Номер 1.130, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.130. Меньшее основание $BC$ трапеции $ABCD$ равно 4 см. Через вершину $B$ проведена прямая, параллельная стороне $CD$. Чему равен периметр трапеции, если периметр полученного треугольника равен 12 см (рис. 1.65)?

Рис. 1.65

Рассмотрим четырехугольник $BCDK$. По определению трапеции $ABCD$ ее основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Так как точка $K$ лежит на основании $AD$, то $BC \parallel KD$. По условию задачи через вершину $B$ проведена прямая, параллельная стороне $CD$, то есть $BK \parallel CD$.

Поскольку в четырехугольнике $BCDK$ противолежащие стороны попарно параллельны ($BC \parallel KD$ и $BK \parallel CD$), то $BCDK$ является параллелограммом по определению.

Из свойства параллелограмма следует, что его противолежащие стороны равны: $CD = BK$ и $KD = BC$.

Периметр трапеции $ABCD$ вычисляется как сумма длин всех ее сторон: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$.

Длину большего основания $AD$ можно представить в виде суммы отрезков $AD = AK + KD$. Подставив это в формулу периметра, получим: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AK + KD$.

Теперь используем полученные равенства сторон $CD = BK$ и $KD = BC$ для преобразования формулы периметра трапеции:
$P_{ABCD} = AB + BC + BK + AK + BC$.

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $P_{ABCD} = (AB + AK + BK) + 2 \cdot BC$.

Выражение в скобках $(AB + AK + BK)$ — это периметр треугольника $ABK$, который по условию задачи равен 12 см. Длина меньшего основания $BC$ по условию равна 4 см. Подставляем известные значения и вычисляем периметр трапеции:
$P_{ABCD} = 12 \text{ см} + 2 \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см} + 8 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Ответ: 20 см.