Номер 1.93, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.93. Постройте ромб:

1) по двум диагоналям;

2) по стороне и углу.

1) по двум диагоналям

Пусть даны два отрезка произвольной длины, $d_1$ и $d_2$, которые будут диагоналями ромба. Построение основано на свойстве ромба: его диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Алгоритм построения:

1. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный длине первой диагонали $d_1$.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого из точек $A$ и $C$ проведем дуги окружностей с одинаковым радиусом, большим половины $AC$. Через точки пересечения дуг проведем прямую. Эта прямая будет перпендикулярна $AC$ и пройдет через его середину, точку $O$.
3. На построенной перпендикулярной прямой отложим от точки $O$ в обе стороны отрезки $OB$ и $OD$, равные половине длины второй диагонали, т.е. $OB = OD = d_2/2$.
4. Последовательно соединим отрезками точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

Доказательство: В построенном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ по построению пересекаются в точке $O$, причем $AC \perp BD$, $AO=OC=d_1/2$ и $BO=OD=d_2/2$. Четырехугольник, диагонали которого являются взаимно перпендикулярными биссектрисами друг друга, является ромбом. Длины его диагоналей равны заданным $d_1$ и $d_2$. Таким образом, четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Ответ: Построение выполнено, четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом.

2) по стороне и углу

Пусть даны отрезок $a$ (сторона ромба) и угол $\alpha$. Построение основано на определении ромба: это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Алгоритм построения:

1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AB$, равный данной стороне $a$.
2. От луча $AB$ построим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого проведем луч $AM$ так, чтобы $\angle MAB = \alpha$.
3. На луче $AM$ отложим отрезок $AD$, равный стороне $a$. Мы получили две смежные стороны ромба $AB$ и $AD$.
4. Найдем четвертую вершину ромба, точку $C$. Она удалена от точки $B$ на расстояние $a$ и от точки $D$ на расстояние $a$. Для ее нахождения:
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом $a$.
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $D$ и радиусом $a$.
   Точка пересечения этих дуг $C$ будет четвертой вершиной ромба.
5. Соединим отрезками точку $B$ с $C$ и точку $D$ с $C$.

Доказательство: В построенном четырехугольнике $ABCD$ все стороны по построению равны $a$ ($AB=AD=BC=DC=a$). Четырехугольник с равными сторонами является ромбом. Угол $\angle DAB$ по построению равен данному углу $\alpha$. Таким образом, четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Ответ: Построение выполнено, четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом.