Номер 1.75, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.75. В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 2 м, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите периметр квадрата.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты треугольника $AC$ и $BC$ равны 2 м, то есть $AC = BC = 2$ м. Поскольку треугольник равнобедренный и прямоугольный, его острые углы при основании $AB$ равны по $45^\circ$, то есть $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

В треугольник вписан квадрат $CDEF$, который имеет с ним общий прямой угол $C$. Это означает, что две стороны квадрата, $FC$ и $DC$, лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно. Вершина $E$ квадрата, противоположная вершине $C$, лежит на гипотенузе $AB$.

Обозначим сторону квадрата через $x$. Тогда все стороны квадрата равны $x$: $FC = CD = DE = EF = x$.

Рассмотрим треугольник $AFE$, который отсекается квадратом от основного треугольника. Так как $CDEF$ — это квадрат, его сторона $EF$ перпендикулярна стороне $FC$, которая лежит на катете $AC$. Следовательно, $\angle EFA = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $AFE$ является прямоугольным. Угол $\angle A$ у него общий с треугольником $ABC$, поэтому $\angle FAE = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, значит третий угол $\angle AEF = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что треугольник $AFE$ также является равнобедренным, и его катеты равны: $AF = EF$.

Мы знаем, что $EF = x$ (как сторона квадрата). Длина отрезка $AF$ может быть выражена как разность длины катета $AC$ и отрезка $FC$ (стороны квадрата): $AF = AC - FC = 2 - x$.

Приравнивая длины равных катетов треугольника $AFE$, получаем уравнение:

$AF = EF$

$2 - x = x$

$2 = 2x$

$x = 1$ м.

Итак, мы нашли, что сторона вписанного квадрата равна 1 м.

Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4x$, где $x$ — длина стороны квадрата.

Подставляем найденное значение $x$:

$P = 4 \times 1 = 4$ м.

Ответ: 4 м.