Номер 1.97, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.97. Постройте квадрат:

1) по двум данным вершинам;

2) по серединам двух противоположных сторон;

3) по серединам двух соседних сторон;

4) по центру (точка пересечения диагоналей) и двум точкам, лежащим на одной стороне.

1) по двум данным вершинам

Пусть даны две точки A и B. Возможны два случая.

Случай 1: Данные вершины A и B являются смежными.

В этом случае отрезок AB является стороной квадрата. Пусть его длина равна $a$.

1. Соединяем точки A и B отрезком. Это одна из сторон будущего квадрата.
2. В точках A и B строим лучи, перпендикулярные отрезку AB, в одну и ту же полуплоскость относительно прямой AB.
3. На построенных лучах откладываем отрезки AD и BC, равные по длине отрезку AB. Для этого можно построить окружности с центрами в A и B и радиусом $R = AB$.
4. Соединяем точки D и C. Четырехугольник ABCD – искомый квадрат.

Случай 2: Данные вершины A и B являются противоположными.

В этом случае отрезок AB является диагональю квадрата.

1. Соединяем точки A и B отрезком.
2. Находим середину O отрезка AB. Эта точка является центром квадрата.
3. Через точку O проводим прямую $m$, перпендикулярную отрезку AB. На этой прямой будет лежать вторая диагональ квадрата, CD.
4. Диагонали квадрата равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, $OC = OD = OA = OB$.
5. Строим окружность с центром в точке O и радиусом $R = OA$.
6. Точки пересечения этой окружности с прямой $m$ являются двумя другими вершинами квадрата, C и D.
7. Соединяем последовательно точки A, C, B, D. Четырехугольник ACBD – искомый квадрат.

Ответ: В зависимости от того, являются ли данные вершины смежными или противоположными, построение выполняется одним из двух описанных выше способов. В первом случае существует два решения (квадраты по разные стороны от отрезка AB), во втором случае решение единственно.

2) по серединам двух противоположных сторон

Пусть даны точки M и N – середины двух противоположных сторон квадрата.

1. Соединяем точки M и N отрезком. Длина этого отрезка $MN$ равна стороне искомого квадрата $a$.
2. Через точки M и N проводим прямые $l_1$ и $l_2$, перпендикулярные отрезку MN. На этих прямых будут лежать стороны квадрата, серединами которых являются M и N.
3. На прямой $l_1$ откладываем от точки M в обе стороны отрезки длиной $\frac{a}{2} = \frac{MN}{2}$. Получаем две вершины квадрата, A и B.
4. Аналогично, на прямой $l_2$ откладываем от точки N в обе стороны отрезки длиной $\frac{a}{2} = \frac{MN}{2}$. Получаем две другие вершины, C и D. Важно расположить их так, чтобы четырехугольник ABCD был непересекающимся (например, с помощью параллельного переноса вектора $\vec{MA}$ в точку N для получения вектора $\vec{ND}$).
5. Соединяем последовательно вершины A, B, C, D. Четырехугольник ABCD – искомый квадрат.

Ответ: Построение однозначно определяет квадрат. Сторона квадрата равна расстоянию между данными точками, а сами стороны, серединами которых являются данные точки, перпендикулярны отрезку, соединяющему эти точки.

3) по серединам двух соседних сторон

Пусть даны точки M и N – середины двух соседних сторон квадрата (например, AB и BC).

1. Строим на отрезке MN как на гипотенузе прямоугольный равнобедренный треугольник MON. Для этого находим середину K отрезка MN и проводим через нее перпендикуляр к MN. На перпендикуляре откладываем отрезок KO, равный KM. Точка O – центр искомого квадрата. (Существует два таких треугольника, по одному с каждой стороны от MN, что дает два возможных решения).
2. Проводим прямую через точки O и M. Затем через точку M проводим прямую $l_1$, перпендикулярную прямой OM. На прямой $l_1$ будет лежать сторона квадрата AB.
3. Аналогично, проводим прямую через O и N. Затем через точку N проводим прямую $l_2$, перпендикулярную прямой ON. На прямой $l_2$ будет лежать сторона квадрата BC.
4. Точка пересечения прямых $l_1$ и $l_2$ является общей вершиной этих сторон, B.
5. Для нахождения остальных вершин используем свойство симметрии. Вершина A симметрична вершине B относительно точки M (т.е. M - середина AB).
6. Вершина C симметрична вершине B относительно точки N (т.е. N - середина BC).
7. Вершина D симметрична вершине B относительно центра O.
8. Соединяем точки A, B, C, D. Четырехугольник ABCD – искомый квадрат.

Ответ: Существует два квадрата, удовлетворяющих условию, в зависимости от выбора положения центра O относительно отрезка MN. Построение основано на нахождении центра квадрата.

4) по центру (точка пересечения диагоналей) и двум точкам, лежащим на одной стороне

Пусть даны центр O и две точки P и Q, лежащие на одной из сторон квадрата.

1. Проводим прямую $l$ через данные точки P и Q. На этой прямой лежит одна из сторон квадрата.
2. Опускаем перпендикуляр из центра O на прямую $l$. Пусть M – основание этого перпендикуляра. Точка M является серединой стороны квадрата, лежащей на прямой $l$.
3. Длина отрезка OM равна половине стороны квадрата. Обозначим эту длину $d = OM$. Таким образом, сторона квадрата $a = 2d$.
4. На прямой $l$ от точки M откладываем в обе стороны отрезки длиной $d = OM$. Концы этих отрезков являются вершинами квадрата A и B.
5. Находим точку N, симметричную точке M относительно центра O. Это можно сделать, продлив отрезок MO за точку O на расстояние, равное OM. Точка N является серединой противоположной стороны CD.
6. Через точку N проводим прямую $l'$, параллельную прямой $l$. На этой прямой лежит сторона CD.
7. Из точек A и B восстанавливаем перпендикуляры к прямой $l$. Точки пересечения этих перпендикуляров с прямой $l'$ будут двумя оставшимися вершинами квадрата – D и C соответственно.
8. Соединяем точки A, B, C, D. Полученный четырехугольник – искомый квадрат.

Ответ: Построение однозначно. Оно основано на нахождении середины и длины стороны квадрата через расстояние от центра до прямой, на которой эта сторона лежит.