Номер 1.100, страница 30 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.100. Постройте прямоугольник по диагонали и сумме двух его смежных сторон.

Анализ

Пусть искомый прямоугольник — $ABCD$ со сторонами $a$ и $b$. По условию задачи даны его диагональ $d$ (например, $AC=d$) и сумма длин двух смежных сторон $s = a+b$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, образованный двумя смежными сторонами и диагональю. Катеты этого треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $d$. Согласно теореме Пифагора, мы имеем соотношение: $a^2 + b^2 = d^2$.

Таким образом, задача сводится к построению двух отрезков $a$ и $b$ по известным значениям их суммы $s=a+b$ и суммы их квадратов $a^2+b^2=d^2$.

Для решения задачи применим метод геометрических мест. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы вершина $A$ искомого прямоугольника находилась в начале координат, а его смежные стороны $AB$ и $AD$ лежали на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно. В этой системе вершины будут иметь координаты: $A(0,0)$, $B(a,0)$, $D(0,b)$ и $C(a,b)$.

Условие, что сумма сторон равна $s$ ($a+b=s$), означает, что вершина $C(a,b)$ лежит на прямой, заданной уравнением $x+y=s$. Эта прямая пересекает оси координат в точках $K(s,0)$ и $L(0,s)$.

Условие, что диагональ $AC$ равна $d$, означает, что точка $C(a,b)$ находится на расстоянии $d$ от начала координат $A(0,0)$. Геометрическим местом точек, удаленных от $A$ на расстояние $d$, является окружность с центром в $A$ и радиусом $d$.

Следовательно, вершина $C$ искомого прямоугольника является точкой пересечения отрезка $KL$ и окружности с центром в $A$ и радиусом $d$. Найдя координаты точки $C$, мы определим длины сторон $a$ и $b$, что позволит нам построить требуемый прямоугольник.

Ответ: Вершина C(a,b) искомого прямоугольника является точкой пересечения прямой $x+y=s$ и окружности $x^2+y^2=d^2$ в первом координатном квадранте.

Построение

Пусть даны два отрезка: $d$ (диагональ) и $s$ (сумма смежных сторон).

1. Проведем две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке $A$. Назовем их $p_1$ и $p_2$.
2. На прямой $p_1$ отложим от точки $A$ отрезок $AK$, равный $s$.
3. На прямой $p_2$ отложим от точки $A$ отрезок $AL$, также равный $s$.
4. Соединим точки $K$ и $L$ отрезком.
5. С центром в точке $A$ проведем дугу окружности радиусом, равным отрезку $d$, так, чтобы она пересекала отрезок $KL$.
6. Точку пересечения дуги и отрезка $KL$ обозначим $C$.
7. Из точки $C$ опустим перпендикуляры на прямые $p_1$ и $p_2$. Основания перпендикуляров на прямых $p_1$ и $p_2$ обозначим $B$ и $D$ соответственно.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником.

Ответ: Построенный четырехугольник ABCD является искомым прямоугольником.

Доказательство

По построению, в четырехугольнике $ABCD$ углы $\angle DAB$, $\angle ABC$ и $\angle ADC$ являются прямыми. Следовательно, $ABCD$ — прямоугольник.

Обозначим длины его сторон $AB=a$ и $AD=b$. По построению, точка $C$ лежит на окружности с центром в $A$ и радиусом $d$, поэтому диагональ $AC$ построенного прямоугольника равна $d$.

В системе координат, где ось $Ox$ совпадает с прямой $p_1$, а ось $Oy$ — с прямой $p_2$, точки $K$ и $L$ имеют координаты $(s,0)$ и $(0,s)$. Прямая, проходящая через эти точки, задается уравнением $x+y=s$. Так как точка $C$ с координатами $(a,b)$ лежит на этой прямой, ее координаты удовлетворяют уравнению, то есть $a+b=s$. Это означает, что сумма смежных сторон построенного прямоугольника равна $s$.

Таким образом, построенный прямоугольник $ABCD$ имеет диагональ $d$ и сумму смежных сторон $s$, что и требовалось доказать.

Ответ: Построение корректно, так как построенный прямоугольник имеет диагональ $d$ и сумму смежных сторон $s$.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда окружность с центром в $A$ и радиусом $d$ пересекает отрезок $KL$.

Расстояние от точки $A$ (начала координат) до прямой $KL$ (заданной уравнением $x+y-s=0$) равно $h = \frac{|s|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{s}{\sqrt{2}}$. Это минимальное расстояние от центра окружности до точек отрезка $KL$. Максимальное расстояние от $A$ до точек отрезка $KL$ равно расстоянию до его концов $K$ или $L$, то есть $s$.

Для существования точки пересечения $C$ необходимо и достаточно, чтобы радиус $d$ находился в пределах между минимальным и максимальным расстоянием: $\frac{s}{\sqrt{2}} \le d \le s$.

Рассмотрим возможные случаи:

• Если $d < \frac{s}{\sqrt{2}}$, окружность не пересекает прямую $KL$, и решений нет.
• Если $d = \frac{s}{\sqrt{2}}$, окружность касается отрезка $KL$ в одной точке. В этом случае $a=b=\frac{s}{2}$, и искомый прямоугольник является квадратом. Решение единственно.
• Если $\frac{s}{\sqrt{2}} < d < s$, окружность пересекает отрезок $KL$ в двух различных точках. Эти точки симметричны относительно биссектрисы угла $\angle KAL$. Выбор любой из них приводит к построению одного и того же прямоугольника (с точностью до перестановки сторон $a$ и $b$). Следовательно, решение единственно с точностью до конгруэнтности.
• Если $d = s$, точка пересечения $C$ совпадает с одним из концов отрезка, $K$ или $L$. Прямоугольник вырождается в отрезок длиной $s$ (одна сторона равна $s$, другая — $0$).
• Если $d > s$, решений нет, так как по неравенству треугольника для $\triangle ABC$ должно выполняться $d < a+b = s$.

Таким образом, задача имеет невырожденное решение при $\frac{s}{\sqrt{2}} \le d < s$.

Ответ: Задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) невырожденное решение при выполнении условия $\frac{s}{\sqrt{2}} \le d < s$.