Номер 1.103, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.103. Какой четырехугольник образуется, если последовательно соединить середины сторон:

1) параллелограмма (рис. 1.53);

2) прямоугольника;

3) ромба;

4) квадрата?

Рис. 1.53

Это утверждение известно как теорема Вариньона, которая гласит, что четырёхугольник, вершины которого являются серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) параллелограмма

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Пусть точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Необходимо определить вид четырехугольника $KLMN$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $KL$ параллелен стороне $AC$ и равен ее половине: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $CD$ и $DA$. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $ADC$. Поэтому $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Из полученных соотношений следует, что $KL \parallel MN$ и $KL = MN$. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Таким образом, $KLMN$ является параллелограммом.

Ответ: параллелограмм.

2) прямоугольника

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Прямоугольник — это частный случай параллелограмма, поэтому, согласно предыдущему пункту, четырехугольник $KLMN$, соединяющий середины его сторон, является параллелограммом.

У прямоугольника есть особое свойство: его диагонали равны, то есть $AC = BD$.

Как мы уже выяснили, $KL = \frac{1}{2}AC$. Рассмотрим теперь треугольник $BCD$. Отрезок $LM$ соединяет середины сторон $BC$ и $CD$, значит, является его средней линией. Следовательно, $LM \parallel BD$ и $LM = \frac{1}{2}BD$.

Поскольку диагонали прямоугольника равны ($AC = BD$), то и длины смежных сторон параллелограмма $KLMN$ равны: $KL = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = LM$.

Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.

Ответ: ромб.

3) ромба

Пусть дан ромб $ABCD$. Ромб также является параллелограммом, поэтому четырехугольник $KLMN$ — параллелограмм.

Важное свойство ромба заключается в том, что его диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$.

Из предыдущих рассуждений мы знаем, что стороны четырехугольника $KLMN$ параллельны диагоналям ромба $ABCD$:
$KL \parallel AC$
$LM \parallel BD$

Если две прямые перпендикулярны, то и любые прямые, параллельные им, также будут перпендикулярны. Так как $AC \perp BD$, то и $KL \perp LM$. Это означает, что угол $\angle KLM$ — прямой.

Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником.

Ответ: прямоугольник.

4) квадрата

Пусть дан квадрат $ABCD$. Квадрат обладает свойствами как прямоугольника, так и ромба.

1. Поскольку квадрат является прямоугольником, то, согласно пункту 2, четырехугольник $KLMN$, соединяющий середины его сторон, является ромбом (все его стороны равны).

2. Поскольку квадрат является ромбом, то, согласно пункту 3, четырехугольник $KLMN$ является прямоугольником (все его углы прямые).

Четырехугольник, который одновременно является и ромбом, и прямоугольником, — это квадрат.

Также можно рассуждать через свойства диагоналей квадрата: они и равны, и перпендикулярны.

• Равенство диагоналей ($AC = BD$) приводит к тому, что $KLMN$ — ромб.
• Перпендикулярность диагоналей ($AC \perp BD$) приводит к тому, что $KLMN$ — прямоугольник.

Ответ: квадрат.