перпендикулярной прямой отложим от точки $O$ в обе стороны отрезки $OB$ и $OD$, равные половине длины второй диагонали, т.е. $OB = OD = d_2/2$.
4. Последовательно соединим отрезками точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

Доказательство: В построенном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ по построению пересекаются в точке $O$, причем $AC \perp BD$, $AO=OC=d_1/2$ и $BO=OD=d_2/2$. Четырехугольник, диагонали которого являются взаимно перпендикулярными биссектрисами друг друга, является ромбом. Длины его диагоналей равны заданным $d_1$ и $d_2$. Таким образом, четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Ответ: Построение выполнено, четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом.

2) по стороне и углу

Пусть даны отрезок $a$ (сторона ромба) и угол $\alpha$. Построение основано на определении ромба: это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Алгоритм построения:

1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AB$, равный данной стороне $a$.
2. От луча $AB$ построим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого проведем луч $AM$ так, чтобы $\angle MAB = \alpha$.
3. На луче $AM$ отложим отрезок $AD$, равный стороне $a$. Мы получили две смежные стороны ромба $AB$ и $AD$.
4. Найдем четвертую вершину ромба, точку $C$. Она удалена от точки $B$ на расстояние $a$ и от точки $D$ на расстояние $a$. Для ее нахождения:
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом $a$.
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $D$ и радиусом $a$.
   Точка пересечения этих дуг $C$ будет четвертой вершиной ромба.
5. Соединим отрезками точку $B$ с $C$ и точку $D$ с $C$.

Доказательство: В построенном четырехугольнике $ABCD$ все стороны по построению равны $a$ ($AB=AD=BC=DC=a$). Четырехугольник с равными сторонами является ромбом. Угол $\angle DAB$ по построению равен данному углу $\alpha$. Таким образом, четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Ответ: Построение выполнено, четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом.

1.94. Постройте квадрат:

1) по стороне;

2) по диагонали.

1) по стороне

Пусть дан отрезок $a$, равный стороне квадрата. Алгоритм построения с помощью циркуля и линейки:

1. На произвольной прямой отложить отрезок $AB$, равный $a$.
2. В точке $A$ построить прямую, перпендикулярную прямой, на которой лежит отрезок $AB$. Для этого:
   • Построить окружность с центром в точке $A$ произвольного радиуса, пересекающую прямую в двух точках.
   • Из этих двух точек как из центров построить две дуги одинакового радиуса (большего, чем радиус первой окружности) так, чтобы они пересеклись.
   • Провести прямую через точку $A$ и точку пересечения дуг. Эта прямая перпендикулярна $AB$.
3. На построенной перпендикулярной прямой отложить от точки $A$ отрезок $AD$, равный $a$. Для этого нужно провести окружность с центром в точке $A$ и радиусом $a$. Точка пересечения окружности и перпендикуляра будет вершиной $D$.
4. Найти четвертую вершину $C$. Она находится на расстоянии $a$ и от точки $B$, и от точки $D$. Для этого нужно построить две дуги радиусом $a$: одну с центром в точке $B$, другую — с центром в точке $D$.
5. Точку пересечения этих дуг обозначить $C$.
6. Соединить отрезками точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым квадратом, так как по построению все его стороны равны $a$ ($AB=AD=BC=CD$), а один из углов прямой ($\angle DAB = 90^\circ$).

Ответ: Построение выполнено.

2) по диагонали

Пусть дан отрезок $d$, равный диагонали квадрата. Построение основывается на свойствах диагоналей квадрата: они равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Алгоритм построения:

1. Построить отрезок $AC$, равный $d$. Это будет первая диагональ.
2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. На нем будет лежать вторая диагональ. Для этого:
   • Провести две дуги окружности с центрами в точках $A$ и $C$ и одинаковым радиусом (строго большим половины длины $AC$).
   • Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, является серединным перпендикуляром. Обозначим эту прямую $m$, а точку ее пересечения с отрезком $AC$ – $O$.
3. Найти две оставшиеся вершины $B$ и $D$. Они должны лежать на прямой $m$ на расстоянии, равном половине диагонали ($OA$ или $OC$), от центра $O$. Для этого нужно провести окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$.
4. Точки пересечения этой окружности с прямой $m$ обозначить как $B$ и $D$.
5. Последовательно соединить отрезками точки $A, B, C$ и $D$.

Четырехугольник $ABCD$ – искомый квадрат. Его диагонали $AC$ и $BD$ по построению взаимно перпендикулярны, равны ($AC=BD=2 \cdot OA$) и делятся точкой пересечения пополам, что является достаточным условием для квадрата.

Ответ: Построение выполнено.

1.95. Постройте параллелограмм:

1) по стороне, диагонали и углу между диагоналями;

2) по стороне и двум высотам.

1) по стороне, диагонали и углу между диагоналями

Пусть даны отрезок a (сторона), отрезок d (диагональ) и угол α (угол между диагоналями). Требуется построить параллелограмм.

Анализ
В параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам. Обозначим искомый параллелограмм `ABCD`. Пусть его диагональ `AC` равна `d`, а сторона `AB` равна `a`. Диагонали `AC` и `BD` пересекаются в точке `O`. Тогда `AO = OC = d/2`. Угол между диагоналями `AC` и `BD` равен `α`, например, `∠AOB = α`.
План построения заключается в следующем: сначала построить диагональ `AC`, найти ее центр `O`. Затем провести через `O` прямую, на которой лежит вторая диагональ, под заданным углом `α` к `AC`. Вершина `B` будет лежать на этой прямой, а также на окружности с центром в `A` и радиусом `a`. Найдя вершину `B`, легко найти и четвертую вершину `D`.

Построение
1. На произвольной прямой с помощью циркуля откладываем отрезок `AC`, равный данной диагонали `d`.
2. Строим середину отрезка `AC` и обозначаем ее точкой `O`. (Для этого можно построить две окружности с центрами в `A` и `C` и одинаковым радиусом, большим половины `AC`, и провести прямую через точки их пересечения. Эта прямая будет серединным перпендикуляром к `AC`).
3. От луча `OC` (или `OA`) откладываем угол, равный данному углу `α`, и проводим через точку `O` прямую `l`, на которой будет лежать вторая диагональ `BD`.
4. Строим окружность с центром в точке `A` и радиусом, равным данной стороне `a`.
5. Точка пересечения этой окружности и прямой `l` является вершиной `B` искомого параллелограмма. Если таких точек две, можно выбрать любую из них. Если точек пересечения нет, то построение невозможно.
6. На прямой `l` откладываем от точки `O` отрезок `OD`, равный отрезку `OB`, так, чтобы точка `O` лежала между точками `B` и `D`. Для этого можно построить окружность с центром в `O` и радиусом `OB` и найти ее вторую точку пересечения с прямой `l`.
7. Последовательно соединяем отрезками точки `A`, `B`, `C` и `D`.

Доказательство
В построенном четырехугольнике `ABCD` диагонали `AC` и `BD` по построению пересекаются в точке `O`, которая является серединой каждой из них. Четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. По построению, сторона `AB = a`, диагональ `AC = d`, и угол между диагоналями `AC` и `BD` равен `α`. Следовательно, параллелограмм `ABCD` — искомый.

Ответ: Параллелограмм построен в соответствии с описанным алгоритмом.

2) по стороне и двум высотам

Пусть даны отрезок a (сторона) и отрезки h_a и h_b (высоты, опущенные на сторону a и на смежную с ней сторону b соответственно).

Анализ
Пусть `ABCD` — искомый параллелограмм, где `AB = a`, а `α` — его острый угол (`∠DAB`). Высота, опущенная из вершины `B` на сторону `AD`, равна h_b. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный этой высотой. Гипотенузой этого треугольника будет сторона `AB = a`, а катетом, противолежащим углу `α`, будет высота h_b. Из этого треугольника мы можем найти синус угла `α`: $sin(α) = \frac{h_b}{a}$.
Таким образом, задача сводится к двум этапам: сначала построить угол `α` по известному значению его синуса, а затем построить параллелограмм по стороне `a`, прилежащему углу `α` и высоте `h_a`.

Построение
Этап 1: Построение угла α.
1. Проведем произвольную прямую `p` и выберем на ней любую точку `K`.
2. В точке `K` восставим перпендикуляр к прямой `p`.
3. На этом перпендикуляре отложим отрезок `KB`, равный данной высоте `h_b`.
4. Из точки `B` как из центра проведем окружность радиусом, равным данной стороне `a`.
5. Эта окружность пересечет прямую `p` в точке `A`. (Построение возможно только если $a \ge h_b$).
6. Угол `BAK` и будет искомым углом `α` параллелограмма, так как в прямоугольном треугольнике `ABK` $sin(∠BAK) = \frac{BK}{AB} = \frac{h_b}{a}$.

Этап 2: Построение параллелограмма.
1. Проведем произвольную прямую `m` и отложим на ней отрезок `AB`, равный данной стороне `a`.
2. Построим прямую `n`, параллельную прямой `m` и находящуюся на расстоянии `h_a` от нее. (Для этого можно из двух разных точек на `m` восставить перпендикуляры и отложить на них отрезки длиной `h_a`).
3. В точке `A` отложим угол, равный построенному на первом этапе углу `α`, так, чтобы одна его сторона совпадала с лучом `AB`, а вторая пересекала прямую `n`.
4. Точку пересечения второй стороны угла и прямой `n` обозначим `D`.
5. Теперь у нас есть три вершины `A`, `B`, `D`. Четвертую вершину `C` можно найти, отложив на прямой `n` от точки `D` отрезок `DC`, равный и сонаправленный отрезку `AB`.
6. Последовательно соединяем отрезками точки `A`, `B`, `C` и `D`.

Доказательство
В построенном четырехугольнике `ABCD` стороны `AB` и `DC` по построению параллельны и равны (`AB || DC`, `AB = DC = a`). Следовательно, `ABCD` — параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми `m` и `n` равно `h_a`, поэтому высота, опущенная на сторону `AB`, равна `h_a`. Угол `∠DAB` по построению равен `α`. Высота, опущенная из вершины `B` на сторону `AD`, равна $AB \cdot sin(∠DAB) = a \cdot sin(α)$. Так как мы строили угол `α` из соотношения $sin(α) = \frac{h_b}{a}$, эта высота равна $a \cdot \frac{h_b}{a} = h_b$. Таким образом, построенный параллелограмм удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Параллелограмм построен в соответствии с описанным алгоритмом.

1.96. Постройте ромб:

1) по углу и диагонали (рис. 1.47);

2) по диагонали и высоте.

Рис. 1.47

1) Построение ромба по углу и диагонали

Анализ. Пусть дан угол $ \alpha $ и диагональ $d$. Из рисунка 1.47 видно, что $ \alpha $ — это угол между диагональю и стороной ромба, а $d$ — длина этой диагонали. Пусть искомый ромб — $ABCD$, данная диагональ — $AC = d$, и данный угол — $ \angle BAC = \alpha $. В ромбе все стороны равны, поэтому треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$ и сторонами $AB=BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $ \angle BCA = \angle BAC = \alpha $. Аналогично, для треугольника $ADC$ стороны $AD=CD$, а диагональ $AC$ является биссектрисой углов $ \angle BAD $ и $ \angle BCD $, поэтому $ \angle DAC = \angle DCA = \alpha $. Таким образом, задача сводится к построению двух равнобедренных треугольников $ABC$ и $ADC$ по общему основанию $AC$ и равным углам при основании $ \alpha $.

Построение:

1. Провести прямую и отложить на ней отрезок $AC$, равный данной диагонали $d$.
2. От луча $AC$ в одну полуплоскость отложить угол $ \angle CAM $, равный данному углу $ \alpha $.
3. От луча $CA$ в ту же полуплоскость отложить угол $ \angle ACN $, равный данному углу $ \alpha $.
4. Точку пересечения лучей $AM$ и $CN$ обозначить $B$.
5. От луча $AC$ в другую полуплоскость отложить угол $ \angle CAP $, равный данному углу $ \alpha $.
6. От луча $CA$ в ту же полуплоскость (где и луч $AP$) отложить угол $ \angle ACQ $, равный данному углу $ \alpha $.
7. Точку пересечения лучей $AP$ и $CQ$ обозначить $D$.
8. Соединить точки $A, B, C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Доказательство. В треугольнике $ABC$ по построению $ \angle BAC = \angle BCA = \alpha $. Следовательно, $ \triangle ABC $ — равнобедренный, и $AB=BC$. Аналогично, в треугольнике $ADC$ по построению $ \angle DAC = \angle DCA = \alpha $. Следовательно, $ \triangle ADC $ — равнобедренный, и $AD=CD$. Так как $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $ построены на общем основании $AC$ с равными прилежащими углами, то они равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует, что $AB=AD$ и $BC=CD$. Объединяя все равенства, получаем $AB=BC=CD=DA$. Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Построенный ромб $ABCD$ имеет диагональ $AC = d$ и угол при этой диагонали $ \angle BAC = \alpha $.

Ответ: Алгоритм построения и доказательство приведены выше.

2) Построение ромба по диагонали и высоте

Анализ. Пусть дана диагональ $d$ и высота $h$. Пусть $ABCD$ — искомый ромб, $AC=d$ — данная диагональ, $h$ — высота. Высота ромба равна диаметру вписанной в него окружности. Центром вписанной окружности является точка пересечения диагоналей $O$. Следовательно, радиус вписанной окружности $r = h/2$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Таким образом, $AC \perp BD$ и $AO = OC = d/2$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ (с прямым углом при $O$). Расстояние от центра $O$ до стороны $AB$ — это радиус вписанной окружности. То есть, высота $OK$, опущенная из вершины $O$ на гипотенузу $AB$, равна $r = h/2$. В прямоугольном треугольнике $AOK$ (с прямым углом при $K$) нам известны гипотенуза $AO=d/2$ и катет $OK=h/2$. Построение этого треугольника является ключом к решению задачи. Для существования решения необходимо, чтобы $AO \ge OK$, то есть $d/2 \ge h/2$, или $d \ge h$.

Построение:

1. Построить отрезки, равные $d/2$ и $h/2$.
2. Построить прямоугольный треугольник $AOK$ по гипотенузе $AO=d/2$ и катету $OK=h/2$. Для этого:
   1. Провести прямую и отложить на ней отрезок $OK = h/2$.
   2. В точке $K$ восстановить перпендикуляр к прямой $OK$.
   3. Из точки $O$ как из центра провести дугу окружности радиусом $d/2$. Точка пересечения этой дуги с перпендикуляром будет вершиной $A$.
3. Провести прямую через точки $A$ и $K$. Эта прямая будет содержать сторону $AB$ ромба.
4. Провести прямую через точки $A$ и $O$. На ее продолжении за точку $O$ отложить отрезок $OC = AO$. Так мы найдем вершину $C$.
5. Через точку $O$ провести прямую, перпендикулярную прямой $AC$. Эта прямая будет содержать диагональ $BD$.
6. Точка пересечения прямой, содержащей сторону $AB$ (проведенной в шаге 3), и прямой, содержащей диагональ $BD$ (проведенной в шаге 5), будет вершиной $B$.
7. На прямой, содержащей диагональ $BD$, отложить за точку $O$ отрезок $OD = OB$. Так мы найдем вершину $D$.
8. Соединить последовательно точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Доказательство. В построенном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ по построению взаимно перпендикулярны и в точке пересечения $O$ делятся пополам ($AO=OC=d/2$ и $BO=OD$). Следовательно, $ABCD$ является ромбом. Длина диагонали $AC$ по построению равна $d$. Высота ромба равна диаметру вписанной окружности, т.е. $2r$. Радиус $r$ вписанной окружности равен расстоянию от центра $O$ до стороны ромба, например, до $AB$. Это расстояние есть длина перпендикуляра $OK$ из $O$ на прямую $AB$. По построению $OK=h/2$. Значит, высота ромба равна $2 \cdot OK = 2 \cdot (h/2) = h$. Таким образом, построенный ромб удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Алгоритм построения и доказательство приведены выше.

1.97. Постройте квадрат:

1) по двум данным вершинам;

2) по серединам двух противоположных сторон;

3) по серединам двух соседних сторон;

4) по центру (точка пересечения диагоналей) и двум точкам, лежащим на одной стороне.

1) по двум данным вершинам

Пусть даны две точки A и B. Возможны два случая.

Случай 1: Данные вершины A и B являются смежными.

В этом случае отрезок AB является стороной квадрата. Пусть его длина равна $a$.

1. Соединяем точки A и B отрезком. Это одна из сторон будущего квадрата.
2. В точках A и B строим лучи, перпендикулярные отрезку AB, в одну и ту же полуплоскость относительно прямой AB.
3. На построенных лучах откладываем отрезки AD и BC, равные по длине отрезку AB. Для этого можно построить окружности с центрами в A и B и радиусом $R = AB$.
4. Соединяем точки D и C. Четырехугольник ABCD – искомый квадрат.

Случай 2: Данные вершины A и B являются противоположными.

В этом случае отрезок AB является диагональю квадрата.

1. Соединяем точки A и B отрезком.
2. Находим середину O отрезка AB. Эта точка является центром квадрата.
3. Через точку O проводим прямую $m$, перпендикулярную отрезку AB. На этой прямой будет лежать вторая диагональ квадрата, CD.
4. Диагонали квадрата равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, $OC = OD = OA = OB$.
5. Строим окружность с центром в точке O и радиусом $R = OA$.
6. Точки пересечения этой окружности с прямой $m$ являются двумя другими вершинами квадрата, C и D.
7. Соединяем последовательно точки A, C, B, D. Четырехугольник ACBD – искомый квадрат.

Ответ: В зависимости от того, являются ли данные вершины смежными или противоположными, построение выполняется одним из двух описанных выше способов. В первом случае существует два решения (квадраты по разные стороны от отрезка AB), во втором случае решение единственно.

2) по серединам двух противоположных сторон

Пусть даны точки M и N – середины двух противоположных сторон квадрата.

1. Соединяем точки M и N отрезком. Длина этого отрезка $MN$ равна стороне искомого квадрата $a$.
2. Через точки M и N проводим прямые $l_1$ и $l_2$, перпендикулярные отрезку MN. На этих прямых будут лежать стороны квадрата, серединами которых являются M и N.
3. На прямой $l_1$ откладываем от точки M в обе стороны отрезки длиной $\frac{a}{2} = \frac{MN}{2}$. Получаем две вершины квадрата, A и B.
4. Аналогично, на прямой $l_2$ откладываем от точки N в обе стороны отрезки длиной $\frac{a}{2} = \frac{MN}{2}$. Получаем две другие вершины, C и D. Важно расположить их так, чтобы четырехугольник ABCD был непересекающимся (например, с помощью параллельного переноса вектора $\vec{MA}$ в точку N для получения вектора $\vec{ND}$).
5. Соединяем последовательно вершины A, B, C, D. Четырехугольник ABCD – искомый квадрат.

Ответ: Построение однозначно определяет квадрат. Сторона квадрата равна расстоянию между данными точками, а сами стороны, серединами которых являются данные точки, перпендикулярны отрезку, соединяющему эти точки.

3) по серединам двух соседних сторон

Пусть даны точки M и N – середины двух соседних сторон квадрата (например, AB и BC).

1. Строим на отрезке MN как на гипотенузе прямоугольный равнобедренный треугольник MON. Для этого находим середину K отрезка MN и проводим через нее перпендикуляр к MN. На перпендикуляре откладываем отрезок KO, равный KM. Точка O – центр искомого квадрата. (Существует два таких треугольника, по одному с каждой стороны от MN, что дает два возможных решения).
2. Проводим прямую через точки O и M. Затем через точку M проводим прямую $l_1$, перпендикулярную прямой OM. На прямой $l_1$ будет лежать сторона квадрата AB.
3. Аналогично, проводим прямую через O и N. Затем через точку N проводим прямую $l_2$, перпендикулярную прямой ON. На прямой $l_2$ будет лежать сторона квадрата BC.
4. Точка пересечения прямых $l_1$ и $l_2$ является общей вершиной этих сторон, B.
5. Для нахождения остальных вершин используем свойство симметрии. Вершина A симметрична вершине B относительно точки M (т.е. M - середина AB).
6. Вершина C симметрична вершине B относительно точки N (т.е. N - середина BC).
7. Вершина D симметрична вершине B относительно центра O.
8. Соединяем точки A, B, C, D. Четырехугольник ABCD – искомый квадрат.

Ответ: Существует два квадрата, удовлетворяющих условию, в зависимости от выбора положения центра O относительно отрезка MN. Построение основано на нахождении центра квадрата.

4) по центру (точка пересечения диагоналей) и двум точкам, лежащим на одной стороне

Пусть даны центр O и две точки P и Q, лежащие на одной из сторон квадрата.

1. Проводим прямую $l$ через данные точки P и Q. На этой прямой лежит одна из сторон квадрата.
2. Опускаем перпендикуляр из центра O на прямую $l$. Пусть M – основание этого перпендикуляра. Точка M является серединой стороны квадрата, лежащей на прямой $l$.
3. Длина отрезка OM равна половине стороны квадрата. Обозначим эту длину $d = OM$. Таким образом, сторона квадрата $a = 2d$.
4. На прямой $l$ от точки M откладываем в обе стороны отрезки длиной $d = OM$. Концы этих отрезков являются вершинами квадрата A и B.
5. Находим точку N, симметричную точке M относительно центра O. Это можно сделать, продлив отрезок MO за точку O на расстояние, равное OM. Точка N является серединой противоположной стороны CD.
6. Через точку N проводим прямую $l'$, параллельную прямой $l$. На этой прямой лежит сторона CD.
7. Из точек A и B восстанавливаем перпендикуляры к прямой $l$. Точки пересечения этих перпендикуляров с прямой $l'$ будут двумя оставшимися вершинами квадрата – D и C соответственно.
8. Соединяем точки A, B, C, D. Полученный четырехугольник – искомый квадрат.

Ответ: Построение однозначно. Оно основано на нахождении середины и длины стороны квадрата через расстояние от центра до прямой, на которой эта сторона лежит.