Номер 1.127, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.127. Чему равны углы равнобокой трапеции, если известно, что разность противоположных углов равна $40^\circ$ (рис. 1.64)?

A

B

C

D

$\alpha$

$\beta$

Рис. 1.64

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Обозначим углы при нижнем (большем) основании AD как $\angle A = \angle D = \alpha$, а углы при верхнем (меньшем) основании BC как $\angle B = \angle C = \beta$.

Свойства равнобокой трапеции, которые мы будем использовать:

1. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°. Например, для стороны AB имеем: $\angle A + \angle B = 180°$, что в наших обозначениях выглядит как $\alpha + \beta = 180°$.

2. Противоположные углы — это $\angle A$ и $\angle C$, а также $\angle B$ и $\angle D$. Их величины соответственно равны $\alpha$ и $\beta$. Из рисунка видно, что угол при нижнем основании $\alpha$ является острым, а угол при верхнем основании $\beta$ — тупым. Следовательно, $\beta > \alpha$.

По условию задачи, разность противоположных углов равна 40°. Запишем это в виде уравнения:

$\beta - \alpha = 40°$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $\alpha$ и $\beta$:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180° \\ \beta - \alpha = 40° \end{cases} $

Для решения системы сложим оба уравнения:

$(\alpha + \beta) + (\beta - \alpha) = 180° + 40°$

$2\beta = 220°$

$\beta = \frac{220°}{2}$

$\beta = 110°$

Теперь найдем значение $\alpha$, подставив найденное значение $\beta$ в первое уравнение системы:

$\alpha + 110° = 180°$

$\alpha = 180° - 110°$

$\alpha = 70°$

Таким образом, мы нашли величины всех углов трапеции:

Углы при нижнем основании: $\angle A = \angle D = \alpha = 70°$

Углы при верхнем основании: $\angle B = \angle C = \beta = 110°$

Проверим: разность противоположных углов $\beta - \alpha = 110° - 70° = 40°$. Условие задачи выполняется.

Ответ: два угла равны 70°, а два других — 110°.