Номер 1.95, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.4. Построение четырехугольников по их элементам. Раздел 1. Многоугольники. Четырехугольники - номер 1.95, страница 29.

Учебник rus.

1.95. Постройте параллелограмм:

1) по стороне, диагонали и углу между диагоналями;

2) по стороне и двум высотам.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

1) по стороне, диагонали и углу между диагоналями

Пусть даны отрезок a (сторона), отрезок d (диагональ) и угол α (угол между диагоналями). Требуется построить параллелограмм.

Анализ
В параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам. Обозначим искомый параллелограмм `ABCD`. Пусть его диагональ `AC` равна `d`, а сторона `AB` равна `a`. Диагонали `AC` и `BD` пересекаются в точке `O`. Тогда `AO = OC = d/2`. Угол между диагоналями `AC` и `BD` равен `α`, например, `∠AOB = α`.
План построения заключается в следующем: сначала построить диагональ `AC`, найти ее центр `O`. Затем провести через `O` прямую, на которой лежит вторая диагональ, под заданным углом `α` к `AC`. Вершина `B` будет лежать на этой прямой, а также на окружности с центром в `A` и радиусом `a`. Найдя вершину `B`, легко найти и четвертую вершину `D`.

Построение
1. На произвольной прямой с помощью циркуля откладываем отрезок `AC`, равный данной диагонали `d`.
2. Строим середину отрезка `AC` и обозначаем ее точкой `O`. (Для этого можно построить две окружности с центрами в `A` и `C` и одинаковым радиусом, большим половины `AC`, и провести прямую через точки их пересечения. Эта прямая будет серединным перпендикуляром к `AC`).
3. От луча `OC` (или `OA`) откладываем угол, равный данному углу `α`, и проводим через точку `O` прямую `l`, на которой будет лежать вторая диагональ `BD`.
4. Строим окружность с центром в точке `A` и радиусом, равным данной стороне `a`.
5. Точка пересечения этой окружности и прямой `l` является вершиной `B` искомого параллелограмма. Если таких точек две, можно выбрать любую из них. Если точек пересечения нет, то построение невозможно.
6. На прямой `l` откладываем от точки `O` отрезок `OD`, равный отрезку `OB`, так, чтобы точка `O` лежала между точками `B` и `D`. Для этого можно построить окружность с центром в `O` и радиусом `OB` и найти ее вторую точку пересечения с прямой `l`.
7. Последовательно соединяем отрезками точки `A`, `B`, `C` и `D`.

Доказательство
В построенном четырехугольнике `ABCD` диагонали `AC` и `BD` по построению пересекаются в точке `O`, которая является серединой каждой из них. Четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. По построению, сторона `AB = a`, диагональ `AC = d`, и угол между диагоналями `AC` и `BD` равен `α`. Следовательно, параллелограмм `ABCD` — искомый.

Ответ: Параллелограмм построен в соответствии с описанным алгоритмом.

2) по стороне и двум высотам

Пусть даны отрезок a (сторона) и отрезки h_a и h_b (высоты, опущенные на сторону a и на смежную с ней сторону b соответственно).

Анализ
Пусть `ABCD` — искомый параллелограмм, где `AB = a`, а `α` — его острый угол (`∠DAB`). Высота, опущенная из вершины `B` на сторону `AD`, равна h_b. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный этой высотой. Гипотенузой этого треугольника будет сторона `AB = a`, а катетом, противолежащим углу `α`, будет высота h_b. Из этого треугольника мы можем найти синус угла `α`: $sin(α) = \frac{h_b}{a}$.
Таким образом, задача сводится к двум этапам: сначала построить угол `α` по известному значению его синуса, а затем построить параллелограмм по стороне `a`, прилежащему углу `α` и высоте `h_a`.

Построение
Этап 1: Построение угла α.
1. Проведем произвольную прямую `p` и выберем на ней любую точку `K`.
2. В точке `K` восставим перпендикуляр к прямой `p`.
3. На этом перпендикуляре отложим отрезок `KB`, равный данной высоте `h_b`.
4. Из точки `B` как из центра проведем окружность радиусом, равным данной стороне `a`.
5. Эта окружность пересечет прямую `p` в точке `A`. (Построение возможно только если $a \ge h_b$).
6. Угол `BAK` и будет искомым углом `α` параллелограмма, так как в прямоугольном треугольнике `ABK` $sin(∠BAK) = \frac{BK}{AB} = \frac{h_b}{a}$.

Этап 2: Построение параллелограмма.
1. Проведем произвольную прямую `m` и отложим на ней отрезок `AB`, равный данной стороне `a`.
2. Построим прямую `n`, параллельную прямой `m` и находящуюся на расстоянии `h_a` от нее. (Для этого можно из двух разных точек на `m` восставить перпендикуляры и отложить на них отрезки длиной `h_a`).
3. В точке `A` отложим угол, равный построенному на первом этапе углу `α`, так, чтобы одна его сторона совпадала с лучом `AB`, а вторая пересекала прямую `n`.
4. Точку пересечения второй стороны угла и прямой `n` обозначим `D`.
5. Теперь у нас есть три вершины `A`, `B`, `D`. Четвертую вершину `C` можно найти, отложив на прямой `n` от точки `D` отрезок `DC`, равный и сонаправленный отрезку `AB`.
6. Последовательно соединяем отрезками точки `A`, `B`, `C` и `D`.

Доказательство
В построенном четырехугольнике `ABCD` стороны `AB` и `DC` по построению параллельны и равны (`AB || DC`, `AB = DC = a`). Следовательно, `ABCD` — параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми `m` и `n` равно `h_a`, поэтому высота, опущенная на сторону `AB`, равна `h_a`. Угол `∠DAB` по построению равен `α`. Высота, опущенная из вершины `B` на сторону `AD`, равна $AB \cdot sin(∠DAB) = a \cdot sin(α)$. Так как мы строили угол `α` из соотношения $sin(α) = \frac{h_b}{a}$, эта высота равна $a \cdot \frac{h_b}{a} = h_b$. Таким образом, построенный параллелограмм удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Параллелограмм построен в соответствии с описанным алгоритмом.