Номер 1.102, страница 30 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.4. Построение четырехугольников по их элементам. Раздел 1. Многоугольники. Четырехугольники - номер 1.102, страница 30.

Учебник rus.

1.102. Постройте квадрат, если заданы 4 точки, взятые по одной с каждой стороны этого квадрата.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Это классическая задача на построение, которая решается с помощью геометрических преобразований, в частности, поворота. Решение состоит из анализа, самого построения, доказательства корректности и исследования количества возможных решений.

Анализ

Пусть нам даны четыре точки P, Q, R, S, и искомый квадрат — ABCD. По условию, каждая точка лежит на одной из сторон квадрата. Распределение точек по сторонам заранее неизвестно. Возможны три варианта разбиения четырех точек на две пары, которые будут лежать на противолежащих сторонах квадрата:

1. P и R на противолежащих сторонах, Q и S — на другой паре противолежащих сторон.
2. P и Q на противолежащих сторонах, R и S — на другой паре.
3. P и S на противолежащих сторонах, Q и R — на другой паре.

Решение нужно искать для каждого из этих случаев. Рассмотрим первый случай: P лежит на стороне AB, Q — на BC, R — на CD, и S — на DA.

Ключевая идея состоит в том, чтобы найти одну из прямых, содержащих сторону квадрата. Зная одну такую прямую, можно легко построить и остальные три, так как они либо параллельны, либо перпендикулярны ей и проходят через заданные точки.

Рассмотрим вектор $\vec{PR}$ и вектор $\vec{SQ'}$, где точка $Q'$ получена поворотом вектора $\vec{PR}$ на $90^\circ$ и отложена от точки S. Мы докажем, что прямая, проходящая через точки Q и Q', будет содержать одну из сторон квадрата.

Построение

Выполним построение для одного из вариантов расположения точек (P и R на противолежащих сторонах, Q и S на другой паре). Если в результате построения точки не окажутся на сторонах квадрата (а не на их продолжениях), следует повторить построение для другого варианта разбиения на пары.

1. Соединим точки P и R отрезком.
2. Через точку S проведём прямую $k$, перпендикулярную прямой PR.
3. На прямой $k$ отложим от точки S отрезок $SQ'$ длиной, равной длине отрезка PR. Таких точек может быть две, по обе стороны от S. Выберем одну из них и назовем ее $Q'$.
4. Проведём прямую $m$ через точки Q и $Q'$. Эта прямая будет содержать одну из сторон искомого квадрата (например, BC).
5. Через точку S проведём прямую, параллельную прямой $m$. Это будет прямая, содержащая противоположную сторону DA.
6. Через точку P проведём прямую, перпендикулярную прямой $m$. Это будет прямая, содержащая сторону AB.
7. Через точку R проведём прямую, перпендикулярную прямой $m$. Это будет прямая, содержащая сторону CD.
8. Пересечения этих четырёх прямых образуют вершины искомого квадрата.

Доказательство

Докажем, что построенный четырёхугольник является квадратом. По построению, его противолежащие стороны параллельны, а смежные — перпендикулярны. Следовательно, это прямоугольник. Обозначим его вершины A, B, C, D, где сторона BC лежит на прямой $m$. Нам нужно доказать, что его смежные стороны равны, то есть $AB = BC$.

Введём новую систему координат ($x', y'$), в которой ось $Ox'$ совпадает с прямой $m$ (прямой $QQ'$), а ось $Oy'$ ей перпендикулярна. Пусть $\vec{u}$ — единичный вектор вдоль оси $Ox'$, а $\vec{v}$ — единичный вектор вдоль оси $Oy'$.

Длина стороны BC нашего прямоугольника равна расстоянию между прямыми, проходящими через P и R перпендикулярно $m$. Это расстояние равно проекции вектора $\vec{PR}$ на направление прямой $m$ (на вектор $\vec{u}$):

$BC = |\vec{PR} \cdot \vec{u}|$

Длина стороны AB равна расстоянию между параллельными прямыми $m$ (проходящей через Q) и прямой, проходящей через S. Это расстояние равно проекции вектора $\vec{QS}$ на направление, перпендикулярное $m$ (на вектор $\vec{v}$):

$AB = |\vec{QS} \cdot \vec{v}|$

Нам нужно доказать, что $|\vec{PR} \cdot \vec{u}| = |\vec{QS} \cdot \vec{v}|$.

По построению, вектор $\vec{SQ'}$ получен поворотом вектора $\vec{RP}$ на $90^\circ$ (или $-90^\circ$). Это означает, что $\vec{SQ'}$ перпендикулярен $\vec{PR}$ и $|\vec{SQ'}| = |\vec{PR}|$.

Вектор $\vec{QQ'}$ лежит на прямой $m$, то есть он коллинеарен вектору $\vec{u}$. Следовательно, его проекция на перпендикулярное направление $\vec{v}$ равна нулю:

$\vec{QQ'} \cdot \vec{v} = 0$

Представим вектор $\vec{QQ'}$ как сумму векторов: $\vec{QQ'} = \vec{QS} + \vec{SQ'}$. Тогда:

$(\vec{QS} + \vec{SQ'}) \cdot \vec{v} = 0$

$\vec{QS} \cdot \vec{v} + \vec{SQ'} \cdot \vec{v} = 0 \implies \vec{QS} \cdot \vec{v} = -(\vec{SQ'} \cdot \vec{v})$

Отсюда следует, что $|\vec{QS} \cdot \vec{v}| = |\vec{SQ'} \cdot \vec{v}|$.

Теперь воспользуемся свойством поворота. Поворот на $90^\circ$ меняет местами проекции вектора на ортогональные оси (с возможным изменением знака). То есть, проекция повёрнутого вектора $\vec{SQ'}$ на ось $Oy'$ (на вектор $\vec{v}$) равна по модулю проекции исходного вектора $\vec{PR}$ на ось $Ox'$ (на вектор $\vec{u}$).

$|\vec{SQ'} \cdot \vec{v}| = |\vec{PR} \cdot \vec{u}|$

Объединяя полученные равенства, имеем:

$AB = |\vec{QS} \cdot \vec{v}| = |\vec{SQ'} \cdot \vec{v}| = |\vec{PR} \cdot \vec{u}| = BC$

Таким образом, $AB = BC$. Поскольку построенный четырёхугольник является прямоугольником с равными смежными сторонами, он является квадратом. Доказательство завершено.

Исследование

1. Количество решений. Как было упомянуто в анализе, существует три способа разбить четыре точки на две пары, лежащие на противоположных сторонах. Для каждого способа построение даёт две точки $Q'$ (по обе стороны от S). Следовательно, чисто геометрически может существовать до $3 \times 2 = 6$ решений.

2. Проверка решения. Каждое построенное решение необходимо проверить. Условие задачи требует, чтобы заданные точки P, Q, R, S лежали на сторонах квадрата, а не на их продолжениях. Если в результате построения какая-либо из точек оказывается вне отрезка, являющегося стороной квадрата, то такое решение не подходит.

В общем случае задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от взаимного расположения точек P, Q, R, S.

Ответ: Задача решается методом построения вспомогательной точки. Выбирается пара точек (например, P и R), которые предполагаются лежащими на противоположных сторонах. Через третью точку (S) проводится прямая, перпендикулярная отрезку PR, и на ней откладывается отрезок $SQ'$, равный PR. Прямая, проходящая через четвертую точку (Q) и построенную точку $Q'$, является одной из сторон искомого квадрата. Остальные стороны строятся параллельно и перпендикулярно найденной. Необходимо проверить все три варианта разбиения точек на пары и проверить, лежат ли точки на сторонах, а не на их продолжениях.