Номер 1.89, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.4. Построение четырехугольников по их элементам. Раздел 1. Многоугольники. Четырехугольники - номер 1.89, страница 29.

Учебник rus.

1.89. Постройте параллелограмм по двум сторонам и углу.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Для построения параллелограмма по двум смежным сторонам и углу между ними выполним следующие шаги, которые делятся на анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Предположим, что искомый параллелограмм $ABCD$ уже построен. Пусть его смежные стороны $AB$ и $AD$ равны по длине заданным отрезкам $a$ и $b$ соответственно, а угол между ними $\angle DAB$ равен заданному углу $\alpha$. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $DC = AB = a$ и $BC = AD = b$. Это означает, что вершина $C$ находится на расстоянии $a$ от вершины $D$ и на расстоянии $b$ от вершины $B$. Таким образом, задача сводится к последовательному построению вершин $A$, $B$, $D$, а затем нахождению вершины $C$ как точки пересечения двух окружностей.

Построение

Пусть даны два отрезка длиной $a$ и $b$ и угол $\alpha$.

1. Начертим произвольную прямую $l$ и выберем на ней точку $A$, которая будет одной из вершин параллелограмма.
2. С помощью циркуля отложим на прямой $l$ от точки $A$ отрезок $AB$, длина которого равна $a$.
3. От луча $AB$ построим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого проведем луч $m$ из точки $A$ так, чтобы $\angle(l, m) = \alpha$.
4. На луче $m$ отложим от точки $A$ отрезок $AD$, длина которого равна $b$. Таким образом, мы получили три вершины $A, B, D$.
5. Для нахождения четвертой вершины $C$, выполним следующее:
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $D$ и радиусом, равным $a$.
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным $b$.
6. Точка пересечения этих двух дуг и будет четвертой вершиной $C$ искомого параллелограмма.
7. Соединим отрезками вершины $B$ с $C$ и $D$ с $C$.

Четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$. По построению:

• Сторона $AB$ равна $a$.
• Сторона $AD$ равна $b$.
• Угол $\angle DAB$ равен $\alpha$.
• Сторона $DC$ равна $a$ (поскольку точка $C$ лежит на окружности с центром в $D$ и радиусом $a$).
• Сторона $BC$ равна $b$ (поскольку точка $C$ лежит на окружности с центром в $B$ и радиусом $b$).

В четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно равны ($AB=DC=a$ и $AD=BC=b$). Согласно признаку параллелограмма, если у четырехугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Таким образом, построенная фигура $ABCD$ является параллелограммом, удовлетворяющим условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда данные длины сторон $a$ и $b$ положительны ($a>0, b>0$), а угол $\alpha$ находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$ ($0 < \alpha < 180^\circ$).

При этих условиях шаги 1-4 построения выполнимы и однозначно определяют вершины $A$, $B$, $D$. Окружности, строящиеся на шаге 5, будут иметь две точки пересечения (так как по неравенству треугольника для $\triangle ABD$ расстояние между центрами $BD$ меньше суммы радиусов $a+b$ и больше их разности $|a-b|$). Одна из этих точек пересечения позволяет построить выпуклый четырехугольник $ABCD$, который и является искомым параллелограммом. Вторая точка пересечения привела бы к построению самопересекающегося четырехугольника, который не является параллелограммом в строгом определении. Следовательно, при указанных условиях задача имеет единственное решение.

Ответ: Вышеописанный алгоритм построения с помощью циркуля и линейки позволяет однозначно построить искомый параллелограмм. Построение возможно при любых положительных длинах сторон $a$ и $b$ и угле $\alpha$ между ними, если $0^\circ < \alpha < 180^\circ$.