Номер 1.120, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.120. Постройте прямую, которая равноудалена от трех точек, не лежащих на одной прямой.

Сколько решений имеет задача?

Постройте прямую, которая равноудалена от трех точек, не лежащих на одной прямой.

Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой. Для построения искомых прямых, равноудаленных от этих точек, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Соединить точки $A$, $B$ и $C$ отрезками, чтобы получить треугольник $ABC$.
2. С помощью циркуля и линейки найти середины каждой из сторон треугольника. Обозначим середину стороны $AB$ как $M_{c}$, середину стороны $BC$ как $M_{a}$ и середину стороны $AC$ как $M_{b}$.
3. Провести прямые через каждую пару найденных середин. Таких прямых будет три:
   • Прямая $l_1$, проходящая через точки $M_a$ и $M_b$.
   • Прямая $l_2$, проходящая через точки $M_b$ и $M_c$.
   • Прямая $l_3$, проходящая через точки $M_c$ и $M_a$.

Эти три прямые являются средними линиями треугольника $ABC$ и представляют собой искомые решения.

Рассмотрим, почему, например, прямая $l_1$ (проходящая через $M_a$ и $M_b$) равноудалена от вершин $A, B, C$. Прямая, равноудаленная от двух точек, либо проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки (если точки по разные стороны от прямой), либо параллельна этому отрезку (если точки по одну сторону).

• Прямая $l_1$ проходит через точку $M_b$, которая является серединой отрезка $AC$. Точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от $l_1$, следовательно, $d(A, l_1) = d(C, l_1)$.
• Прямая $l_1$ проходит через точку $M_a$, которая является серединой отрезка $BC$. Точки $B$ и $C$ лежат по разные стороны от $l_1$, следовательно, $d(B, l_1) = d(C, l_1)$.

Из этих двух равенств следует, что $d(A, l_1) = d(B, l_1) = d(C, l_1)$, что и требовалось доказать. Аналогичные рассуждения применимы и к двум другим средним линиям.

Ответ: Для построения искомых прямых необходимо соединить три данные точки, образовав треугольник. Затем следует найти середины каждой из трех сторон этого треугольника. Прямые, проведенные через каждую пару этих середин (т.е. средние линии треугольника), и являются искомыми.

Сколько решений имеет задача?

Для определения общего количества решений необходимо проанализировать все возможные случаи расположения искомой прямой $l$ относительно трех точек $A, B, C$. Так как точки не лежат на одной прямой, искомая прямая не может проходить ни через одну из них (иначе расстояние до нее было бы равно нулю, что повлекло бы расположение всех трех точек на этой прямой).

Случай 1: Все три точки $A, B, C$ лежат по одну сторону от прямой $l$.
В этом случае для выполнения условия равноудаленности прямая $l$ должна быть параллельна каждому из отрезков $AB$, $BC$ и $AC$. Поскольку точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой, эти отрезки не параллельны друг другу. Одна прямая не может быть одновременно параллельна двум непараллельным прямым. Следовательно, в данном случае решений нет.

Случай 2: Две точки лежат по одну сторону от прямой $l$, а третья — по другую.
Это единственный оставшийся вариант. Пусть, например, точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $l$, а точка $C$ — по другую. Тогда должны выполняться следующие условия:

• $d(A, l) = d(B, l)$ (точки $A, B$ по одну сторону) $\implies l \parallel AB$.
• $d(A, l) = d(C, l)$ (точки $A, C$ по разные стороны) $\implies l$ проходит через середину отрезка $AC$.
• $d(B, l) = d(C, l)$ (точки $B, C$ по разные стороны) $\implies l$ проходит через середину отрезка $BC$.

Прямая, проходящая через середины сторон $AC$ и $BC$, является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне $AB$. Таким образом, все три условия выполняются, и такая прямая является решением.

Существует ровно три способа выбрать, какая из трех точек окажется по одну сторону от прямой, а две другие — по другую. Каждому такому способу соответствует одна уникальная средняя линия треугольника $ABC$:

1. Точка $C$ с одной стороны, $A$ и $B$ с другой. Решение — средняя линия, проходящая через середины $AC$ и $BC$.
2. Точка $B$ с одной стороны, $A$ и $C$ с другой. Решение — средняя линия, проходящая через середины $AB$ и $BC$.
3. Точка $A$ с одной стороны, $B$ и $C$ с другой. Решение — средняя линия, проходящая через середины $AB$ и $AC$.

Поскольку других случаев расположения точек нет, существует ровно три решения.

Ответ: Задача имеет 3 решения.