Номер 1.95, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.95. Постройте параллелограмм:

1) по стороне, диагонали и углу между диагоналями;

2) по стороне и двум высотам.

1) по стороне, диагонали и углу между диагоналями

Пусть даны отрезок a (сторона), отрезок d (диагональ) и угол α (угол между диагоналями). Требуется построить параллелограмм.

Анализ
В параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам. Обозначим искомый параллелограмм $ABCD$. Пусть его диагональ $AC$ равна $d$, а сторона $AB$ равна $a$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Тогда $AO = OC = d/2$. Угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен $α$, например, $∠AOB = α$.
План построения заключается в следующем: сначала построить диагональ $AC$, найти ее центр $O$. Затем провести через $O$ прямую, на которой лежит вторая диагональ, под заданным углом $α$ к $AC$. Вершина $B$ будет лежать на этой прямой, а также на окружности с центром в $A$ и радиусом $a$. Найдя вершину $B$, легко найти и четвертую вершину $D$.

Построение
1. На произвольной прямой с помощью циркуля откладываем отрезок $AC$, равный данной диагонали $d$.
2. Строим середину отрезка $AC$ и обозначаем ее точкой $O$. (Для этого можно построить две окружности с центрами в $A$ и $C$ и одинаковым радиусом, большим половины $AC$, и провести прямую через точки их пересечения. Эта прямая будет серединным перпендикуляром к $AC$).
3. От луча $OC$ (или $OA$) откладываем угол, равный данному углу $α$, и проводим через точку $O$ прямую $l$, на которой будет лежать вторая диагональ $BD$.
4. Строим окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным данной стороне $a$.
5. Точка пересечения этой окружности и прямой $l$ является вершиной $B$ искомого параллелограмма. Если таких точек две, можно выбрать любую из них. Если точек пересечения нет, то построение невозможно.
6. На прямой $l$ откладываем от точки $O$ отрезок $OD$, равный отрезку $OB$, так, чтобы точка $O$ лежала между точками $B$ и $D$. Для этого можно построить окружность с центром в $O$ и радиусом $OB$ и найти ее вторую точку пересечения с прямой $l$.
7. Последовательно соединяем отрезками точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

Доказательство
В построенном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ по построению пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждой из них. Четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. По построению, сторона $AB = a$, диагональ $AC = d$, и угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен $α$. Следовательно, параллелограмм $ABCD$ — искомый.

Ответ: Параллелограмм построен в соответствии с описанным алгоритмом.

2) по стороне и двум высотам

Пусть даны отрезок a (сторона) и отрезки h_a и h_b (высоты, опущенные на сторону a и на смежную с ней сторону b соответственно).

Анализ
Пусть $ABCD$ — искомый параллелограмм, где $AB = a$, а $α$ — его острый угол ($∠DAB$). Высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AD$, равна h_b. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный этой высотой. Гипотенузой этого треугольника будет сторона $AB = a$, а катетом, противолежащим углу $α$, будет высота h_b. Из этого треугольника мы можем найти синус угла $α$: $sin(α) = \frac{h_b}{a}$.
Таким образом, задача сводится к двум этапам: сначала построить угол $α$ по известному значению его синуса, а затем построить параллелограмм по стороне $a$, прилежащему углу $α$ и высоте $h_a$.

Построение
Этап 1: Построение угла α.
1. Проведем произвольную прямую $p$ и выберем на ней любую точку $K$.
2. В точке $K$ восставим перпендикуляр к прямой $p$.
3. На этом перпендикуляре отложим отрезок $KB$, равный данной высоте $h_b$.
4. Из точки $B$ как из центра проведем окружность радиусом, равным данной стороне $a$.
5. Эта окружность пересечет прямую $p$ в точке $A$. (Построение возможно только если $a \ge h_b$).
6. Угол $BAK$ и будет искомым углом $α$ параллелограмма, так как в прямоугольном треугольнике $ABK$ $sin(∠BAK) = \frac{BK}{AB} = \frac{h_b}{a}$.

Этап 2: Построение параллелограмма.
1. Проведем произвольную прямую $m$ и отложим на ней отрезок $AB$, равный данной стороне $a$.
2. Построим прямую $n$, параллельную прямой $m$ и находящуюся на расстоянии $h_a$ от нее. (Для этого можно из двух разных точек на $m$ восставить перпендикуляры и отложить на них отрезки длиной $h_a$).
3. В точке $A$ отложим угол, равный построенному на первом этапе углу $α$, так, чтобы одна его сторона совпадала с лучом $AB$, а вторая пересекала прямую $n$.
4. Точку пересечения второй стороны угла и прямой $n$ обозначим $D$.
5. Теперь у нас есть три вершины $A$, $B$, $D$. Четвертую вершину $C$ можно найти, отложив на прямой $n$ от точки $D$ отрезок $DC$, равный и сонаправленный отрезку $AB$.
6. Последовательно соединяем отрезками точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

Доказательство
В построенном четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $DC$ по построению параллельны и равны ($AB || DC$, $AB = DC = a$). Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми $m$ и $n$ равно $h_a$, поэтому высота, опущенная на сторону $AB$, равна $h_a$. Угол $∠DAB$ по построению равен $α$. Высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AD$, равна $AB \cdot sin(∠DAB) = a \cdot sin(α)$. Так как мы строили угол $α$ из соотношения $sin(α) = \frac{h_b}{a}$, эта высота равна $a \cdot \frac{h_b}{a} = h_b$. Таким образом, построенный параллелограмм удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Параллелограмм построен в соответствии с описанным алгоритмом.