Номер 1.116, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.116. Диагонали ромба равны $d_1$ и $d_2$. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного ромба.

Пусть дан ромб с вершинами A, B, C, D. Его диагонали равны $AC = d_1$ и $BD = d_2$. Пусть точки K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Требуется найти периметр четырехугольника KLMN.

Данная задача решается с помощью свойства средней линии треугольника. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна ее половине.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Отрезок KL соединяет середины сторон AB и BC, следовательно, KL является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна диагонали AC и равна ее половине:
$KL = \frac{1}{2}AC = \frac{d_1}{2}$

2. Аналогично, в треугольнике ADC отрезок MN является средней линией, так как соединяет середины сторон CD и DA. Таким образом, MN также параллельна AC и равна ее половине:
$MN = \frac{1}{2}AC = \frac{d_1}{2}$

3. Теперь рассмотрим треугольник ABD. Отрезок NK является его средней линией, так как соединяет середины сторон DA и AB. Следовательно, NK параллельна диагонали BD и равна ее половине:
$NK = \frac{1}{2}BD = \frac{d_2}{2}$

4. Наконец, в треугольнике BCD отрезок LM является средней линией, поскольку соединяет середины сторон BC и CD. Поэтому он параллелен диагонали BD и равен ее половине:
$LM = \frac{1}{2}BD = \frac{d_2}{2}$

Четырехугольник, образованный соединением середин сторон, в общем случае является параллелограммом (теорема Вариньона). В данном случае, так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$), а стороны четырехугольника KLMN попарно параллельны этим диагоналям, то смежные стороны четырехугольника KLMN также перпендикулярны ($KL \perp LM$). Это означает, что четырехугольник KLMN является прямоугольником.

Периметр $P_{KLMN}$ четырехугольника KLMN равен сумме длин всех его сторон:
$P_{KLMN} = KL + LM + MN + NK = \frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2} + \frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2}$
$P_{KLMN} = 2 \cdot \frac{d_1}{2} + 2 \cdot \frac{d_2}{2} = d_1 + d_2$

Таким образом, периметр искомого четырехугольника равен сумме длин диагоналей данного ромба.

Ответ: $d_1 + d_2$.