Страница 30 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.98. Через внутреннюю точку $D$ угла $ABC$ проведите прямую так, чтобы отрезок этой прямой, отсекаемый сторонами угла, в точке $D$ делился пополам.

Для решения этой задачи на построение, разобьем его на три этапа: анализ, построение и доказательство.

Анализ

Предположим, что искомая прямая построена. Пусть она проходит через точку $D$ и пересекает стороны угла, лучи $BA$ и $BC$, в точках $M$ и $N$ соответственно. По условию задачи, точка $D$ является серединой отрезка $MN$, то есть $MD = DN$.

Проведем через точку $D$ вспомогательную прямую, параллельную стороне $BC$. Пусть эта прямая пересекает сторону $BA$ в точке $F$.

Рассмотрим треугольник $MBN$. В этом треугольнике отрезок $FD$ соединяет точку $F$ на стороне $MB$ и точку $D$ на стороне $MN$. По нашему построению, прямая $FD$ параллельна стороне $BN$ треугольника. Поскольку $D$ является серединой стороны $MN$, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника), прямая $FD$ должна пересекать сторону $MB$ в ее середине. Следовательно, точка $F$ является серединой отрезка $MB$.

Это означает, что длина отрезка $BM$ в два раза больше длины отрезка $BF$, то есть $BM = 2 \cdot BF$.

Данный вывод позволяет нам разработать алгоритм построения. Мы можем сначала найти точку $F$, затем, используя ее, найти точку $M$, и, наконец, провести искомую прямую через точки $M$ и $D$.

Построение

На основе проведенного анализа, выполним следующие шаги построения с помощью циркуля и линейки:

1. Через данную точку $D$ проведем прямую, параллельную лучу $BC$. Отметим точку $F$ на пересечении этой прямой с лучом $BA$.
2. С помощью циркуля измерим длину отрезка $BF$.
3. На луче $BA$ отложим от точки $F$ отрезок $FM$, равный по длине отрезку $BF$, так, чтобы точка $F$ оказалась между точками $B$ и $M$. В результате точка $M$ будет такой, что $F$ — середина отрезка $BM$.
4. Проведем прямую через точку $M$ и данную точку $D$.

Полученная прямая $MD$ является искомой.

Доказательство

Пусть построенная по вышеописанному алгоритму прямая $MD$ пересекает сторону $BC$ в точке $N$. Необходимо доказать, что точка $D$ является серединой отрезка $MN$.

Рассмотрим треугольник $MBN$.

По построению (шаг 3), точка $F$ является серединой стороны $MB$.

По построению (шаг 1), прямая, содержащая отрезок $FD$, параллельна прямой $BC$, а значит, и стороне $BN$ треугольника $MBN$.

Согласно теореме о средней линии треугольника, если прямая проходит через середину одной стороны треугольника параллельно второй стороне, то она пересекает третью сторону в ее середине.

Следовательно, прямая $FD$ пересекает сторону $MN$ в ее середине. Поскольку точка $D$ принадлежит как прямой $FD$, так и прямой $MN$, она и является точкой их пересечения.

Таким образом, $D$ — середина отрезка $MN$, что и требовалось доказать.

Ответ: Для построения искомой прямой необходимо выполнить следующие действия: 1. Через точку $D$ провести прямую, параллельную одной из сторон угла (например, $BC$), до пересечения с другой стороной ($BA$) в точке, которую назовем $F$. 2. На стороне $BA$ найти такую точку $M$, чтобы точка $F$ являлась серединой отрезка $BM$ (то есть отложить отрезок $FM$, равный $BF$, в направлении от точки $B$). 3. Провести прямую через полученную точку $M$ и данную точку $D$. Эта прямая и будет искомой.

1.99. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

Пусть даны три отрезка, длины которых равны $a$, $b$ и $m_c$. Требуется построить треугольник $ABC$, в котором две стороны, скажем $BC$ и $AC$, равны соответственно $a$ и $b$, а медиана, проведенная из вершины $C$ к третьей стороне $AB$, равна $m_c$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. Пусть $AC = b$, $BC = a$, и $CM = m_c$ — медиана, проведенная к стороне $AB$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AB$.

Ключевым методом решения задач на построение с медианой является достроение до параллелограмма. Продолжим медиану $CM$ за точку $M$ на ее собственную длину до точки $D$, так что $MD = CM$. Тогда длина отрезка $CD$ будет равна $2 \cdot m_c$.

Рассмотрим четырехугольник $ADBC$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. По условию, $M$ — середина $AB$. По нашему построению, $M$ — середина $CD$. Поскольку диагонали четырехугольника $ADBC$ в точке пересечения делятся пополам, этот четырехугольник является параллелограммом.

Одно из свойств параллелограмма — равенство противолежащих сторон. Следовательно, $AD = BC = a$ и $BD = AC = b$.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник $ACD$. Все три его стороны можно выразить через данные нам длины: сторона $AC$ равна $b$, сторона $AD$ равна $a$, а сторона $CD$ равна удвоенной медиане $2m_c$.

Таким образом, задача построения треугольника $ABC$ сводится к более простой задаче: построению треугольника $ACD$ по трем известным сторонам ($a$, $b$, $2m_c$). После построения этого вспомогательного треугольника мы легко найдем искомую вершину $B$.

Построение

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $CM$ длиной $m_c$. На продолжении этого отрезка за точку $M$ откладываем отрезок $MD$ такой же длины. Получаем отрезок $CD$ длиной $2m_c$.

2. Строим вспомогательный треугольник $ACD$. Для этого проводим две дуги окружностей: одну с центром в точке $C$ и радиусом $b$, другую — с центром в точке $D$ и радиусом $a$. Точку их пересечения обозначаем как $A$.

3. Соединяем точку $A$ с точками $C$ и $D$, получая треугольник $ACD$.

4. Проводим прямую через точки $A$ и $M$.

5. На прямой $AM$ откладываем от точки $M$ в сторону, противоположную лучу $MA$, отрезок $MB$, равный по длине отрезку $AM$.

6. Соединяем точку $B$ с точкой $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ по построению равна $b$.

Рассмотрим четырехугольник $ADBC$. По построению, точка $M$ является серединой диагонали $CD$ (шаг 1) и серединой диагонали $AB$ (шаг 5). Следовательно, $ADBC$ — это параллелограмм.

В параллелограмме $ADBC$ противолежащие стороны равны, значит, $BC = AD$. По построению (шаг 2), $AD = a$, следовательно, $BC = a$.

Отрезок $CM$ соединяет вершину $C$ с серединой $M$ противолежащей стороны $AB$, поэтому $CM$ — медиана треугольника $ABC$. Ее длина по построению (шаг 1) равна $m_c$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет стороны $a$ и $b$ и медиану к третьей стороне, равную $m_c$. Построение верное.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда возможно выполнить шаг 2, то есть построить треугольник $ACD$ со сторонами $a$, $b$ и $2m_c$. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство треугольника для этих трех длин:

$a + b > 2m_c$
$a + 2m_c > b$
$b + 2m_c > a$

Если эти три условия выполнены, то дуги окружностей в шаге 2 пересекутся в двух точках (симметричных относительно прямой $CD$), что приведет к построению двух равных треугольников. Таким образом, задача будет иметь единственное решение с точностью до конгруэнтности. Если одно из неравенств обращается в равенство (например, $a+b=2m_c$), то точки $A, C, D$ лежат на одной прямой, треугольник $ACD$ вырождается, и построение искомого треугольника невозможно. Если одно из строгих неравенств не выполняется, то дуги не пересекаются, и решения не существует.

Ответ: Искомый треугольник строится с помощью достроения до параллелограмма. Сначала строится вспомогательный треугольник со сторонами, равными двум данным сторонам и удвоенной медиане ($a$, $b$, $2m_c$). Затем находится четвертая вершина параллелограмма, которая и является третьей вершиной искомого треугольника. Задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если данные длины удовлетворяют неравенству треугольника $a+b > 2m_c$, $|a-b| < 2m_c$.

1.100. Постройте прямоугольник по диагонали и сумме двух его смежных сторон.

Анализ

Пусть искомый прямоугольник — $ABCD$ со сторонами $a$ и $b$. По условию задачи даны его диагональ $d$ (например, $AC=d$) и сумма длин двух смежных сторон $s = a+b$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, образованный двумя смежными сторонами и диагональю. Катеты этого треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $d$. Согласно теореме Пифагора, мы имеем соотношение: $a^2 + b^2 = d^2$.

Таким образом, задача сводится к построению двух отрезков $a$ и $b$ по известным значениям их суммы $s=a+b$ и суммы их квадратов $a^2+b^2=d^2$.

Для решения задачи применим метод геометрических мест. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы вершина $A$ искомого прямоугольника находилась в начале координат, а его смежные стороны $AB$ и $AD$ лежали на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно. В этой системе вершины будут иметь координаты: $A(0,0)$, $B(a,0)$, $D(0,b)$ и $C(a,b)$.

Условие, что сумма сторон равна $s$ ($a+b=s$), означает, что вершина $C(a,b)$ лежит на прямой, заданной уравнением $x+y=s$. Эта прямая пересекает оси координат в точках $K(s,0)$ и $L(0,s)$.

Условие, что диагональ $AC$ равна $d$, означает, что точка $C(a,b)$ находится на расстоянии $d$ от начала координат $A(0,0)$. Геометрическим местом точек, удаленных от $A$ на расстояние $d$, является окружность с центром в $A$ и радиусом $d$.

Следовательно, вершина $C$ искомого прямоугольника является точкой пересечения отрезка $KL$ и окружности с центром в $A$ и радиусом $d$. Найдя координаты точки $C$, мы определим длины сторон $a$ и $b$, что позволит нам построить требуемый прямоугольник.

Ответ: Вершина C(a,b) искомого прямоугольника является точкой пересечения прямой $x+y=s$ и окружности $x^2+y^2=d^2$ в первом координатном квадранте.

Построение

Пусть даны два отрезка: $d$ (диагональ) и $s$ (сумма смежных сторон).

1. Проведем две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке $A$. Назовем их $p_1$ и $p_2$.
2. На прямой $p_1$ отложим от точки $A$ отрезок $AK$, равный $s$.
3. На прямой $p_2$ отложим от точки $A$ отрезок $AL$, также равный $s$.
4. Соединим точки $K$ и $L$ отрезком.
5. С центром в точке $A$ проведем дугу окружности радиусом, равным отрезку $d$, так, чтобы она пересекала отрезок $KL$.
6. Точку пересечения дуги и отрезка $KL$ обозначим $C$.
7. Из точки $C$ опустим перпендикуляры на прямые $p_1$ и $p_2$. Основания перпендикуляров на прямых $p_1$ и $p_2$ обозначим $B$ и $D$ соответственно.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником.

Ответ: Построенный четырехугольник ABCD является искомым прямоугольником.

Доказательство

По построению, в четырехугольнике $ABCD$ углы $\angle DAB$, $\angle ABC$ и $\angle ADC$ являются прямыми. Следовательно, $ABCD$ — прямоугольник.

Обозначим длины его сторон $AB=a$ и $AD=b$. По построению, точка $C$ лежит на окружности с центром в $A$ и радиусом $d$, поэтому диагональ $AC$ построенного прямоугольника равна $d$.

В системе координат, где ось $Ox$ совпадает с прямой $p_1$, а ось $Oy$ — с прямой $p_2$, точки $K$ и $L$ имеют координаты $(s,0)$ и $(0,s)$. Прямая, проходящая через эти точки, задается уравнением $x+y=s$. Так как точка $C$ с координатами $(a,b)$ лежит на этой прямой, ее координаты удовлетворяют уравнению, то есть $a+b=s$. Это означает, что сумма смежных сторон построенного прямоугольника равна $s$.

Таким образом, построенный прямоугольник $ABCD$ имеет диагональ $d$ и сумму смежных сторон $s$, что и требовалось доказать.

Ответ: Построение корректно, так как построенный прямоугольник имеет диагональ $d$ и сумму смежных сторон $s$.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда окружность с центром в $A$ и радиусом $d$ пересекает отрезок $KL$.

Расстояние от точки $A$ (начала координат) до прямой $KL$ (заданной уравнением $x+y-s=0$) равно $h = \frac{|s|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{s}{\sqrt{2}}$. Это минимальное расстояние от центра окружности до точек отрезка $KL$. Максимальное расстояние от $A$ до точек отрезка $KL$ равно расстоянию до его концов $K$ или $L$, то есть $s$.

Для существования точки пересечения $C$ необходимо и достаточно, чтобы радиус $d$ находился в пределах между минимальным и максимальным расстоянием: $\frac{s}{\sqrt{2}} \le d \le s$.

Рассмотрим возможные случаи:

• Если $d < \frac{s}{\sqrt{2}}$, окружность не пересекает прямую $KL$, и решений нет.
• Если $d = \frac{s}{\sqrt{2}}$, окружность касается отрезка $KL$ в одной точке. В этом случае $a=b=\frac{s}{2}$, и искомый прямоугольник является квадратом. Решение единственно.
• Если $\frac{s}{\sqrt{2}} < d < s$, окружность пересекает отрезок $KL$ в двух различных точках. Эти точки симметричны относительно биссектрисы угла $\angle KAL$. Выбор любой из них приводит к построению одного и того же прямоугольника (с точностью до перестановки сторон $a$ и $b$). Следовательно, решение единственно с точностью до конгруэнтности.
• Если $d = s$, точка пересечения $C$ совпадает с одним из концов отрезка, $K$ или $L$. Прямоугольник вырождается в отрезок длиной $s$ (одна сторона равна $s$, другая — $0$).
• Если $d > s$, решений нет, так как по неравенству треугольника для $\triangle ABC$ должно выполняться $d < a+b = s$.

Таким образом, задача имеет невырожденное решение при $\frac{s}{\sqrt{2}} \le d < s$.

Ответ: Задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) невырожденное решение при выполнении условия $\frac{s}{\sqrt{2}} \le d < s$.

1.101. Даны две параллельные прямые и две точки, расположенные между ними. Постройте ромб так, чтобы две его стороны лежали на двух данных прямых, а другие две стороны проходили через две данные точки.

Задача состоит в построении ромба по двум параллельным прямым, на которых лежат две его стороны, и двум точкам, через которые проходят две другие стороны.

Пусть даны параллельные прямые $l_1$ и $l_2$ и точки $M$ и $N$ между ними. Требуется построить ромб $ABCD$ так, чтобы вершины $A, B$ лежали на $l_1$, вершины $C, D$ — на $l_2$, а стороны $AD$ и $BC$ проходили через точки $M$ и $N$ соответственно (или наоборот).

Решение задачи основано на методе геометрических преобразований, в частности, на использовании центральной симметрии.

Анализ

1. Пусть искомый ромб $ABCD$ построен. Стороны $AB$ и $CD$ лежат на прямых $l_1$ и $l_2$. Сторона $AD$ проходит через точку $M$, а сторона $BC$ — через точку $N$.

2. Ромб является центрально-симметричной фигурой. Центр симметрии ромба, обозначим его $O$, является точкой пересечения его диагоналей. Так как стороны $AB$ и $CD$ лежат на параллельных прямых $l_1$ и $l_2$, центр $O$ должен быть равноудален от этих прямых, а значит, он лежит на средней линии $l_m$ этих прямых.

3. При центральной симметрии с центром $O$ вершина $A$ переходит в $C$, $B$ в $D$, а прямая $l_1$ переходит в $l_2$. Сторона $AD$ переходит в сторону $CB$. Поскольку точка $M$ лежит на стороне $AD$, ее образ $M'$ при этой симметрии должен лежать на образе стороны $AD$, то есть на стороне $CB$.

4. Таким образом, на стороне $CB$ лежат две точки: данная точка $N$ и построенная точка $M'$. В общем случае эти точки не совпадают.

5. Рассмотрим другой случай: пусть сторона $AD$ проходит через $M$, а сторона $BC$ — через $N$. При симметрии относительно центра ромба $O$, точка $N \in BC$ перейдет в точку $N' \in AD$. Таким образом, на прямой, содержащей сторону $AD$, лежат две известные точки: $M$ и $N'$. Значит, прямую $AD$ можно построить как прямую, проходящую через $M$ и $N'$.

6. Ключевое свойство ромба: его диагонали являются биссектрисами его углов. Рассмотрим диагональ $AC$. Она проходит через центр $O$ и является биссектрисой угла $\angle DAB$.

7. Свойство биссектрисы угла состоит в том, что любая ее точка равноудалена от сторон угла. Так как $O$ лежит на биссектрисе $AC$, то расстояние от $O$ до прямой $AD$ равно расстоянию от $O$ до прямой $AB$.

8. Расстояние от точки $O$ (лежащей на средней линии $l_m$) до прямой $AB$ (которая совпадает с $l_1$) равно половине расстояния между $l_1$ и $l_2$. Обозначим расстояние между $l_1$ и $l_2$ как $h$. Тогда $d(O, AB) = h/2$.

9. Таким образом, мы приходим к основному условию для построения: центр ромба $O$ должен лежать на средней линии $l_m$, и при этом расстояние от $O$ до прямой $AD$ (то есть до прямой $MN'$) должно быть равно $h/2$.

10. Точка $N'$ является образом точки $N$ при симметрии относительно $O$. Если точка $O$ движется по средней линии $l_m$, то ее образ $N'$ будет двигаться по прямой $l_N'$, которая симметрична прямой, проходящей через $N$ параллельно $l_1$ и $l_2$, относительно средней линии $l_m$.

11. Расстояние от точки $O$ до прямой $MN'$ связано с высотой треугольника $\triangle MNN'$, опущенной из вершины $N$. Так как $O$ является серединой отрезка $NN'$, то расстояние от $O$ до прямой $MN'$ равно половине высоты треугольника $\triangle MNN'$, опущенной из $N$ на сторону $MN'$. Обозначим эту высоту $h_N$. Итак, $d(O, MN') = h_N / 2$.

12. Совмещая условия из п.9 и п.11, получаем: $h_N / 2 = h / 2$, откуда $h_N = h$. Это означает, что расстояние от точки $N$ до прямой $MN'$ должно быть равно расстоянию $h$ между данными прямыми.

13. Геометрическая задача свелась к следующей: даны точки $M, N$ и прямая $l_N'$. Найти на прямой $l_N'$ такую точку $N'$, чтобы расстояние от точки $N$ до прямой, проходящей через $M$ и $N'$, было равно $h$.

14. Расстояние от $N$ до прямой $MN'$ выражается через синус угла $\angle M N' N$ или $\angle N M N'$. Проще использовать угол при вершине $M$: $d(N, MN') = |MN| \cdot |\sin(\angle(MN, MN'))|$. Отсюда $|\sin(\angle(MN, MN'))| = h / |MN|$. Это соотношение позволяет найти искомый угол $\alpha = \angle(MN, MN')$, а значит, и направление прямой $MN'$.

Построение

Предположим, что сторона $AD$ проходит через $M$, а $BC$ через $N$.

1. Построим среднюю линию $l_m$ прямых $l_1$ и $l_2$. Для этого можно провести любой перпендикуляр к $l_1$ и $l_2$, найти его точки пересечения с прямыми и построить середину полученного отрезка. Через эту середину провести прямую, параллельную $l_1$.
2. Измерим расстояние $h$ между прямыми $l_1$ и $l_2$.
3. Построим прямую $l_N'$, симметричную прямой, проходящей через $N$ и параллельной $l_1$, относительно средней линии $l_m$.
4. Построим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной длине отрезка $MN$, и катетом, равным $h$. Это возможно, если $h \le |MN|$. Угол $\alpha$, лежащий напротив катета $h$, будет искомым углом.
5. Через точку $M$ проведем две прямые $k_1$ и $k_2$, которые образуют с прямой $MN$ угол, равный $\alpha$ (по одну и по другую сторону от $MN$).
6. Найдем точки пересечения $N'_1 = k_1 \cap l_N'$ и $N'_2 = k_2 \cap l_N'$. Каждая из этих точек (если они существуют) определяет одно решение.
7. Рассмотрим одно из решений, например, для точки $N'_1$:
   1. Проведем прямую через точки $M$ и $N'_1$. Это будет прямая, содержащая сторону $AD$. Найдем точки $A = (MN'_1) \cap l_1$ и $D = (MN'_1) \cap l_2$.
   2. Найдем центр ромба $O$ как середину отрезка $NN'_1$.
   3. Построим остальные вершины: $B$ как точку, симметричную $D$ относительно $O$, и $C$ как точку, симметричную $A$ относительно $O$.
8. Четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом.

Аналогичное построение выполняется для случая, когда сторона $AD$ проходит через $N$, а $BC$ через $M$ (для этого достаточно поменять местами $M$ и $N$ в шагах 3-7).

Ответ: Алгоритм построения описан выше. В зависимости от взаимного расположения точек и прямых, задача может иметь от 0 до 4 решений.

1.102. Постройте квадрат, если заданы 4 точки, взятые по одной с каждой стороны этого квадрата.

Это классическая задача на построение, которая решается с помощью геометрических преобразований, в частности, поворота. Решение состоит из анализа, самого построения, доказательства корректности и исследования количества возможных решений.

Анализ

Пусть нам даны четыре точки P, Q, R, S, и искомый квадрат — ABCD. По условию, каждая точка лежит на одной из сторон квадрата. Распределение точек по сторонам заранее неизвестно. Возможны три варианта разбиения четырех точек на две пары, которые будут лежать на противолежащих сторонах квадрата:

1. P и R на противолежащих сторонах, Q и S — на другой паре противолежащих сторон.
2. P и Q на противолежащих сторонах, R и S — на другой паре.
3. P и S на противолежащих сторонах, Q и R — на другой паре.

Решение нужно искать для каждого из этих случаев. Рассмотрим первый случай: P лежит на стороне AB, Q — на BC, R — на CD, и S — на DA.

Ключевая идея состоит в том, чтобы найти одну из прямых, содержащих сторону квадрата. Зная одну такую прямую, можно легко построить и остальные три, так как они либо параллельны, либо перпендикулярны ей и проходят через заданные точки.

Рассмотрим вектор $\vec{PR}$ и вектор $\vec{SQ'}$, где точка $Q'$ получена поворотом вектора $\vec{PR}$ на $90^\circ$ и отложена от точки S. Мы докажем, что прямая, проходящая через точки Q и Q', будет содержать одну из сторон квадрата.

Построение

Выполним построение для одного из вариантов расположения точек (P и R на противолежащих сторонах, Q и S на другой паре). Если в результате построения точки не окажутся на сторонах квадрата (а не на их продолжениях), следует повторить построение для другого варианта разбиения на пары.

1. Соединим точки P и R отрезком.
2. Через точку S проведём прямую $k$, перпендикулярную прямой PR.
3. На прямой $k$ отложим от точки S отрезок $SQ'$ длиной, равной длине отрезка PR. Таких точек может быть две, по обе стороны от S. Выберем одну из них и назовем ее $Q'$.
4. Проведём прямую $m$ через точки Q и $Q'$. Эта прямая будет содержать одну из сторон искомого квадрата (например, BC).
5. Через точку S проведём прямую, параллельную прямой $m$. Это будет прямая, содержащая противоположную сторону DA.
6. Через точку P проведём прямую, перпендикулярную прямой $m$. Это будет прямая, содержащая сторону AB.
7. Через точку R проведём прямую, перпендикулярную прямой $m$. Это будет прямая, содержащая сторону CD.
8. Пересечения этих четырёх прямых образуют вершины искомого квадрата.

Доказательство

Докажем, что построенный четырёхугольник является квадратом. По построению, его противолежащие стороны параллельны, а смежные — перпендикулярны. Следовательно, это прямоугольник. Обозначим его вершины A, B, C, D, где сторона BC лежит на прямой $m$. Нам нужно доказать, что его смежные стороны равны, то есть $AB = BC$.

Введём новую систему координат ($x', y'$), в которой ось $Ox'$ совпадает с прямой $m$ (прямой $QQ'$), а ось $Oy'$ ей перпендикулярна. Пусть $\vec{u}$ — единичный вектор вдоль оси $Ox'$, а $\vec{v}$ — единичный вектор вдоль оси $Oy'$.

Длина стороны BC нашего прямоугольника равна расстоянию между прямыми, проходящими через P и R перпендикулярно $m$. Это расстояние равно проекции вектора $\vec{PR}$ на направление прямой $m$ (на вектор $\vec{u}$):

$BC = |\vec{PR} \cdot \vec{u}|$

Длина стороны AB равна расстоянию между параллельными прямыми $m$ (проходящей через Q) и прямой, проходящей через S. Это расстояние равно проекции вектора $\vec{QS}$ на направление, перпендикулярное $m$ (на вектор $\vec{v}$):

$AB = |\vec{QS} \cdot \vec{v}|$

Нам нужно доказать, что $|\vec{PR} \cdot \vec{u}| = |\vec{QS} \cdot \vec{v}|$.

По построению, вектор $\vec{SQ'}$ получен поворотом вектора $\vec{RP}$ на $90^\circ$ (или $-90^\circ$). Это означает, что $\vec{SQ'}$ перпендикулярен $\vec{PR}$ и $|\vec{SQ'}| = |\vec{PR}|$.

Вектор $\vec{QQ'}$ лежит на прямой $m$, то есть он коллинеарен вектору $\vec{u}$. Следовательно, его проекция на перпендикулярное направление $\vec{v}$ равна нулю:

$\vec{QQ'} \cdot \vec{v} = 0$

Представим вектор $\vec{QQ'}$ как сумму векторов: $\vec{QQ'} = \vec{QS} + \vec{SQ'}$. Тогда:

$(\vec{QS} + \vec{SQ'}) \cdot \vec{v} = 0$

$\vec{QS} \cdot \vec{v} + \vec{SQ'} \cdot \vec{v} = 0 \implies \vec{QS} \cdot \vec{v} = -(\vec{SQ'} \cdot \vec{v})$

Отсюда следует, что $|\vec{QS} \cdot \vec{v}| = |\vec{SQ'} \cdot \vec{v}|$.

Теперь воспользуемся свойством поворота. Поворот на $90^\circ$ меняет местами проекции вектора на ортогональные оси (с возможным изменением знака). То есть, проекция повёрнутого вектора $\vec{SQ'}$ на ось $Oy'$ (на вектор $\vec{v}$) равна по модулю проекции исходного вектора $\vec{PR}$ на ось $Ox'$ (на вектор $\vec{u}$).

$|\vec{SQ'} \cdot \vec{v}| = |\vec{PR} \cdot \vec{u}|$

Объединяя полученные равенства, имеем:

$AB = |\vec{QS} \cdot \vec{v}| = |\vec{SQ'} \cdot \vec{v}| = |\vec{PR} \cdot \vec{u}| = BC$

Таким образом, $AB = BC$. Поскольку построенный четырёхугольник является прямоугольником с равными смежными сторонами, он является квадратом. Доказательство завершено.

Исследование

1. Количество решений. Как было упомянуто в анализе, существует три способа разбить четыре точки на две пары, лежащие на противоположных сторонах. Для каждого способа построение даёт две точки $Q'$ (по обе стороны от S). Следовательно, чисто геометрически может существовать до $3 \times 2 = 6$ решений.

2. Проверка решения. Каждое построенное решение необходимо проверить. Условие задачи требует, чтобы заданные точки P, Q, R, S лежали на сторонах квадрата, а не на их продолжениях. Если в результате построения какая-либо из точек оказывается вне отрезка, являющегося стороной квадрата, то такое решение не подходит.

В общем случае задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от взаимного расположения точек P, Q, R, S.

Ответ: Задача решается методом построения вспомогательной точки. Выбирается пара точек (например, P и R), которые предполагаются лежащими на противоположных сторонах. Через третью точку (S) проводится прямая, перпендикулярная отрезку PR, и на ней откладывается отрезок $SQ'$, равный PR. Прямая, проходящая через четвертую точку (Q) и построенную точку $Q'$, является одной из сторон искомого квадрата. Остальные стороны строятся параллельно и перпендикулярно найденной. Необходимо проверить все три варианта разбиения точек на пары и проверить, лежат ли точки на сторонах, а не на их продолжениях.