Страница 28 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Из скольких этапов состоит решение задачи на построение? Назовите эти этапы, раскройте их смысл и значение.

2. Если заданы все стороны, то можно ли построить: 1) параллелограмм; 2) прямоугольник; 3) ромб; 4) квадрат? Определяются ли они своими сторонами? Постройте те фигуры, которые по условию задания можно построить.

1. Решение задачи на построение в геометрии традиционно состоит из четырех этапов. Каждый этап имеет свой смысл и значение для полного и строгого решения.

• Анализ:

  Смысл этого этапа заключается в поиске пути решения. Мысленно предполагается, что искомая фигура уже построена. Затем анализируются ее свойства и связи между ее элементами и данными в условии задачи. Анализ помогает составить план построения, то есть определить последовательность действий (элементарных построений с помощью циркуля и линейки без делений), которая приведет к искомому результату. Это самый творческий и важный этап, так как без плана невозможно выполнить построение.

• Построение:

  На этом этапе выполняется сам процесс построения по плану, разработанному на этапе анализа. Необходимо точно и последовательно описать все шаги: какие линии проводятся, какие окружности строятся, какие точки находятся. Это практическая реализация найденного алгоритма.

• Доказательство:

  Смысл доказательства — убедиться, что построенная фигура действительно является искомой и удовлетворяет всем условиям задачи. На этом этапе, опираясь на известные аксиомы и теоремы геометрии, мы строго обосновываем, что выполненные построения привели к правильному результату. Этот этап обеспечивает логическую строгость и корректность решения.

• Исследование:

  На этом этапе определяется, при каких условиях задача имеет решение, а при каких — нет. Также выясняется, сколько решений может иметь задача в зависимости от конкретных данных (например, одно решение, два, бесконечно много или ни одного). Исследование показывает полноту решения и определяет область применимости найденного способа построения.

Ответ: Решение задачи на построение состоит из четырех этапов: анализ, построение, доказательство, исследование.

2. Рассмотрим возможность построения каждой фигуры, если заданы длины всех ее сторон. Под «построить фигуру» в задачах на построение обычно понимают построение фигуры, однозначно определенной условиями. Фигура определяется своими сторонами, если задание длин сторон достаточно для построения единственной (с точностью до расположения на плоскости) фигуры.

1) параллелограмм

Если заданы длины двух смежных сторон параллелограмма ($a$ и $b$), то этого недостаточно для его однозначного построения. Угол между этими сторонами может быть разным, что приведет к построению разных параллелограммов. Следовательно, параллелограмм не определяется однозначно своими сторонами.

Ответ: Построить конкретный параллелограмм, зная только длины его сторон, нельзя, так как он не определяется ими однозначно.

2) прямоугольник

Если заданы длины смежных сторон прямоугольника ($a$ и $b$), то он определяется ими однозначно, так как все его углы прямые ($90^\circ$). Знание длин сторон является достаточным условием для построения.

Построение прямоугольника со сторонами $a$ и $b$:

1. Провести произвольную прямую и отметить на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложить на прямой отрезок $AB$, равный стороне $a$.
3. В точке $A$ построить перпендикуляр к прямой $AB$.
4. На перпендикуляре отложить отрезок $AD$, равный стороне $b$.
5. Построить окружность с центром в точке $B$ и радиусом $b$.
6. Построить окружность с центром в точке $D$ и радиусом $a$.
7. Точка пересечения этих двух окружностей будет четвертой вершиной $C$.
8. Соединить отрезками точки $B$ и $C$, а также $D$ и $C$. Полученная фигура $ABCD$ — искомый прямоугольник.

Ответ: Прямоугольник можно построить, так как он однозначно определяется длинами своих сторон (поскольку все углы известны и равны $90^\circ$).

3) ромб

Если задана длина стороны ромба ($a$), то этого недостаточно для его однозначного построения. Как и в случае с параллелограммом, угол между сторонами может меняться, что приводит к разным ромбам (например, один может быть квадратом, а другой — нет). Следовательно, ромб не определяется однозначно своей стороной.

Ответ: Построить конкретный ромб, зная только длину его стороны, нельзя, так как он не определяется ею однозначно.

4) квадрат

Если задана длина стороны квадрата ($a$), то он определяется ею однозначно. Все стороны квадрата равны $a$, а все углы прямые ($90^\circ$).

Построение квадрата со стороной $a$:

Построение аналогично построению прямоугольника, только в этом случае обе смежные стороны равны $a$ ($b=a$).

1. Провести произвольную прямую и отметить на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложить на прямой отрезок $AB$, равный стороне $a$.
3. В точке $A$ построить перпендикуляр к прямой $AB$.
4. На перпендикуляре отложить отрезок $AD$, равный стороне $a$.
5. Построить окружность с центром в точке $B$ и радиусом $a$.
6. Построить окружность с центром в точке $D$ и радиусом $a$.
7. Точка пересечения этих двух окружностей будет четвертой вершиной $C$.
8. Соединить отрезками точки $B$ и $C$, а также $D$ и $C$. Полученная фигура $ABCD$ — искомый квадрат.

Ответ: Квадрат можно построить, так как он однозначно определяется длиной своей стороны (поскольку все стороны равны и все углы известны и равны $90^\circ$).