Номер 1.108, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.108. Диагонали четырехугольника 3 дм и 8 дм. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон данного четырехугольника.

Пусть дан произвольный четырехугольник $ABCD$. Обозначим его диагонали как $d_1 = AC = 3$ дм и $d_2 = BD = 8$ дм.

Пусть точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ являются серединами сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно. Четырехугольник, периметр которого нам нужно найти, — это $MNPQ$. Этот четырехугольник также известен как параллелограмм Вариньона.

Для нахождения длин сторон четырехугольника $MNPQ$ воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $MN$ является средней линией этого треугольника, и ее длина равна половине длины основания $AC$:
$MN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} d_1$

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $QP$ соединяет середины сторон $AD$ и $CD$. Таким образом, $QP$ — средняя линия треугольника $ADC$:
$QP = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} d_1$

Теперь рассмотрим треугольники, образованные второй диагональю $BD$. В треугольнике $ABD$ отрезок $MQ$ является средней линией, так как соединяет середины сторон $AB$ и $AD$:
$MQ = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} d_2$

В треугольнике $BCD$ отрезок $NP$ является средней линией, так как соединяет середины сторон $BC$ и $CD$:
$NP = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} d_2$

Периметр $P$ четырехугольника $MNPQ$ равен сумме длин всех его сторон:
$P_{MNPQ} = MN + NP + PQ + QM$

Подставим найденные выражения для длин сторон:
$P_{MNPQ} = \left(\frac{1}{2} AC\right) + \left(\frac{1}{2} BD\right) + \left(\frac{1}{2} AC\right) + \left(\frac{1}{2} BD\right)$
Сгруппируем слагаемые:
$P_{MNPQ} = \left(\frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} AC\right) + \left(\frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} BD\right) = AC + BD$

Таким образом, периметр четырехугольника, образованного серединами сторон исходного четырехугольника, равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника.

Подставим числовые значения:
$P_{MNPQ} = 3 \text{ дм} + 8 \text{ дм} = 11 \text{ дм}$

Ответ: 11 дм.