Номер 1.99, страница 30 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.99. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

Пусть даны три отрезка, длины которых равны $a$, $b$ и $m_c$. Требуется построить треугольник $ABC$, в котором две стороны, скажем $BC$ и $AC$, равны соответственно $a$ и $b$, а медиана, проведенная из вершины $C$ к третьей стороне $AB$, равна $m_c$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. Пусть $AC = b$, $BC = a$, и $CM = m_c$ — медиана, проведенная к стороне $AB$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AB$.

Ключевым методом решения задач на построение с медианой является достроение до параллелограмма. Продолжим медиану $CM$ за точку $M$ на ее собственную длину до точки $D$, так что $MD = CM$. Тогда длина отрезка $CD$ будет равна $2 \cdot m_c$.

Рассмотрим четырехугольник $ADBC$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. По условию, $M$ — середина $AB$. По нашему построению, $M$ — середина $CD$. Поскольку диагонали четырехугольника $ADBC$ в точке пересечения делятся пополам, этот четырехугольник является параллелограммом.

Одно из свойств параллелограмма — равенство противолежащих сторон. Следовательно, $AD = BC = a$ и $BD = AC = b$.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник $ACD$. Все три его стороны можно выразить через данные нам длины: сторона $AC$ равна $b$, сторона $AD$ равна $a$, а сторона $CD$ равна удвоенной медиане $2m_c$.

Таким образом, задача построения треугольника $ABC$ сводится к более простой задаче: построению треугольника $ACD$ по трем известным сторонам ($a$, $b$, $2m_c$). После построения этого вспомогательного треугольника мы легко найдем искомую вершину $B$.

Построение

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $CM$ длиной $m_c$. На продолжении этого отрезка за точку $M$ откладываем отрезок $MD$ такой же длины. Получаем отрезок $CD$ длиной $2m_c$.

2. Строим вспомогательный треугольник $ACD$. Для этого проводим две дуги окружностей: одну с центром в точке $C$ и радиусом $b$, другую — с центром в точке $D$ и радиусом $a$. Точку их пересечения обозначаем как $A$.

3. Соединяем точку $A$ с точками $C$ и $D$, получая треугольник $ACD$.

4. Проводим прямую через точки $A$ и $M$.

5. На прямой $AM$ откладываем от точки $M$ в сторону, противоположную лучу $MA$, отрезок $MB$, равный по длине отрезку $AM$.

6. Соединяем точку $B$ с точкой $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ по построению равна $b$.

Рассмотрим четырехугольник $ADBC$. По построению, точка $M$ является серединой диагонали $CD$ (шаг 1) и серединой диагонали $AB$ (шаг 5). Следовательно, $ADBC$ — это параллелограмм.

В параллелограмме $ADBC$ противолежащие стороны равны, значит, $BC = AD$. По построению (шаг 2), $AD = a$, следовательно, $BC = a$.

Отрезок $CM$ соединяет вершину $C$ с серединой $M$ противолежащей стороны $AB$, поэтому $CM$ — медиана треугольника $ABC$. Ее длина по построению (шаг 1) равна $m_c$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет стороны $a$ и $b$ и медиану к третьей стороне, равную $m_c$. Построение верное.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда возможно выполнить шаг 2, то есть построить треугольник $ACD$ со сторонами $a$, $b$ и $2m_c$. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство треугольника для этих трех длин:

$a + b > 2m_c$
$a + 2m_c > b$
$b + 2m_c > a$

Если эти три условия выполнены, то дуги окружностей в шаге 2 пересекутся в двух точках (симметричных относительно прямой $CD$), что приведет к построению двух равных треугольников. Таким образом, задача будет иметь единственное решение с точностью до конгруэнтности. Если одно из неравенств обращается в равенство (например, $a+b=2m_c$), то точки $A, C, D$ лежат на одной прямой, треугольник $ACD$ вырождается, и построение искомого треугольника невозможно. Если одно из строгих неравенств не выполняется, то дуги не пересекаются, и решения не существует.

Ответ: Искомый треугольник строится с помощью достроения до параллелограмма. Сначала строится вспомогательный треугольник со сторонами, равными двум данным сторонам и удвоенной медиане ($a$, $b$, $2m_c$). Затем находится четвертая вершина параллелограмма, которая и является третьей вершиной искомого треугольника. Задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если данные длины удовлетворяют неравенству треугольника $a+b > 2m_c$, $|a-b| < 2m_c$.