Номер 1.111, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.5. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника. Раздел 1. Многоугольники. Четырехугольники - номер 1.111, страница 33.

Учебник rus.

1.111. Докажите, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

1.111. Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Обозначим середины его сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ точками $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. Нам необходимо доказать, что четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом.

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника, которое гласит, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине.

Проведем диагональ $AC$ в четырехугольнике $ABCD$. Эта диагональ разделяет его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как точки $K$ и $L$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно, отрезок $KL$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $KL$ параллельна стороне $AC$ и ее длина равна половине длины $AC$. То есть, $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Аналогично, так как точки $N$ и $M$ являются серединами сторон $AD$ и $CD$ соответственно, отрезок $NM$ является средней линией этого треугольника. Следовательно, $NM \parallel AC$ и $NM = \frac{1}{2}AC$.

Из этого следует, что стороны $KL$ и $NM$ в четырехугольнике $KLMN$ обе параллельны одной и той же прямой $AC$, а значит, они параллельны друг другу: $KL \parallel NM$. Кроме того, длины этих сторон равны, так как обе они равны половине длины $AC$: $KL = NM$.

Таким образом, в четырехугольнике $KLMN$ противоположные стороны $KL$ и $NM$ равны и параллельны. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.