Номер 1.84, страница 27 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.84. Любой выпуклый четырехугольник, диагонали которого являются биссектрисами его углов, является ромбом. Докажите этот признак ромба.

Чтобы доказать, что любой выпуклый четырехугольник, диагонали которого являются биссектрисами его углов, является ромбом, необходимо показать, что все стороны такого четырехугольника равны.

Дано:
ABCD — выпуклый четырехугольник.
Диагональ AC — биссектриса угла $ \angle A $ (т. е. $ \angle BAC = \angle DAC $) и угла $ \angle C $ (т. е. $ \angle BCA = \angle DCA $).
Диагональ BD — биссектриса угла $ \angle B $ (т. е. $ \angle ABD = \angle CBD $) и угла $ \angle D $ (т. е. $ \angle ADB = \angle CDB $).

Доказать:
Четырехугольник ABCD — ромб (т. е. $ AB = BC = CD = DA $).

Доказательство:
Доказательство можно построить, сравнивая треугольники, на которые диагонали делят четырехугольник.

1. Сначала рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $, которые образуются при проведении диагонали AC.
- Сторона AC у этих треугольников общая.
- По условию, AC — биссектриса угла $ \angle A $, поэтому $ \angle BAC = \angle DAC $.
- Также по условию, AC — биссектриса угла $ \angle C $, поэтому $ \angle BCA = \angle DCA $.
Следовательно, $ \triangle ABC = \triangle ADC $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $ AB = AD $ и $ BC = CD $.

2. Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle CBD $, которые образуются при проведении диагонали BD.
- Сторона BD у этих треугольников общая.
- По условию, BD — биссектриса угла $ \angle B $, поэтому $ \angle ABD = \angle CBD $.
- Также по условию, BD — биссектриса угла $ \angle D $, поэтому $ \angle ADB = \angle CDB $.
Следовательно, $ \triangle ABD = \triangle CBD $ по второму признаку равенства треугольников. Из этого следует равенство соответствующих сторон: $ AB = BC $ и $ AD = DC $.

3. Объединим полученные результаты.
Из первого пункта мы установили, что $ AB = AD $ и $ BC = CD $.
Из второго пункта мы установили, что $ AB = BC $.
Сопоставив все равенства, получаем: $ AB = BC = CD = AD $.

Таким образом, все стороны четырехугольника ABCD равны между собой. По определению, четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Утверждение доказано.

Ответ: Признак ромба доказан. Если в выпуклом четырехугольнике диагонали являются биссектрисами его углов, то такой четырехугольник имеет все стороны равной длины и, следовательно, является ромбом.