Номер 1.88, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.88. Постройте параллелограмм по стороне и двум диагоналям.

Анализ

Пусть искомый параллелограмм – это $ABCD$, где сторона $AB$ имеет заданную длину $a$, а диагонали $AC$ и $BD$ имеют заданные длины $d_1$ и $d_2$ соответственно. Важнейшим свойством параллелограмма является то, что его диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам. Это означает, что $AO = OC = \frac{d_1}{2}$ и $BO = OD = \frac{d_2}{2}$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Длины его сторон нам известны: $AB = a$ (по условию), $AO = \frac{d_1}{2}$ и $BO = \frac{d_2}{2}$ (из свойства диагоналей). Построение треугольника по трем известным сторонам является стандартной задачей.

Таким образом, основная идея построения заключается в том, чтобы сначала построить этот вспомогательный треугольник $AOB$, а затем, используя его, достроить весь параллелограмм, найдя вершины $C$ и $D$.

Ответ: Задача сводится к построению треугольника по трем сторонам: данной стороне $a$ и половинам длин диагоналей $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

Построение

Пусть даны три отрезка, задающие длины стороны $a$ и диагоналей $d_1$ и $d_2$.

1. С помощью циркуля и линейки построим отрезки, равные половинам диагоналей. Для этого для каждого из отрезков $d_1$ и $d_2$ найдем его середину, построив серединный перпендикуляр. Обозначим полученные длины как $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.
2. На произвольной прямой выберем точку $A$ и отложим от нее отрезок $AB$, равный по длине $a$.
3. Построим окружность (или ее дугу) с центром в точке $A$ и радиусом, равным $\frac{d_1}{2}$.
4. Построим окружность (или ее дугу) с центром в точке $B$ и радиусом, равным $\frac{d_2}{2}$.
5. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим как $O$. Это будет точка пересечения диагоналей параллелограмма.
6. Проведем луч $AO$ и на нем от точки $O$ отложим отрезок $OC$, равный $AO$. Точка $C$ – третья вершина параллелограмма.
7. Проведем луч $BO$ и на нем от точки $O$ отложим отрезок $OD$, равный $BO$. Точка $D$ – четвертая вершина параллелограмма.
8. Последовательно соединим отрезками точки $B$ с $C$, $C$ с $D$ и $D$ с $A$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Ответ: Алгоритм построения, состоящий из 8 шагов, описан выше.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$. По построению (шаги 6 и 7) точка $O$ является серединой отрезков $AC$ (так как $AO = OC$) и $BD$ (так как $BO = OD$).

Поскольку диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, данный четырехугольник является параллелограммом по соответствующему признаку.

Кроме того, по построению (шаг 2) сторона $AB$ имеет длину $a$. Диагональ $AC$ имеет длину $AO + OC = \frac{d_1}{2} + \frac{d_1}{2} = d_1$. Диагональ $BD$ имеет длину $BO + OD = \frac{d_2}{2} + \frac{d_2}{2} = d_2$.

Таким образом, построенный параллелограмм $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построенная фигура является параллелограммом, так как ее диагонали точкой пересечения делятся пополам, и длины ее стороны и диагоналей соответствуют заданным.

Исследование

Ключевым этапом построения является нахождение точки $O$ (шаг 5) как точки пересечения двух окружностей. Это возможно тогда и только тогда, когда можно построить треугольник $AOB$ со сторонами $a$, $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

Для существования такого треугольника необходимо и достаточно, чтобы для длин его сторон выполнялось неравенство треугольника: $a + \frac{d_1}{2} > \frac{d_2}{2}$, $a + \frac{d_2}{2} > \frac{d_1}{2}$, $\frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2} > a$.

Если эти три условия выполнены, то окружности пересекутся в двух точках (симметричных относительно прямой $AB$), что даст два равных параллелограмма, которые можно считать одним и тем же решением. Следовательно, задача имеет единственное решение.

Если одно из неравенств превращается в равенство (например, $\frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2} = a$), то точка $O$ будет лежать на отрезке $AB$, треугольник $AOB$ вырождается, и параллелограмм построить невозможно. Если одно из неравенств не выполняется, окружности не пересекутся, и задача не будет иметь решений.

Ответ: Задача имеет единственное решение при условии, что из отрезков с длинами $a$, $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$ можно составить треугольник. В противном случае задача решения не имеет.