Номер 1.87, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.87. Сколько можно построить различных параллелограммов с вершинами в трех заданных точках, не лежащих на одной прямой? (Рис. 1.45.)

Рис. 1.45

Пусть даны три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. Это означает, что они образуют вершины треугольника. Параллелограмм — это четырехугольник, поэтому для его построения необходима четвертая вершина, которую мы обозначим как D.

Воспользуемся одним из ключевых свойств параллелограмма: его диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Это значит, что середина одной диагонали совпадает с серединой другой. Четыре вершины A, B, C и D могут образовать параллелограмм тремя различными способами, в зависимости от того, какая пара из заданных точек образует его диагональ.

Случай 1: AC является диагональю.

В этом случае точки A и C являются противолежащими вершинами, а B и D — другой парой противолежащих вершин. Параллелограмм будет иметь вид ADCB. Пусть положение точек задано радиус-векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$. Середина диагонали AC имеет радиус-вектор $\frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$, а середина диагонали BD — $\frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$. Приравняв их, получим положение четвертой вершины D:

$\frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2} \implies \vec{d} = \vec{a} + \vec{c} - \vec{b}$

Это положение соответствует вершине D на Рис. 1.45.

Случай 2: AB является диагональю.

В этом случае противолежащими вершинами являются A и B, а также C и D. Параллелограмм будет иметь вид ACBD. Приравняв середины диагоналей AB и CD, получим:

$\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} \implies \vec{d} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

Это положение соответствует вершине $D_2$ на Рис. 1.45.

Случай 3: BC является диагональю.

В этом случае противолежащими вершинами являются B и C, а также A и D. Параллелограмм будет иметь вид ABDC. Приравняв середины диагоналей BC и AD, получим:

$\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} \implies \vec{d} = \vec{b} + \vec{c} - \vec{a}$

Это положение соответствует вершине $D_1$ на Рис. 1.45.

Таким образом, мы нашли три уникальных положения для четвертой вершины. Каждое из них порождает свой, отличный от других, параллелограмм. Все три полученных положения для четвертой вершины различны, поскольку если бы какие-либо два из них совпали, это привело бы к совпадению двух из исходных точек A, B или C, что противоречит условию задачи (точки не лежат на одной прямой и, следовательно, различны). Значит, можно построить ровно три различных параллелограмма.

Ответ: 3