Номер 1.85, страница 27 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.3. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Раздел 1. Многоугольники. Четырехугольники - номер 1.85, страница 27.

Учебник rus.

1.85. Из вершины прямоугольника $ABCD$ на его диагональ опущен перпендикуляр, который делит угол прямоугольника в отношении 3 : 1.

Найдите угол между этим перпендикуляром и второй диагональю.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Пусть в прямоугольнике $ABCD$ из вершины $B$ на диагональ $AC$ опущен перпендикуляр $BH$. Таким образом, $BH \perp AC$. По условию, этот перпендикуляр делит прямой угол $\angle ABC$ в отношении $3:1$.

1. Найдем величины углов, на которые перпендикуляр $BH$ делит угол $\angle ABC$.Угол прямоугольника $\angle ABC = 90°$. Обозначим части угла как $3x$ и $x$.Их сумма равна полному углу:$3x + x = 90°$$4x = 90°$$x = \frac{90°}{4} = 22.5°$Следовательно, перпендикуляр $BH$ делит угол $\angle ABC$ на два угла: $\angle ABH = 3 \cdot 22.5° = 67.5°$ и $\angle HBC = 1 \cdot 22.5° = 22.5°$. (Какой из них больше, зависит от соотношения сторон прямоугольника, но на конечный результат это не повлияет).

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Так как $BH$ — перпендикуляр, $\angle BHA = 90°$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$. Найдем угол $\angle BAH$:$\angle BAH = 90° - \angle ABH = 90° - 67.5° = 22.5°$Угол $\angle BAH$ — это тот же угол, что и $\angle BAC$. Значит, $\angle BAC = 22.5°$.

3. Теперь рассмотрим диагонали прямоугольника. Диагонали $AC$ и $BD$ равны и точкой пересечения $O$ делятся пополам. Отсюда следует, что $AO = BO = CO = DO$.

4. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Поскольку $AO = BO$, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:$\angle OBA = \angle OAB$Так как $\angle OAB$ это тот же угол, что и $\angle BAC$, то $\angle OBA = \angle BAC = 22.5°$.Угол $\angle OBA$ — это то же самое, что и угол $\angle DBA$. Таким образом, $\angle DBA = 22.5°$.

5. Искомый угол — это угол между перпендикуляром $BH$ и второй диагональю $BD$, то есть $\angle HBD$. Мы можем найти его как разность углов $\angle ABH$ и $\angle DBA$:$\angle HBD = \angle ABH - \angle DBA$$\angle HBD = 67.5° - 22.5° = 45°$

Ответ: 45°.