Номер 1.81, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.81. На каждой стороне квадрата $ABCD$ отложены равные отрезки: $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1$. Докажите, что четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ – квадрат (рис. 1.39).

Рис. 1.39

Чтобы доказать, что четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ является квадратом, необходимо показать, что все его стороны равны и все его углы прямые.

1. Доказательство равенства сторон.

Рассмотрим четыре треугольника, образовавшихся в углах исходного квадрата: $\triangle D_1AA_1$, $\triangle A_1BB_1$, $\triangle B_1CC_1$ и $\triangle C_1DD_1$.

Поскольку $ABCD$ — квадрат, то все его стороны равны ($AB = BC = CD = DA$) и все углы прямые ($\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$). Пусть длина стороны квадрата равна $a$.

По условию, на сторонах отложены равные отрезки: $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1$. Пусть их длина равна $x$.

Тогда длины других отрезков на сторонах квадрата будут:
$D_1A = DA - DD_1 = a - x$
$A_1B = AB - AA_1 = a - x$
$B_1C = BC - BB_1 = a - x$
$C_1D = CD - CC_1 = a - x$

Таким образом, мы видим, что $D_1A = A_1B = B_1C = C_1D$.

Теперь сравним треугольники $\triangle D_1AA_1$, $\triangle A_1BB_1$, $\triangle B_1CC_1$ и $\triangle C_1DD_1$. Все они являются прямоугольными, так как их углы при вершинах $A, B, C, D$ — это углы исходного квадрата. Катеты каждого из этих треугольников равны $x$ и $a-x$. Например, для $\triangle D_1AA_1$ катеты это $AA_1=x$ и $D_1A = a-x$. Следовательно, все четыре треугольника равны по двум катетам (признак равенства прямоугольных треугольников).
$\triangle D_1AA_1 \cong \triangle A_1BB_1 \cong \triangle B_1CC_1 \cong \triangle C_1DD_1$.

Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз, которые являются сторонами четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$:
$D_1A_1 = A_1B_1 = B_1C_1 = C_1D_1$.

Так как все стороны четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ равны, он является ромбом.

2. Доказательство того, что углы прямые.

Чтобы доказать, что ромб $A_1B_1C_1D_1$ является квадратом, достаточно показать, что один из его внутренних углов равен $90^\circ$. Рассмотрим, например, угол $\angle D_1A_1B_1$.

В любом прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. В треугольнике $\triangle D_1AA_1$ пусть $\angle AA_1D_1 = \alpha$. Тогда $\angle AD_1A_1 = 90^\circ - \alpha$.

Так как $\triangle A_1BB_1 \cong \triangle D_1AA_1$, их соответствующие углы равны. Угол $\angle BA_1B_1$ в треугольнике $\triangle A_1BB_1$ лежит напротив катета $BB_1$. В равном ему треугольнике $\triangle D_1AA_1$ катету $AA_1$ (который равен $BB_1$) противолежит угол $\angle AD_1A_1$.
Следовательно, $\angle BA_1B_1 = \angle AD_1A_1 = 90^\circ - \alpha$.

Точки $A, A_1, B$ лежат на одной прямой — стороне квадрата $AB$. Угол, образованный этой прямой в точке $A_1$, является развернутым и равен $180^\circ$. Этот угол состоит из трех смежных углов: $\angle AA_1D_1$, $\angle D_1A_1B_1$ и $\angle BA_1B_1$.
$\angle AA_1D_1 + \angle D_1A_1B_1 + \angle BA_1B_1 = 180^\circ$

Подставим известные нам выражения для углов:
$\alpha + \angle D_1A_1B_1 + (90^\circ - \alpha) = 180^\circ$
$90^\circ + \angle D_1A_1B_1 = 180^\circ$
$\angle D_1A_1B_1 = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Мы доказали, что один из углов ромба $A_1B_1C_1D_1$ прямой. Ромб, у которого есть хотя бы один прямой угол, является квадратом.

Ответ: Четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ имеет равные стороны и прямые углы, следовательно, он является квадратом. Что и требовалось доказать.