Номер 1.126, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.126. Докажите, что в равнобокой трапеции:

1) диагонали равны;

2) углы при основании равны.

1) диагонали равны

Рассмотрим равнобокую трапецию $ABCD$, в которой основания $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), а боковые стороны $AB$ и $CD$ равны по определению ($AB = CD$). Необходимо доказать, что диагонали этой трапеции $AC$ и $BD$ равны.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим треугольники $\Delta ACD$ и $\Delta DBA$.

В этих треугольниках сторона $AD$ является общей. Сторона $CD$ равна стороне $AB$ по определению равнобокой трапеции. Угол $\angle CDA$ равен углу $\angle BAD$ как углы при основании равнобокой трапеции (это свойство доказано в пункте 2).

Таким образом, треугольники $\Delta ACD$ и $\Delta DBA$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Так как треугольники равны, то равны и их соответствующие элементы. Следовательно, сторона $AC$ треугольника $\Delta ACD$ равна стороне $BD$ треугольника $\Delta DBA$.

Ответ: Диагонали в равнобокой трапеции равны, что и требовалось доказать.

2) углы при основании равны

Рассмотрим ту же равнобокую трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и равными боковыми сторонами $AB = CD$. Необходимо доказать, что углы при каждом из оснований равны, то есть $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.

Проведём из вершин $B$ и $C$ верхнего основания высоты $BH$ и $CK$ на нижнее основание $AD$. Поскольку основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, а высоты $BH$ и $CK$ перпендикулярны основанию $AD$, то длины этих высот равны: $BH = CK$.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника $\Delta ABH$ и $\Delta DCK$. В этих треугольниках гипотенузы $AB$ и $CD$ равны по условию (так как трапеция равнобокая), а катеты $BH$ и $CK$ равны как высоты трапеции. Следовательно, прямоугольные треугольники $\Delta ABH$ и $\Delta DCK$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Значит, $\angle BAH = \angle CDK$, или, что то же самое, $\angle A = \angle D$. Таким образом, углы при нижнем основании равны.

Для доказательства равенства углов при верхнем основании воспользуемся свойством параллельных прямых. Так как $AD \parallel BC$, то сумма внутренних односторонних углов при секущей $AB$ равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Отсюда $\angle B = 180^\circ - \angle A$. Аналогично, при секущей $CD$ сумма углов $\angle D + \angle C = 180^\circ$, откуда $\angle C = 180^\circ - \angle D$.

Поскольку мы уже доказали, что $\angle A = \angle D$, то из этого следует, что $180^\circ - \angle A = 180^\circ - \angle D$, а значит $\angle B = \angle C$. Углы при верхнем основании также равны.

Ответ: Углы при основаниях в равнобокой трапеции равны, что и требовалось доказать.