Номер 1.76, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.76. В прямоугольном треугольнике через точку пересечения биссектрисы прямого угла и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырехугольник является квадратом.

Дано:
Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Катеты треугольника — $AC$ и $BC$. $CL$ — биссектриса угла $\angle C$, где точка $L$ лежит на гипотенузе $AB$. Через точку $L$ проведены прямые $LN$ и $LM$ так, что $N$ лежит на катете $AC$ и $M$ лежит на катете $BC$, причем $LN \parallel BC$ и $LM \parallel AC$. В результате построен четырехугольник $CNLM$.

Доказать:
Четырехугольник $CNLM$ является квадратом.

Доказательство:

1. Сначала докажем, что четырехугольник $CNLM$ является прямоугольником. По построению, сторона $LM$ параллельна катету $AC$. Так как точка $N$ лежит на $AC$, то $LM \parallel CN$. Также по построению, сторона $LN$ параллельна катету $BC$. Так как точка $M$ лежит на $BC$, то $LN \parallel CM$. Поскольку у четырехугольника $CNLM$ противолежащие стороны попарно параллельны, по определению он является параллелограммом. Угол $\angle C$ исходного треугольника является прямым: $\angle C = 90^\circ$. Этот угол также является углом параллелограмма $CNLM$. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Следовательно, $CNLM$ — прямоугольник.

2. Теперь докажем, что у прямоугольника $CNLM$ равны смежные стороны. По условию, $CL$ является биссектрисой прямого угла $\angle C$, значит, она делит его на два равных угла: $\angle NCL = \angle MCL = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим параллельные прямые $LN$ и $BC$ (на которой лежит отрезок $CM$) и секущую $CL$. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны: $\angle NLC = \angle MCL$. Поскольку $\angle MCL = 45^\circ$, то и $\angle NLC = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle CNL$. В нем два угла равны: $\angle NCL = 45^\circ$ и $\angle NLC = 45^\circ$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Значит, стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $CN = LN$.

Так как $CNLM$ — прямоугольник, его противолежащие стороны равны, то есть $LN = CM$. Из двух равенств $CN = LN$ и $LN = CM$ следует, что $CN = CM$.

3. Мы доказали, что $CNLM$ — это прямоугольник, у которого смежные стороны ($CN$ и $CM$) равны. По определению, такой прямоугольник является квадратом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что полученный четырехугольник является квадратом. Это следует из того, что, во-первых, он является прямоугольником (его стороны по построению параллельны катетам, а угол при вершине прямого угла исходного треугольника равен $90^\circ$), и, во-вторых, его смежные стороны равны (это доказывается через рассмотрение равнобедренного треугольника, который образует биссектриса с одной из сторон четырехугольника и катетом).