Номер 1.90, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.90. Постройте параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними (рис. 1.46).

$\frac{d_2}{2}$
$\varphi$
$O$
$\frac{d_1}{2}$
Рис. 1.46

Для построения параллелограмма по двум диагоналям $d_1$ и $d_2$ и углу $\varphi$ между ними, необходимо воспользоваться ключевым свойством параллелограмма: его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это свойство лежит в основе всего построения.

Анализ задачи

Пусть искомый параллелограмм — $ABCD$, а точка пересечения его диагоналей — $O$. По условию, длины диагоналей равны $AC = d_1$ и $BD = d_2$, а угол между ними, например $\angle AOB$, равен $\varphi$. По свойству диагоналей, точка $O$ делит их пополам, то есть $AO = OC = \frac{d_1}{2}$ и $BO = OD = \frac{d_2}{2}$.
Мы видим, что треугольник $AOB$ полностью определяется двумя сторонами ($AO$ и $BO$) и углом между ними ($\angle AOB$). Построение такого треугольника является стандартной задачей. После его построения, остальные вершины $C$ и $D$ находятся путем продления отрезков $AO$ и $BO$ на их же длину за точку $O$.

План построения

Алгоритм построения с использованием циркуля и линейки выглядит следующим образом:
1. Построить отрезки, равные половинам диагоналей, т.е. $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. Это делается путем построения серединного перпендикуляра к данным отрезкам $d_1$ и $d_2$.
2. Построить угол, равный данному углу $\varphi$. Обозначим его вершину точкой $O$.
3. На одной стороне угла отложить от вершины $O$ отрезок $OA$ длиной $\frac{d_1}{2}$.
4. На другой стороне угла отложить от вершины $O$ отрезок $OB$ длиной $\frac{d_2}{2}$.
5. Провести прямую через точки $A$ и $O$. На этой прямой отложить от точки $O$ в сторону, противоположную лучу $OA$, отрезок $OC$, равный $OA$.
6. Провести прямую через точки $B$ и $O$. На этой прямой отложить от точки $O$ в сторону, противоположную лучу $BO$, отрезок $OD$, равный $OB$.
7. Последовательно соединить точки $A, B, C, D$ отрезками.

Доказательство

В построенном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По построению, $AO = OC = \frac{d_1}{2}$ и $BO = OD = \frac{d_2}{2}$. Так как диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то по признаку параллелограмма, $ABCD$ — параллелограмм.
При этом длина диагонали $AC = AO + OC = \frac{d_1}{2} + \frac{d_1}{2} = d_1$.
Длина диагонали $BD = BO + OD = \frac{d_2}{2} + \frac{d_2}{2} = d_2$.
Угол между диагоналями $\angle AOB$ по построению равен заданному углу $\varphi$.
Следовательно, построенный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Ответ:
Искомый параллелограмм строится на основе треугольника, образованного половинами диагоналей и углом между ними. Алгоритм:
1. Постройте угол, равный $\varphi$, с вершиной в точке $O$.
2. На сторонах угла отложите отрезки $OA = \frac{d_1}{2}$ и $OB = \frac{d_2}{2}$.
3. На луче, дополнительном к лучу $OA$, отложите отрезок $OC=OA$.
4. На луче, дополнительном к лучу $BO$, отложите отрезок $OD=OB$.
5. Соедините последовательно точки $A$, $B$, $C$, $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.