Страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.74. Периметр ромба равен 16 см, высота – 2 см. Найдите углы ромба.

Для нахождения углов ромба необходимо сначала определить длину его стороны, а затем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном стороной и высотой ромба.

1. Нахождение стороны ромба.
Ромб — это четырехугольник, у которого все четыре стороны равны. Периметр ($P$) ромба вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина стороны.
По условию задачи, периметр $P = 16$ см.
Найдем сторону ромба:
$a = \frac{P}{4} = \frac{16 \text{ см}}{4} = 4 \text{ см}$.

2. Нахождение углов ромба.
Проведем высоту ромба $h$ из одной из вершин к стороне. Высота, сторона ромба и отрезок смежной стороны образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике сторона ромба $a$ является гипотенузой, а высота $h$ — катетом, противолежащим острому углу ромба (обозначим этот угол как $\alpha$).
Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(\alpha) = \frac{h}{a}$.
Подставим известные значения: $h = 2$ см и $a = 4$ см.
$\sin(\alpha) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Из тригонометрии известно, что угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$. Следовательно, острый угол ромба равен $\alpha = 30^\circ$.

Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$. Найдем тупой угол ромба (обозначим его как $\beta$):
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Так как противоположные углы ромба равны, то углы ромба — это два угла по $30^\circ$ и два угла по $150^\circ$.

Ответ: $30^\circ, 150^\circ, 30^\circ, 150^\circ$.

1.75. В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 2 м, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите периметр квадрата.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты треугольника $AC$ и $BC$ равны 2 м, то есть $AC = BC = 2$ м. Поскольку треугольник равнобедренный и прямоугольный, его острые углы при основании $AB$ равны по $45^\circ$, то есть $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

В треугольник вписан квадрат $CDEF$, который имеет с ним общий прямой угол $C$. Это означает, что две стороны квадрата, $FC$ и $DC$, лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно. Вершина $E$ квадрата, противоположная вершине $C$, лежит на гипотенузе $AB$.

Обозначим сторону квадрата через $x$. Тогда все стороны квадрата равны $x$: $FC = CD = DE = EF = x$.

Рассмотрим треугольник $AFE$, который отсекается квадратом от основного треугольника. Так как $CDEF$ — это квадрат, его сторона $EF$ перпендикулярна стороне $FC$, которая лежит на катете $AC$. Следовательно, $\angle EFA = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $AFE$ является прямоугольным. Угол $\angle A$ у него общий с треугольником $ABC$, поэтому $\angle FAE = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, значит третий угол $\angle AEF = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что треугольник $AFE$ также является равнобедренным, и его катеты равны: $AF = EF$.

Мы знаем, что $EF = x$ (как сторона квадрата). Длина отрезка $AF$ может быть выражена как разность длины катета $AC$ и отрезка $FC$ (стороны квадрата): $AF = AC - FC = 2 - x$.

Приравнивая длины равных катетов треугольника $AFE$, получаем уравнение:

$AF = EF$

$2 - x = x$

$2 = 2x$

$x = 1$ м.

Итак, мы нашли, что сторона вписанного квадрата равна 1 м.

Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4x$, где $x$ — длина стороны квадрата.

Подставляем найденное значение $x$:

$P = 4 \times 1 = 4$ м.

Ответ: 4 м.

1.76. В прямоугольном треугольнике через точку пересечения биссектрисы прямого угла и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырехугольник является квадратом.

Дано:
Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Катеты треугольника — $AC$ и $BC$. $CL$ — биссектриса угла $\angle C$, где точка $L$ лежит на гипотенузе $AB$. Через точку $L$ проведены прямые $LN$ и $LM$ так, что $N$ лежит на катете $AC$ и $M$ лежит на катете $BC$, причем $LN \parallel BC$ и $LM \parallel AC$. В результате построен четырехугольник $CNLM$.

Доказать:
Четырехугольник $CNLM$ является квадратом.

Доказательство:

1. Сначала докажем, что четырехугольник $CNLM$ является прямоугольником. По построению, сторона $LM$ параллельна катету $AC$. Так как точка $N$ лежит на $AC$, то $LM \parallel CN$. Также по построению, сторона $LN$ параллельна катету $BC$. Так как точка $M$ лежит на $BC$, то $LN \parallel CM$. Поскольку у четырехугольника $CNLM$ противолежащие стороны попарно параллельны, по определению он является параллелограммом. Угол $\angle C$ исходного треугольника является прямым: $\angle C = 90^\circ$. Этот угол также является углом параллелограмма $CNLM$. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Следовательно, $CNLM$ — прямоугольник.

2. Теперь докажем, что у прямоугольника $CNLM$ равны смежные стороны. По условию, $CL$ является биссектрисой прямого угла $\angle C$, значит, она делит его на два равных угла: $\angle NCL = \angle MCL = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим параллельные прямые $LN$ и $BC$ (на которой лежит отрезок $CM$) и секущую $CL$. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны: $\angle NLC = \angle MCL$. Поскольку $\angle MCL = 45^\circ$, то и $\angle NLC = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle CNL$. В нем два угла равны: $\angle NCL = 45^\circ$ и $\angle NLC = 45^\circ$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Значит, стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $CN = LN$.

Так как $CNLM$ — прямоугольник, его противолежащие стороны равны, то есть $LN = CM$. Из двух равенств $CN = LN$ и $LN = CM$ следует, что $CN = CM$.

3. Мы доказали, что $CNLM$ — это прямоугольник, у которого смежные стороны ($CN$ и $CM$) равны. По определению, такой прямоугольник является квадратом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что полученный четырехугольник является квадратом. Это следует из того, что, во-первых, он является прямоугольником (его стороны по построению параллельны катетам, а угол при вершине прямого угла исходного треугольника равен $90^\circ$), и, во-вторых, его смежные стороны равны (это доказывается через рассмотрение равнобедренного треугольника, который образует биссектриса с одной из сторон четырехугольника и катетом).

1.77. Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его равна диагонали другого квадрата. Найдите сторону последнего.

Для решения задачи введем обозначения. Пусть есть два квадрата: Квадрат 1 и Квадрат 2.

• $d_1$ — диагональ Квадрата 1
• $a_1$ — сторона Квадрата 1
• $d_2$ — диагональ Квадрата 2
• $a_2$ — сторона Квадрата 2 (искомая величина)

Из условия задачи нам известно:
1. Диагональ первого квадрата равна 4 м: $d_1 = 4$ м.
2. Сторона первого квадрата равна диагонали второго квадрата: $a_1 = d_2$.

В любом квадрате сторона $a$ и диагональ $d$ связаны соотношением, которое следует из теоремы Пифагора: $a^2 + a^2 = d^2$.
$2a^2 = d^2$
$a\sqrt{2} = d$
Из этого соотношения можно выразить сторону через диагональ: $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$.

Шаг 1: Найдем сторону первого квадрата ($a_1$).
Используем формулу $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$ и известное значение $d_1 = 4$ м.
$a_1 = \frac{d_1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$ м.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:
$a_1 = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ м.

Шаг 2: Найдем диагональ второго квадрата ($d_2$).
По условию $a_1 = d_2$. Мы нашли, что $a_1 = 2\sqrt{2}$ м, следовательно:
$d_2 = 2\sqrt{2}$ м.

Шаг 3: Найдем сторону второго квадрата ($a_2$).
Снова используем формулу $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$, но теперь для второго квадрата с диагональю $d_2 = 2\sqrt{2}$ м.
$a_2 = \frac{d_2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
Сокращаем $\sqrt{2}$ в числителе и знаменателе:
$a_2 = 2$ м.

Ответ: 2 м.

1.78. Из данной точки проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные. Радиус окружности равен 10 см. Найдите длины касательных (расстояние от данной точки до точек касания).

Пусть $O$ — центр окружности, $P$ — точка, из которой проведены касательные, а $A$ и $B$ — точки касания. Тогда $PA$ и $PB$ — это отрезки касательных. По условию задачи, радиус окружности $R = OA = OB = 10$ см, а касательные взаимно перпендикулярны, то есть угол $\angle APB = 90^{\circ}$.

Рассмотрим четырехугольник $OAPB$.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно:
$\angle OAP = 90^{\circ}$
$\angle OBP = 90^{\circ}$

Сумма углов в четырехугольнике равна $360^{\circ}$. Найдем четвертый угол четырехугольника $OAPB$:
$\angle AOB = 360^{\circ} - \angle APB - \angle OAP - \angle OBP = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

Поскольку все углы четырехугольника $OAPB$ прямые, он является прямоугольником.

В прямоугольнике $OAPB$ смежные стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому они равны: $OA = OB = 10$ см. Прямоугольник, у которого две смежные стороны равны, является квадратом.

Следовательно, четырехугольник $OAPB$ — квадрат. В квадрате все стороны равны, поэтому длины касательных (расстояния от точки $P$ до точек касания $A$ и $B$) равны длинам радиусов:
$PA = PB = OA = OB = 10$ см.

Ответ: 10 см.

1.79. На стороне $AB$ квадрата $ABCD$ взята точка $K$, причем $AK = BK$. Докажите, что треугольник $CDK$ равнобедренный (рис. 1.38).

Для доказательства того, что треугольник $CDK$ является равнобедренным, необходимо доказать, что две его стороны равны. В данном случае докажем, что $DK = CK$.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ADK$ и $\triangle BCK$.

1. Так как $ABCD$ — квадрат, то все его стороны равны. Следовательно, $AD = BC$.

2. Так как $ABCD$ — квадрат, то все его углы прямые. Следовательно, $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Это означает, что треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle BCK$ являются прямоугольными.

3. По условию задачи, точка $K$ взята на стороне $AB$ таким образом, что $AK = BK$.

Теперь сравним прямоугольные треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle BCK$. У них равны два катета:

• катет $AD$ равен катету $BC$;
• катет $AK$ равен катету $BK$.

Следовательно, $\triangle ADK = \triangle BCK$ по двум катетам (что является частным случаем признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними).

Поскольку треугольники равны, то равны и их соответствующие элементы. В частности, гипотенуза $DK$ треугольника $\triangle ADK$ равна гипотенузе $CK$ треугольника $\triangle BCK$. То есть, $DK = CK$.

Так как в треугольнике $CDK$ две стороны ($DK$ и $CK$) равны, то по определению он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $CDK$ является равнобедренным, так как его стороны $DK$ и $CK$ равны. Равенство этих сторон следует из равенства прямоугольных треугольников $ADK$ и $BCK$ по двум катетам ($AD = BC$ как стороны квадрата и $AK = BK$ по условию).

1.80. Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Докажите, что полученный четырехугольник является квадратом.

Пусть дан квадрат $ABCD$. Его диагонали — $AC$ и $BD$. Обозначим четырехугольник, образованный пересечением прямых, проведенных через вершины квадрата параллельно его диагоналям, как $KLMN$.

Доказательство состоит из двух шагов:

1. Докажем, что $KLMN$ является прямоугольником. По построению, две противолежащие стороны четырехугольника $KLMN$ параллельны диагонали $AC$, а две другие — диагонали $BD$. Так как у четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны, $KLMN$ является параллелограммом.
Угол между смежными сторонами параллелограмма $KLMN$ равен углу между прямыми, на которых они лежат. По построению, эти прямые параллельны диагоналям $AC$ и $BD$. В исходном квадрате $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$, поэтому угол между ними равен $90^\circ$. Следовательно, угол между смежными сторонами $KLMN$ также равен $90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

2. Докажем, что у прямоугольника $KLMN$ равны смежные стороны. Пусть $k$ и $l$ — длины смежных сторон прямоугольника $KLMN$. Одна сторона, длиной $k$, лежит на прямой, параллельной $AC$. Ее длина определяется расстоянием между двумя прямыми, параллельными $BD$ и проходящими через вершины $A$ и $C$. Так как эти два семейства прямых (параллельных $AC$ и параллельных $BD$) взаимно перпендикулярны, длина стороны $k$ равна расстоянию между прямыми, проходящими через $A$ и $C$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из одной прямой на другую. Поскольку прямые параллельны $BD$, а диагональ $AC$ перпендикулярна $BD$, то длина такого перпендикуляра равна длине диагонали $AC$. Таким образом, $k = AC$.
Аналогично, смежная сторона длиной $l$ лежит на прямой, параллельной $BD$. Ее длина равна расстоянию между прямыми, проходящими через $B$ и $D$ параллельно $AC$. Это расстояние равно длине диагонали $BD$. Таким образом, $l = BD$.
В исходном квадрате $ABCD$ диагонали равны: $AC = BD$. Отсюда следует, что $k = l$, то есть смежные стороны прямоугольника $KLMN$ равны.

Поскольку $KLMN$ является прямоугольником, у которого смежные стороны равны, он является квадратом.

Ответ: Утверждение доказано. Полученный четырехугольник является квадратом, так как его углы прямые (поскольку они равны углу между перпендикулярными диагоналями исходного квадрата), а его смежные стороны равны (поскольку их длины равны длинам диагоналей исходного квадрата, которые равны между собой).

1.81. На каждой стороне квадрата $ABCD$ отложены равные отрезки: $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1$. Докажите, что четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ – квадрат (рис. 1.39).

Рис. 1.39

Чтобы доказать, что четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ является квадратом, необходимо показать, что все его стороны равны и все его углы прямые.

1. Доказательство равенства сторон.

Рассмотрим четыре треугольника, образовавшихся в углах исходного квадрата: $\triangle D_1AA_1$, $\triangle A_1BB_1$, $\triangle B_1CC_1$ и $\triangle C_1DD_1$.

Поскольку $ABCD$ — квадрат, то все его стороны равны ($AB = BC = CD = DA$) и все углы прямые ($\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$). Пусть длина стороны квадрата равна $a$.

По условию, на сторонах отложены равные отрезки: $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1$. Пусть их длина равна $x$.

Тогда длины других отрезков на сторонах квадрата будут:
$D_1A = DA - DD_1 = a - x$
$A_1B = AB - AA_1 = a - x$
$B_1C = BC - BB_1 = a - x$
$C_1D = CD - CC_1 = a - x$

Таким образом, мы видим, что $D_1A = A_1B = B_1C = C_1D$.

Теперь сравним треугольники $\triangle D_1AA_1$, $\triangle A_1BB_1$, $\triangle B_1CC_1$ и $\triangle C_1DD_1$. Все они являются прямоугольными, так как их углы при вершинах $A, B, C, D$ — это углы исходного квадрата. Катеты каждого из этих треугольников равны $x$ и $a-x$. Например, для $\triangle D_1AA_1$ катеты это $AA_1=x$ и $D_1A = a-x$. Следовательно, все четыре треугольника равны по двум катетам (признак равенства прямоугольных треугольников).
$\triangle D_1AA_1 \cong \triangle A_1BB_1 \cong \triangle B_1CC_1 \cong \triangle C_1DD_1$.

Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз, которые являются сторонами четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$:
$D_1A_1 = A_1B_1 = B_1C_1 = C_1D_1$.

Так как все стороны четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ равны, он является ромбом.

2. Доказательство того, что углы прямые.

Чтобы доказать, что ромб $A_1B_1C_1D_1$ является квадратом, достаточно показать, что один из его внутренних углов равен $90^\circ$. Рассмотрим, например, угол $\angle D_1A_1B_1$.

В любом прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. В треугольнике $\triangle D_1AA_1$ пусть $\angle AA_1D_1 = \alpha$. Тогда $\angle AD_1A_1 = 90^\circ - \alpha$.

Так как $\triangle A_1BB_1 \cong \triangle D_1AA_1$, их соответствующие углы равны. Угол $\angle BA_1B_1$ в треугольнике $\triangle A_1BB_1$ лежит напротив катета $BB_1$. В равном ему треугольнике $\triangle D_1AA_1$ катету $AA_1$ (который равен $BB_1$) противолежит угол $\angle AD_1A_1$.
Следовательно, $\angle BA_1B_1 = \angle AD_1A_1 = 90^\circ - \alpha$.

Точки $A, A_1, B$ лежат на одной прямой — стороне квадрата $AB$. Угол, образованный этой прямой в точке $A_1$, является развернутым и равен $180^\circ$. Этот угол состоит из трех смежных углов: $\angle AA_1D_1$, $\angle D_1A_1B_1$ и $\angle BA_1B_1$.
$\angle AA_1D_1 + \angle D_1A_1B_1 + \angle BA_1B_1 = 180^\circ$

Подставим известные нам выражения для углов:
$\alpha + \angle D_1A_1B_1 + (90^\circ - \alpha) = 180^\circ$
$90^\circ + \angle D_1A_1B_1 = 180^\circ$
$\angle D_1A_1B_1 = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Мы доказали, что один из углов ромба $A_1B_1C_1D_1$ прямой. Ромб, у которого есть хотя бы один прямой угол, является квадратом.

Ответ: Четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ имеет равные стороны и прямые углы, следовательно, он является квадратом. Что и требовалось доказать.

1.82. Квадраты $ABCD$ и $BFKL$ имеют общую вершину $B$ (рис. 1.40). Докажите, что медиана $BN$ треугольника $ABL$ перпендикулярна отрезку $CF$.

Рис. 1.40

Доказательство:

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом векторов. Введем систему координат с началом в точке $B$. Каждой точке на плоскости будет соответствовать радиус-вектор, выходящий из точки $B$. Обозначим векторы: $\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{c}$, $\vec{BF} = \vec{f}$ и $\vec{BL} = \vec{l}$.

По условию, $ABCD$ и $BFKL$ — квадраты. Это означает, что их стороны, выходящие из общей вершины $B$, равны по длине и перпендикулярны. Из рисунка видно, что оба квадрата имеют одинаковую ориентацию (вершины $A, B, C$ и $F, B, L$ обходятся в одном направлении). Будем считать, что обход происходит против часовой стрелки. Это значит, что вектор $\vec{BC}$ получается поворотом вектора $\vec{BA}$ на $90^\circ$ против часовой стрелки, а вектор $\vec{BL}$ — поворотом вектора $\vec{BF}$ на $90^\circ$ против часовой стрелки.

Пусть $R_{90}$ — оператор поворота на $90^\circ$ против часовой стрелки. Тогда можно записать следующие векторные равенства:
$\vec{c} = R_{90}(\vec{a})$
$\vec{l} = R_{90}(\vec{f})$

По условию, $BN$ — медиана треугольника $ABL$. Следовательно, точка $N$ является серединой отрезка $AL$. Радиус-вектор точки $N$, который совпадает с вектором $\vec{BN}$, можно выразить как полусумму векторов, соответствующих точкам $A$ и $L$:
$\vec{BN} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BL}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{l})$

Вектор $\vec{CF}$ выражается как разность векторов, соответствующих его концу и началу:
$\vec{CF} = \vec{BF} - \vec{BC} = \vec{f} - \vec{c}$

Для того чтобы доказать перпендикулярность медианы $BN$ и отрезка $CF$, необходимо показать, что скалярное произведение соответствующих векторов $\vec{BN}$ и $\vec{CF}$ равно нулю.
$\vec{BN} \cdot \vec{CF} = \left(\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{l})\right) \cdot (\vec{f} - \vec{c})$

Подставим в это выражение равенства для векторов $\vec{c}$ и $\vec{l}$, полученные из свойств квадратов:
$\vec{BN} \cdot \vec{CF} = \frac{1}{2}(\vec{a} + R_{90}(\vec{f})) \cdot (\vec{f} - R_{90}(\vec{a}))$

Раскроем скобки, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения:
$\vec{BN} \cdot \vec{CF} = \frac{1}{2}(\vec{a}\cdot\vec{f} - \vec{a}\cdot R_{90}(\vec{a}) + R_{90}(\vec{f})\cdot\vec{f} - R_{90}(\vec{f})\cdot R_{90}(\vec{a}))$

Применим два важных свойства скалярного произведения, связанные с поворотом на $90^\circ$:
1. Любой вектор ортогонален вектору, полученному из него поворотом на $90^\circ$. Поэтому их скалярное произведение равно нулю: $\vec{v} \cdot R_{90}(\vec{v}) = 0$. Отсюда следует, что $\vec{a} \cdot R_{90}(\vec{a}) = 0$ и $R_{90}(\vec{f}) \cdot \vec{f} = 0$.
2. Оператор поворота сохраняет скалярное произведение векторов: $R_{90}(\vec{u}) \cdot R_{90}(\vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{v}$. Отсюда следует, что $R_{90}(\vec{f}) \cdot R_{90}(\vec{a}) = \vec{f} \cdot \vec{a}$.

Подставим эти результаты в наше выражение:
$\vec{BN} \cdot \vec{CF} = \frac{1}{2}(\vec{a}\cdot\vec{f} - 0 + 0 - \vec{f}\cdot\vec{a})$

Учитывая, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{a}\cdot\vec{f} = \vec{f}\cdot\vec{a}$), получаем:
$\vec{BN} \cdot \vec{CF} = \frac{1}{2}(\vec{a}\cdot\vec{f} - \vec{a}\cdot\vec{f}) = \frac{1}{2}(0) = 0$

Так как скалярное произведение векторов $\vec{BN}$ и $\vec{CF}$ равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Таким образом, доказано, что медиана $BN$ треугольника $ABL$ перпендикулярна отрезку $CF$.

Ответ: Утверждение доказано.

1.83. Внутри квадрата $ABCD$ взята точка $K$ так, что $\angle KAD = \angle KDA = 15^\circ$. Докажите, что треугольник $BCK$ равносторонний (рис. 1.41).

Для доказательства того, что треугольник $BCK$ является равносторонним, нам нужно показать, что все его стороны равны, то есть $BC = BK = CK$.

1. Рассмотрим треугольник $AKD$.
По условию задачи, $\angle KAD = \angle KDA = 15^\circ$. Так как углы при основании $AD$ равны, треугольник $AKD$ является равнобедренным. Отсюда следует, что его боковые стороны равны: $AK = DK$.

2. Сравним треугольники $ABK$ и $DCK$.
Поскольку $ABCD$ — это квадрат, то $AB = DC$ и $\angle DAB = \angle CDA = 90^\circ$.
Найдем углы $\angle BAK$ и $\angle CDK$:
$\angle BAK = \angle DAB - \angle KAD = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.
$\angle CDK = \angle CDA - \angle KDA = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.
Таким образом, $\angle BAK = \angle CDK$.
Теперь сравним треугольники $ABK$ и $DCK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

• $AB = DC$ (стороны квадрата).
• $AK = DK$ (доказано в п. 1).
• $\angle BAK = \angle CDK = 75^\circ$ (вычислено выше).

3. Вычислим длину стороны $BK$ через сторону квадрата.
Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда $AD = AB = BC = a$.
В треугольнике $AKD$ найдем угол при вершине $K$: $\angle AKD = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 150^\circ$.
Применим теорему синусов к треугольнику $AKD$: $\frac{AK}{\sin(\angle KDA)} = \frac{AD}{\sin(\angle AKD)}$
$\frac{AK}{\sin(15^\circ)} = \frac{a}{\sin(150^\circ)}$
Зная, что $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, выразим $AK$:
$AK = \frac{a \cdot \sin(15^\circ)}{\sin(150^\circ)} = \frac{a \cdot \sin(15^\circ)}{1/2} = 2a \sin(15^\circ)$.
Теперь рассмотрим треугольник $ABK$. Мы знаем длины двух его сторон ($AB = a$, $AK = 2a \sin(15^\circ)$) и угол между ними ($\angle BAK = 75^\circ$). Применим теорему косинусов для нахождения длины стороны $BK$:
$BK^2 = AB^2 + AK^2 - 2 \cdot AB \cdot AK \cdot \cos(\angle BAK)$
$BK^2 = a^2 + (2a \sin(15^\circ))^2 - 2 \cdot a \cdot (2a \sin(15^\circ)) \cdot \cos(75^\circ)$
$BK^2 = a^2 + 4a^2 \sin^2(15^\circ) - 4a^2 \sin(15^\circ) \cos(75^\circ)$
Используем формулу приведения $\cos(75^\circ) = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin(15^\circ)$. Подставим это значение в уравнение:
$BK^2 = a^2 + 4a^2 \sin^2(15^\circ) - 4a^2 \sin(15^\circ) \sin(15^\circ)$
$BK^2 = a^2 + 4a^2 \sin^2(15^\circ) - 4a^2 \sin^2(15^\circ)$
$BK^2 = a^2$
Отсюда $BK = a$.

4. Заключение.
Мы получили, что $BK = a$. Так как $BC$ — это сторона квадрата, то $BC = a$. В пункте 2 мы доказали, что $BK = CK$.
Таким образом, мы имеем $BC = BK = CK = a$.
Поскольку все три стороны треугольника $BCK$ равны, он является равносторонним.

Ответ: Утверждение доказано. Мы показали, что $BC=BK=CK$, следовательно, треугольник $BCK$ является равносторонним.