Номер 1.79, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.79. На стороне $AB$ квадрата $ABCD$ взята точка $K$, причем $AK = BK$. Докажите, что треугольник $CDK$ равнобедренный (рис. 1.38).

Для доказательства того, что треугольник $CDK$ является равнобедренным, необходимо доказать, что две его стороны равны. В данном случае докажем, что $DK = CK$.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ADK$ и $\triangle BCK$.

1. Так как $ABCD$ — квадрат, то все его стороны равны. Следовательно, $AD = BC$.

2. Так как $ABCD$ — квадрат, то все его углы прямые. Следовательно, $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Это означает, что треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle BCK$ являются прямоугольными.

3. По условию задачи, точка $K$ взята на стороне $AB$ таким образом, что $AK = BK$.

Теперь сравним прямоугольные треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle BCK$. У них равны два катета:

• катет $AD$ равен катету $BC$;
• катет $AK$ равен катету $BK$.

Следовательно, $\triangle ADK = \triangle BCK$ по двум катетам (что является частным случаем признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними).

Поскольку треугольники равны, то равны и их соответствующие элементы. В частности, гипотенуза $DK$ треугольника $\triangle ADK$ равна гипотенузе $CK$ треугольника $\triangle BCK$. То есть, $DK = CK$.

Так как в треугольнике $CDK$ две стороны ($DK$ и $CK$) равны, то по определению он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $CDK$ является равнобедренным, так как его стороны $DK$ и $CK$ равны. Равенство этих сторон следует из равенства прямоугольных треугольников $ADK$ и $BCK$ по двум катетам ($AD = BC$ как стороны квадрата и $AK = BK$ по условию).