Номер 1.94, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.94. Постройте квадрат:

1) по стороне;

2) по диагонали.

1) по стороне

Пусть дан отрезок $a$, равный стороне квадрата. Алгоритм построения с помощью циркуля и линейки:

1. На произвольной прямой отложить отрезок $AB$, равный $a$.
2. В точке $A$ построить прямую, перпендикулярную прямой, на которой лежит отрезок $AB$. Для этого:
   • Построить окружность с центром в точке $A$ произвольного радиуса, пересекающую прямую в двух точках.
   • Из этих двух точек как из центров построить две дуги одинакового радиуса (большего, чем радиус первой окружности) так, чтобы они пересеклись.
   • Провести прямую через точку $A$ и точку пересечения дуг. Эта прямая перпендикулярна $AB$.
3. На построенной перпендикулярной прямой отложить от точки $A$ отрезок $AD$, равный $a$. Для этого нужно провести окружность с центром в точке $A$ и радиусом $a$. Точка пересечения окружности и перпендикуляра будет вершиной $D$.
4. Найти четвертую вершину $C$. Она находится на расстоянии $a$ и от точки $B$, и от точки $D$. Для этого нужно построить две дуги радиусом $a$: одну с центром в точке $B$, другую — с центром в точке $D$.
5. Точку пересечения этих дуг обозначить $C$.
6. Соединить отрезками точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым квадратом, так как по построению все его стороны равны $a$ ($AB=AD=BC=CD$), а один из углов прямой ($\angle DAB = 90^\circ$).

Ответ: Построение выполнено.

2) по диагонали

Пусть дан отрезок $d$, равный диагонали квадрата. Построение основывается на свойствах диагоналей квадрата: они равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Алгоритм построения:

1. Построить отрезок $AC$, равный $d$. Это будет первая диагональ.
2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. На нем будет лежать вторая диагональ. Для этого:
   • Провести две дуги окружности с центрами в точках $A$ и $C$ и одинаковым радиусом (строго большим половины длины $AC$).
   • Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, является серединным перпендикуляром. Обозначим эту прямую $m$, а точку ее пересечения с отрезком $AC$ – $O$.
3. Найти две оставшиеся вершины $B$ и $D$. Они должны лежать на прямой $m$ на расстоянии, равном половине диагонали ($OA$ или $OC$), от центра $O$. Для этого нужно провести окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$.
4. Точки пересечения этой окружности с прямой $m$ обозначить как $B$ и $D$.
5. Последовательно соединить отрезками точки $A, B, C$ и $D$.

Четырехугольник $ABCD$ – искомый квадрат. Его диагонали $AC$ и $BD$ по построению взаимно перпендикулярны, равны ($AC=BD=2 \cdot OA$) и делятся точкой пересечения пополам, что является достаточным условием для квадрата.

Ответ: Построение выполнено.