Номер 1.129, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Рис. 1.64

1.129. Диагональ BD трапеции ABCD перпендикулярна боковой стороне AB и $\angle BAD = 40^\circ$. Полагая, что меньшее основание трапеции равно ее второй боковой стороне, найдите другие углы трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания ($AD \parallel BC$), а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Исходя из условий задачи, имеем:

• Диагональ $BD$ перпендикулярна боковой стороне $AB$, что означает $\angle ABD = 90^{\circ}$.
• Угол при основании $\angle BAD = 40^{\circ}$.
• Меньшее основание $BC$ равно второй боковой стороне $CD$, то есть $BC = CD$.

Требуется найти остальные углы трапеции: $\angle ABC$, $\angle BCD$ и $\angle ADC$.

1. Нахождение углов в треугольнике ABD

Рассмотрим треугольник $ABD$. Он является прямоугольным, так как по условию $\angle ABD = 90^{\circ}$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^{\circ}$. Следовательно, мы можем вычислить третий угол этого треугольника, $\angle ADB$:

$\angle ADB = 180^{\circ} - \angle BAD - \angle ABD = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 90^{\circ} = 50^{\circ}$.

2. Нахождение угла ABC

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^{\circ}$. Для боковой стороны $AB$ это свойство записывается как:

$\angle BAD + \angle ABC = 180^{\circ}$

Подставив известное значение $\angle BAD = 40^{\circ}$, получим:

$40^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$

$\angle ABC = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$.

Также можно найти этот угол другим способом. Так как основания $AD$ и $BC$ параллельны, а $BD$ является секущей, то внутренние накрест лежащие углы $\angle ADB$ и $\angle CBD$ равны. Из шага 1 мы знаем, что $\angle ADB = 50^{\circ}$, значит, $\angle CBD = 50^{\circ}$. Тогда угол $\angle ABC$ можно представить как сумму углов $\angle ABD$ и $\angle CBD$:

$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 90^{\circ} + 50^{\circ} = 140^{\circ}$.

Оба способа дают одинаковый результат, что подтверждает правильность вычислений.

3. Нахождение углов BCD и ADC

По условию задачи, меньшее основание $BC$ равно боковой стороне $CD$ ($BC = CD$). Это значит, что треугольник $BCD$ является равнобедренным с основанием $BD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$\angle CDB = \angle CBD$.

Поскольку мы уже определили, что $\angle CBD = 50^{\circ}$, то и $\angle CDB = 50^{\circ}$.

Теперь мы можем найти третий угол треугольника $BCD$ — угол $\angle BCD$ трапеции:

$\angle BCD = 180^{\circ} - (\angle CBD + \angle CDB) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$.

Осталось найти последний угол трапеции — $\angle ADC$. Этот угол состоит из двух частей: $\angle ADB$ и $\angle CDB$.

$\angle ADC = \angle ADB + \angle CDB$.

Подставим известные нам значения этих углов:

$\angle ADC = 50^{\circ} + 50^{\circ} = 100^{\circ}$.

Таким образом, мы нашли все неизвестные углы трапеции. Для проверки можно убедиться, что сумма углов у боковой стороны $CD$ также равна $180^{\circ}$:

$\angle BCD + \angle ADC = 80^{\circ} + 100^{\circ} = 180^{\circ}$.

Проверка пройдена успешно.

Ответ: Другие углы трапеции равны $\angle ABC = 140^{\circ}$, $\angle BCD = 80^{\circ}$ и $\angle ADC = 100^{\circ}$.