Номер 1.82, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.82. Квадраты $ABCD$ и $BFKL$ имеют общую вершину $B$ (рис. 1.40). Докажите, что медиана $BN$ треугольника $ABL$ перпендикулярна отрезку $CF$.

Рис. 1.40

Доказательство:

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом векторов. Введем систему координат с началом в точке $B$. Каждой точке на плоскости будет соответствовать радиус-вектор, выходящий из точки $B$. Обозначим векторы: $\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{c}$, $\vec{BF} = \vec{f}$ и $\vec{BL} = \vec{l}$.

По условию, $ABCD$ и $BFKL$ — квадраты. Это означает, что их стороны, выходящие из общей вершины $B$, равны по длине и перпендикулярны. Из рисунка видно, что оба квадрата имеют одинаковую ориентацию (вершины $A, B, C$ и $F, B, L$ обходятся в одном направлении). Будем считать, что обход происходит против часовой стрелки. Это значит, что вектор $\vec{BC}$ получается поворотом вектора $\vec{BA}$ на $90^\circ$ против часовой стрелки, а вектор $\vec{BL}$ — поворотом вектора $\vec{BF}$ на $90^\circ$ против часовой стрелки.

Пусть $R_{90}$ — оператор поворота на $90^\circ$ против часовой стрелки. Тогда можно записать следующие векторные равенства:
$\vec{c} = R_{90}(\vec{a})$
$\vec{l} = R_{90}(\vec{f})$

По условию, $BN$ — медиана треугольника $ABL$. Следовательно, точка $N$ является серединой отрезка $AL$. Радиус-вектор точки $N$, который совпадает с вектором $\vec{BN}$, можно выразить как полусумму векторов, соответствующих точкам $A$ и $L$:
$\vec{BN} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BL}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{l})$

Вектор $\vec{CF}$ выражается как разность векторов, соответствующих его концу и началу:
$\vec{CF} = \vec{BF} - \vec{BC} = \vec{f} - \vec{c}$

Для того чтобы доказать перпендикулярность медианы $BN$ и отрезка $CF$, необходимо показать, что скалярное произведение соответствующих векторов $\vec{BN}$ и $\vec{CF}$ равно нулю.
$\vec{BN} \cdot \vec{CF} = \left(\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{l})\right) \cdot (\vec{f} - \vec{c})$

Подставим в это выражение равенства для векторов $\vec{c}$ и $\vec{l}$, полученные из свойств квадратов:
$\vec{BN} \cdot \vec{CF} = \frac{1}{2}(\vec{a} + R_{90}(\vec{f})) \cdot (\vec{f} - R_{90}(\vec{a}))$

Раскроем скобки, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения:
$\vec{BN} \cdot \vec{CF} = \frac{1}{2}(\vec{a}\cdot\vec{f} - \vec{a}\cdot R_{90}(\vec{a}) + R_{90}(\vec{f})\cdot\vec{f} - R_{90}(\vec{f})\cdot R_{90}(\vec{a}))$

Применим два важных свойства скалярного произведения, связанные с поворотом на $90^\circ$:
1. Любой вектор ортогонален вектору, полученному из него поворотом на $90^\circ$. Поэтому их скалярное произведение равно нулю: $\vec{v} \cdot R_{90}(\vec{v}) = 0$. Отсюда следует, что $\vec{a} \cdot R_{90}(\vec{a}) = 0$ и $R_{90}(\vec{f}) \cdot \vec{f} = 0$.
2. Оператор поворота сохраняет скалярное произведение векторов: $R_{90}(\vec{u}) \cdot R_{90}(\vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{v}$. Отсюда следует, что $R_{90}(\vec{f}) \cdot R_{90}(\vec{a}) = \vec{f} \cdot \vec{a}$.

Подставим эти результаты в наше выражение:
$\vec{BN} \cdot \vec{CF} = \frac{1}{2}(\vec{a}\cdot\vec{f} - 0 + 0 - \vec{f}\cdot\vec{a})$

Учитывая, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{a}\cdot\vec{f} = \vec{f}\cdot\vec{a}$), получаем:
$\vec{BN} \cdot \vec{CF} = \frac{1}{2}(\vec{a}\cdot\vec{f} - \vec{a}\cdot\vec{f}) = \frac{1}{2}(0) = 0$

Так как скалярное произведение векторов $\vec{BN}$ и $\vec{CF}$ равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Таким образом, доказано, что медиана $BN$ треугольника $ABL$ перпендикулярна отрезку $CF$.

Ответ: Утверждение доказано.