Номер 1.124, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.124. Может ли трапеция иметь три острых угла?

Для ответа на этот вопрос необходимо использовать свойства углов трапеции. Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями, а две другие — боковыми сторонами.

Пусть дана трапеция, у которой основания параллельны друг другу. Рассмотрим одну из боковых сторон. Эта сторона является секущей для двух параллельных прямых, на которых лежат основания. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^\circ$. Это означает, что сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, всегда равна $180^\circ$.

Обозначим углы трапеции как $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ и $\angle D$, где основаниями являются $AD$ и $BC$. Тогда боковыми сторонами будут $AB$ и $CD$. Для углов трапеции будут справедливы следующие равенства:

$\angle A + \angle B = 180^\circ$

$\angle C + \angle D = 180^\circ$

Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.

Теперь предположим, что трапеция может иметь три острых угла.

Рассмотрим пару углов, прилежащих к одной боковой стороне, например, $\angle A$ и $\angle B$. Если бы оба эти угла были острыми, то каждый из них был бы меньше $90^\circ$. В таком случае их сумма была бы:

$\angle A + \angle B < 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Это прямо противоречит свойству трапеции, согласно которому сумма этих углов должна быть строго равна $180^\circ$. Следовательно, оба угла, прилежащие к одной боковой стороне, не могут быть острыми одновременно. В каждой паре таких углов ($\angle A$ и $\angle B$; $\angle C$ и $\angle D$) может быть не более одного острого угла. Если один из углов в паре острый, то второй обязательно должен быть тупым (больше $90^\circ$). Если же один из них прямой ($90^\circ$), то и второй будет прямым.

Поскольку у трапеции две боковые стороны и, соответственно, две такие пары углов, она может иметь максимум два острых угла — по одному у каждой боковой стороны. Например, углы при одном из оснований могут быть острыми (например, $\angle A$ и $\angle D$), но тогда углы при другом основании ($\angle B$ и $\angle C$) будут тупыми.

Таким образом, трапеция не может иметь три острых угла.

Ответ: Нет, трапеция не может иметь три острых угла, так как сумма углов, прилежащих к любой из боковых сторон, равна $180^\circ$, а сумма двух острых углов всегда меньше $180^\circ$.